资源简介

(共45张PPT)
湘教·九年级上册
小结与评价
知识图谱
图形与几何
图形的性质
图形的变化
图形与坐标
图形的平移
图形的轴对称
图形的旋转
图形的相似
图形的投影
线段的比
相似多边形
相似三角形
图形的位似
比例的基本性质
成比例的线段
平行线分线段成比例
判定定理
性质定理
位似图形
图形的放大或缩小
应用
比例的基本性质：
如果ad=bc，其中a，b，c，d为非零实数，那么 成立.
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.
成比例的线段
例如，已知四条线段a，b，c，d，若 ，则a，b，c，d是比例线段.
类似地，如果 ，那么称线段AB，BC，AC与线段A′B′ ，B′C′ ，A′C′对应成比例.
若 成立，此时称线段 AB 被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.
黄金分割比的数值为 ，(约等于0.618).
A
B
C
黄金分割点
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例.
1. 已知 求下列算式的值：
解：
针对练习
【P54 复习题1 第1题】
2. 已知 AB=0.5m， BC=25cm， A'B'=20cm，
B'C'=10cm，线段AB，BC，A'B'，B'C'是否成比例？
解：因为AB=0.5m=50cm
所以 线段AB，BC，A'B'，B'C'是成比例.
两条线段的长度比与所采用的长度单位无关，但是求比时两条线段的长度单位要一致.
3. 已知 a，b，c，d是成比例线段.
(1) 若 a = 2，b = 5 ，c = 6 ，求 d；
(2) 若 a = 1.5，c = 3 ，d = 4.5 ，求 b；
(3) 若 a = 5，b = 8 ，d = 44 ，求 c；
【P54 复习题1 第2题】
4. 如图 l1∥l2∥l3，直线AC分别与l1，l2，l3相交于点
A，B，C，直线 DF 分别与l1，l2，l3相较于D，E，F.已知
DE=6，求 DF 的长.
C
A
D
B
E
F
l1
l2
l3
又因为 DE=6，
所以 EF=4.
所以 DF=DE+EF=6+4=10.
解：因为 l1∥l2∥l3，
【P54 复习题1 第3题】
记作 四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1
读作 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1
相似多边形
类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比也叫作相似比.
△ABC与△A′B′C′相似
记作 △ABC∽△A′B′C′
读作 △ABC相似于△A′B′C′
A
B
C
A'
B'
C'
相似三角形
数学上，把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形.
相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似
数学语言
图示
因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，
所以△ABC∽△ A'B'C'.
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
所以 △ABC∽△A'B'C′.
相似三角形对应线段的性质
图示 推理 结论
相似比
对应高的比
对应中线的比
△ABC∽△ A'B'C'.
AD，A'D'分别是△ABC，
△A'B'C'的高
AE，A'E'分别是△ABC，
△A'B'C'的中线
由两角分别相等得出△ABD∽△ A'B'D'，则
由两边成比例其夹角相等得出△ABE∽△ A'B'E'，则
相似比为k
对应高的比等于相似比
对应中线的比等于相似比
相似三角形对应线段的性质
图示 推理 结论
对应角平分线的比
对应高的比
AF，A'F'分别是△ABC，
△A'B'C'的角平分线
由两角分别相等得出△ABF∽△ A'B'F'，则
对应角平分线的比等于相似比
周长的比等于相似比
相似三角形面积的性质
内容 相似三角形面积的比等于相似比的平方
图示
推导过程
若△ABC∽△ A'B'C'，相似比是k，AD，A'D'分别是△ABC，△A'B'C'的高，
1. 如图，AE与BD相交于点C，已知AC=5，BC=3，EC=10，DC=6. 求证 AB∥DE.
C
A
D
B
E
证明：因为AC=5，BC=3，EC=10，DC=6，
所以 △ACB ∽△ECD，
所以 AB∥DE.
又因为 ∠ACB=∠ECD，
所以 ∠A=∠E，
【P54 复习题1 第5题】
针对练习
2. 在Rt△ABC中，CD是斜边 AB 上的高.求证：
（1）AC2=AD·AB；
（2）CD2=BD·AD；
A
B
C
D
证明 :（1）因为CD是斜边AB上的高，
所以 △ACB∽△ADC，
又因为 ∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，
所以 ∠ADC=90°
【P56 复习题1 第11题】
（1）AC2=AD·AB；
（2）CD2=BD·AD；
A
B
C
D
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
因为 CD⊥AB，
所以 △BDC∽△CDA，
所以 ∠B+∠BCD=90°，
所以 ∠A=∠BCD，
所以∠A+∠B=90°，
又因为∠BDC=∠CDA，
【P56 复习题1 第11题】
2. 在Rt△ABC中，CD是斜边 AB 上的高.求证：
3. 如图，在△ABC中，DE∥BC，S△ADE∶ S梯形ADE=
1∶4，求 的值.
