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湘教·九年级上册
1.3 相似图形
情境导入
图1.3-1和图1.3-2分别是由其中的一幅图缩小或放大得到的.把一个图形放大(或缩小)得到的图形与原图形之间有什么关系呢？
图1.3-1
图1.3-2
缩小
放大
直观上把一个图形放大或缩小得到的图形与原图形是相似图形.
随堂诊断
1.观察下列每组图形，是相似图形的是 ( )
A
B
C
D
D
两个图形相似是指它们的形状相同，与它们的位置、大小无关
数学上，把三个角对应相等且三条边对应成比例的两个三角形称为相似三角形.
如果△ABC与△A'B'C'相似，且点A'，B'，C'分别与点A，B，C对应，那么记作:
△ABC ∽ △A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
“∽” 表示相似
读作：相似于
观察这两个三角形有什么特点？
表示两个三角形相似时，要把对应顶点的字母写在对应位置上
△ABC ∽ △A'B'C'
A
B
C
A'
B'
C'
∠A = ∠A'
∠B = ∠B'
∠C = ∠C'
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形对应边的比叫作相似比.
若△ABC∽△A′B′C′，则
对应边的比值 k 就是相似三角形△ABC与△A′B′C′的相似比.
相似三角形对应边的比叫作相似比.
A
B
C
A'
B'
C'
随堂诊断
2. 如图， △ABC∽△ADE，若AB=6，BC=10，AD=4.5，则DE=________.
A
B
C
D
E
解：因为△ABC∽△ADE，
所以
因为AB=6，BC=10，AD=4.5，
所以
所以 DE = 7.5.
7.5
议一议
（1）任意两个直角三角形相似吗？任意两个等边三角形呢？
（2）相似三角形与全等三角形有什么区别与联系？
（1）由相似三角形的定义可知，任意两个直角三角形不一定相似，但任意两个等边三角形一定相似.
议一议
（1）任意两个直角三角形相似吗？任意两个等边三角形呢？
（2）相似三角形与全等三角形有什么区别与联系？
（2）若△ABC∽△A′B′C′，且相似比 k=1，则
△ABC≌△A′B′C′，因此全等三角形是相似三角形的特例.
提示
若△ABC∽△A′B′C′，且△ A′B′C′ ∽△A′′B′′C′′，那么△ABC∽△A′′B′′C′′.
若△ABC ≌ △A′B′C′，且△ A′B′C′ ≌ △A′′B′′C′′，那么△ABC ≌ △A′′B′′C′′.
例 已知△ABC∽△A′B′C′，且∠A=48°，
AB=8， A′B′=4， AC=6.如图1.3-3所示.求∠A′的大小和A′C′的长.
A
B
C
A′
B′
C′
解：因为△ABC∽△A′B′C′，
所以∠A=∠A′，
由于∠A=48°，因此∠A′=48°.
于是 ，所以 A′C′=3.
又AB=8， A′B′=4， AC=6，
类似地，对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等、对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比也叫作相似比.
如果四边形ABCD与四边形A1B1C1D1相似，
A
B
C
A1
B1
C1
D
D1
记作 四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1
相似多边形具有如下性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
读作 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1
对应角
对应边
随堂诊断
3. 一个五边形ABCDE各边的边长为2，3，4，5，6，另一个和它相似的五边形A1B1C1D1E1最长边为12，则五边形A1B1C1D1E1的最短边长为 ( )
C
A. 8
B. 6
C. 4
D. 2
说一说
根据相似多边形的定义，回答下列问题
（1）任意两个平行四边形(矩形、菱形)相似吗？
（2）任意两个正方形相似吗？
任意两个平行四边形、矩形、菱形不一定相似，但任意两个正方形一定相似.
练习
1.下列六个平行四边形中，哪些是相似的？
(1) 和 (4) 相似，相似比是 .
(3) 和 (6) 相似，相似比是 .
2.已知△ADE∽△ABC，且相似比为 .若DE=4cm，求BC的长.
解：因为△ADE∽△ABC，且相似比为 .
又因为 DE = 4cm，
所以 BC = 10cm.
所以
3. 如图四边形 ABCD 和EFGH 相似，求角 α 的大小和BC的长度 x.
解：因为四边形 ABCD 和 EFGH相似.
由于 ∠H =∠D =95°.
所以 在四边形 EFGH 中α=360°－(67°+ 118°+ 95°) = 80°.
所以
所以 x =1.2.
4. 如图，在矩形 ABCD 中，AB =4，点 E，F 分别在
边AD，BC上，且 EF⊥BC，若矩形ABFE与矩形 DEFC 相似，且相似比为1∶2，求 AD 的长.
A
B
C
D
E
F
解：因为矩形ABFE与矩形 DEFC 相似，且相似比为1∶2.
所以
因为 四边形 ABCD 为矩形，
所以 DC = AB = 4
所以
所以 DE = 8，AE = 2.
所以 AD= AE +DE = 2+8=10.
课堂小结
△ABC与△A′B′C′相似
记作 △ABC∽△A′B′C′
读作 △ABC相似于△A′B′C′
A
B
C
A'
B'
C'
记作 四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1
读作 四边形ABCD相似于四边形A1B1C1D1
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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