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(共19张PPT)
湘教·九年级上册
平行线截三角形所得的两个三角形相似
复习导入
观察下列一组图形，分析其中的规律.
l1
l2
l3
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
l1
l2
l3
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
判断△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3之间是否相似，并说出理由.
探究新知
如图1.4-1，在△ABC 中，已知D，E分别是边AB，AC的中点，试判断△ADE 与△ABC 是否相似，并说明理由.
A
B
C
D
E
图1.4-1
议一议
A
B
C
D
E
图1.4-1
由于D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥BC，且DE= BC，从而有
∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C，
又∠DAE = ∠BAC，
对于△ADE 与△ABC ，由相似三角形的定义得△ADE∽△ABC.
如图1.4-2，在△ABC 中已知 D 为上任意一点.过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. △ADE 与△ABC 是否相似？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
思 考
A
B
C
D
E
图1.4-2
猜测：只要DE∥BC，就有△ADE∽△ABC.
证明：已知△ABC，过边AB上一点D作DE∥BC，交AC于点E，如图1.4-3所示.
图1.4-3
在△ADE与△ABC中，∠DAE=∠BAC.
因为 DE∥BC，
所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
由于DE∥BC，DF∥AC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例” 得
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
因为四边形CFDE为平行四边形，
所以 CF=DE .
于是
综上所述，根据相似三角形定义得
△ADE∽△ABC.
由此，可得如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
由此，可得如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
随堂诊断
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，BC=10，则DE的长为 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
A
B
C
D
E
B
2. 如图，在□ ABCD中，AE∶DE = 2∶1，连接BE，交AC 于点F，AF=4，则FC = ______.
A
B
C
D
E
F
6
随堂诊断
例1 如图1.4-4， D 为△ABC的边AB的中点，过点D
作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使EF=DE.求证：△CFE∽△ABC.
A
D
E
B
C
F
证明：由于 DE∥BC，于是△ADE∽△ABC
所以△ADE≌△CFE.
而△ADE∽△ABC，
因此 △CFE∽△ABC.
从而
又 D 为△ABC的边 AB 的中点，则
于是 则 E 为边 AC 的中点，
即AE = CE.
又 ∠AED = ∠CEF ，DE=FE，
随堂诊断
3. 如图，E是□ ABCD的边AD上一点，且 连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则平行四边形ABCD的周长为 ( )
A
B
C
D
E
F
A. 21
B. 28
C. 34
D. 42
C
1. 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶点
E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
解：因为∠C=90°，四边形EFCD是正方形，
所以 DE = DC，DE∥CB.
所以 △ADE∽△ACB.
所以 即
解得DE=3.
练习
A
B
C
D
E
F
所以 正方形的边长为3.
2. 如图，已知点O在四边形ABCD的对角线AC上，点
E，F分别在边AB，AD上，且OE∥CB，OF∥CD.试判断四边形AEOF与四边形ABCD是否相似，并说明理由.
解：四边形AEOF与四边形ABCD相似.
理由：因为 OE∥CB，
所以 △AEO∽△ABC，
所以
∠EAO=∠BAC，
∠AEO=∠B，∠AOE=∠ACB，
A
B
C
D
E
F
O
因为OF∥CD，所以△AFO∽△ADC，
所以
∠FAO=∠DAC，
∠AFO=∠D，∠AOF=∠ACD，
所以
∠EAF=∠BAD，∠AEO=∠B，
∠EOF=∠BCD，∠AFO=∠D，
所以 四边形AEOF与四边形ABCD相似.
A
B
C
D
E
F
O
3. 如图，AD∥EG∥BC. EG分别交AB，DB，AC 于
点E，F，G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EF，EG 的长.
A
B
C
D
E
F
G
解：因为AD∥EG，
所以 △BEF∽△BAD.
所以 即
解得
因为EG∥BC，
所以 △AEG∽△ABC.
所以 即
解得 EG = 6.
4. 如图，P是□ ABCD的边BC延长线上任意一点，
AP分别交BD，CD于点M，N.求证：AB·AM=MP·DN.
A
B
C
D
P
M
N
证明：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以 AB∥DN， AD∥BP.
所以 △AMB∽△MND，
所以
所以
所以 AB·AM = MP·DN.
课堂小结
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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