A
B
C
D
E
解：
因为DE∥BC，
所以 △ADE∽△ABC，
知识点一 利用相似测量物体的宽度
问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度) 构造相似图形模型
测量数据
相关计算
求AB的长，可测量BE，CD和BC的长
已知 △ABE∽△ACD，则 所以
求AB的长，可测量BC，CD和DE的长
已知 △ABC∽△EDC，则 所以
相似三角形的应用
问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度)
构造相似图形模型
测量数据
相关计算
求BC的长，可测量AD，DB和DE的长
已知 △ADE∽△ABC，则 所以
知识点一 利用相似测量物体的宽度
知识点二 利用影长测量物体的高度
A
C
B
A'
B'
C'
已知参照物AC的长度，在同一时刻，测量出参照物AC的影长BC和被测物体A'C'的影长B'C'，求A'C'的高度.
∠ABC = ∠A'B'C'，
∠ACB = ∠ A'C'B' =90°，
△ABC∽△ A'B'C' ，
同一时刻的太阳光线互相平行
知识点三 利用标杆或直尺测量物体的高度
B
A
C
G
D
E
H
F
标杆
被测物体
CD∥EF
△ACG∽△ AEH，
EF = EH+AB
AG = BD
AH = BF
CG = CD－ AB
1. 根据图中已知条件，试求 D，E 两点的距离.
解：因为∠C=∠D=90°，∠CAB=∠DAE，
所以 △ACB∽△ADE.
又因为 CB=9.8m，AC=14.2m，
AD=28.4m，
所以 ED = 19.6m.
【P54 复习题1 第4题】
针对练习
2. 四个乡镇ABCD之间有公路相联通，如图所示.已知
AB=14km，AD=28km， BD=21km， BC=42km， DC=31.5km， 问公路AB与DC平行吗？说明你的理由.
C
A
D
B
因为 AB=14km，AD=28km，BD=21km，
BC=42km，DC=31.5km
所以△ABD∽△BDC，
所以 AB∥DC.
所以 ∠ABD=∠BDC，
解：平行，理由如下：
【P55 复习题1 第6题】
3. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10， 点E，F在AD
边上，BF和CE交于点G，若EF= AD，求图中阴影部分的面积.
C
A
D
B
E
F
G
解：过点 G 作GM⊥BC， GN⊥AD，分别交BC，AD于M，N.
M
N
因为AD∥BC，
所以 △GBC∽△GFE，
又因为EF= AD，
又因为MN=AB= 6，
所以GN=2， GM=4.
所以S阴影部分=6×10－5－20=35
答：阴影部分的面积是35.
【P55 复习题1 第7题】
4. 为了测量一棵树的高度，数学兴趣小组根据光的反射定
律(图中∠1=∠2)，把一面镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，此时量的DE=3m.已知观测者目高CD=1.5m，求树AB的高度.
C
A
D
B
E
2
1
解：因为∠1=∠2，
所以∠CED=∠AEB，
又因为 ∠CDE=∠ABE=90°，
所以 △CED∽△AEB，
因为 DE=3m，CD=1.5m，BE=8m，
所以 AB=4m.
答：树AB的高度为4m.
【P55 复习题1 第8题】
5. 教学楼AB的高为20m，教学楼后面的水塔CD的高
为30m，如图所示.已知BC=30m，小张的目高EF为1.6m.当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE.
C
A
D
B
E
F
小张
所以 BE=55.2m.
答：此时他与教学楼的距离BE为55.2m.
解：过点 F 作FM⊥DC于M，交 AB于点N.
N
M
所以 △AFN∽△DFM，
因为 AB∥DC，
因为AB=20m， CD=30m， BC=30m， EF=1.6m，
【P55 复习题1 第9题】
取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′，使得 其中k是非零常数，当
k > 0时，点P′在射线 OP 上，当k < 0时，点P′在射线OP的反向延长线上.特别地，点O对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比.
位似
（1）相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例；
（2）位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定是相似图形，但相似的两个图形不一定是位似图形.
位似与相似的区别与联系
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心(可以在图形外部，可以在图形内部，也可以在图形的边上，还可以在某一顶点上)；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
1. 在平面直角坐标系中点A，B的坐标分别是A(4，2)，B(5，0)，以原点O为位似中心，相似比为1∶2，把△ABO缩小，得到△ A1B1O，则点A的对应点A1的坐标为____________________.
(2，1)或(－2，－ 1)
针对练习
2. 如图，已知五边形OABCD的顶点坐标为O(0，0)，A(4，0)， B(5，5)， C(2，5)， D(0，3).
（1）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD放大为原来的1.5倍的图形.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
B
A
8
D
-6
-8
-4
-6
C
A'
B'
C'
D'
A''
B''
C''
D''
【P55 复习题1 第10题】
2. 如图，已知五边形OABCD的顶点坐标为O(0，0)，A(4，0)， B(5，5)， C(2，5)， D(0，3).
（2）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD缩小为原来的 的图形.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
B
A
8
D
-6
-8
-4
-6
C
A'
B'
C'
D'
A''
B''
C''
D''
3. 如图，将图中的六边形放大为原图形的 2 倍，画出所得到的图形，并写出所得图形的各顶点的坐标.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
-4
-6
-6
(2，4)
(4，-2)
(-2，4)
(-4，0)
(-2，-4)
(2，-6)
答案不唯一
【P56 复习题1 第15题】
复习提升
1. 如图，在△ABC中，点D在AC上，AD∶DC=1∶2，O是BD的中心，连接AO并延长交BC于点E，则BE∶EC为 ( ).
A
B
E
C
D
F
A. 1∶2
B. 1∶3
C. 1∶4
D. 2∶3
解：过点D作DF∥AE，交BC于点F.
因为O是BD的中点
O
所以 BE∶EC = 1∶3.
B
2. 已知三个边长分别为 2cm，3cm，5cm 的正方形如图所示排列，求图中阴影部分的面积.
2cm
3cm
5cm
A
B
C
D
E
F
G
解：因为BC∥ DE∥GF ，
所以 △ABC ∽△ADE ∽△AFG ，
因为AB=2cm， BD=3cm， DF=5cm，
所以 BC=1cm， DE=2.5cm，
答：图中阴影部分的面积为3.75cm2.
H
J
所以 CJ=2cm， HE=0.5cm，
【P56 复习题1 第12题】
3. 阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7m
宽的亮区ED，如图所示.已知光线AE∥BD，亮区E点与窗口所在墙角C点的距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC.
C
A
D
B
E
解：因为AE∥DB，所以 △BCD∽△ACE，
又因为 DE=2.7m，EC=8.7m，AB=1.8m，
所以 BC=4m.
答：窗口底边离地面的高是4m.
【P56 复习题1 第13题】
4. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，
线段MN的两端点在CD，AD上滑动.当DM为多长时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？试说明理由.
C
A
D
B
N
M
E
② 当△ABE∽△NDM，
解：由题意可得，BE=1，AE= .
①当△ABE∽△MDN,
答：当DM为 或 时△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似.
【P56 复习题1 第14题】
5. （1）如图①，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC
内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°，AP=1，求BP的长.
C
A
P
B
①
解：因为AB = AC，∠ACB=45°，
所以 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∠ACB=∠ABC= 45°
又因为∠PCA=∠ACB－∠PCB，∠PBC=∠ABC－∠PBA， ∠PCB=∠PBA
所以∠PCA=∠PBC.
所以 △APC∽△CPB.
因为 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
又因为 AP=1，
所以 BP = 2.
【P57 复习题1 第16题】
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内
一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°，求 的值.
C
A
P
B
②
D
解：作AD⊥BC于D，
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB= 30°，
BD =CD = BC，
因为∠PCB=∠PBA，
所以∠PCA=∠PBC，
因为∠PAC=∠PCB，
所以 △ACP∽△CBP.
所以 PB=3a，
6. 某兴趣学习小组到校外进行数学探究活动“发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行了如下一系列操作：
第一步，测量支架底部A，B两点的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，使点D恰好落在直线AB上，测量CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，使点F恰好落在直线AB上，测量EF和BF的长。
已知上述步骤中测得AF=2.5m，CD=1m，AD=0.8m，EF=1.2m，BF=0.6 m.
根据以上数据，能计算出支架顶端P到地面的距离吗？如果能，计算出结果(精确到0.1m)；如果不能，试说明理由.
C
A
D
B
F
E
P
【P57 复习题1 第17题】
解：能计算出支架顶端P到地面的距离.
设PH=hm，FH=xm.
所以△BFE∽△BHP， △ADC∽△AHP，
所以 h= 1.2+0.6x .①
所以0.8h=3.1+x.②
联立①②可得 h≈8.3.
H
答：支架顶端 Р 到地面的距离约为8.3m.
C
A
D
B
F
E
P
过点P作PH⊥AB交直线AB于点H，则有PH∥EF∥CD.
因为 PH∥EF∥CD.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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