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湘教·九年级上册
相似三角形的判定定理1
复习导入
如何判断两个三角形是全等三角形呢？
SAS
ASA
AAS
SSS
全等三角形是相似三角形的特例，且相似三角形的对应边可以不相等，我们是否可用较少的条件去判定两个三角形相似？
探究新知
思 考
如图1.4-5，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， ∠B'= ∠B. 这两个三角形相似吗？
图 1.4-5
A
B
C
A′
B′
C′
A
B
C
A′
B′
C′
由于“平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似”
将△ABC 放到 △A' BC 上面，使点 A 与点 A' 重合，且边 AB 落到边 A'B 上，
由∠A'=∠A，可判断边AC会落到边A'C上，又∠B'=∠B，
则BC//B'C'，于是可得△ABC ∽△A'BC.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
A′
B′
C′
猜测：两角分别相等的两个三角形相似.
证明：
如图1.4-6，在△A'B'C'的边A'B'上取一点 D，使A'D = AB.
过点D作DE∥B'C' ，交A'C'于点 E.
在△A'DE与△ABC中，
因为∠A'=∠A， A'D=AB，
∠A'DE=∠B'=∠B，
所以△A'DE≌△ABC.
又DE∥B'C' .
于是△A'DE∽△ A'B'C'.
因此△ABC∽△ A'B'C'.
D
E
图 1.4-6
两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理 1
A
B
C
A′
B′
C′
因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，
所以△ABC∽△ A'B'C'.
两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.
例2 如图1.4-7，在△ABC中，∠C=90°.过点 D 分
别作边 AB，AC的垂线，垂足分别为点E，F，DF与AB交于点H.求证：△DHE∽△ABC.
证明 因为∠C=90°，所以 BC⊥AC.
因为DF⊥AC，所以DF∥BC.
从而∠DHE=∠B.
又DE⊥AB，所以∠DEH = 90°=∠C，
因此 △DHE∽△ABC (两角分别相等的两个三角形相似).
A
B
C
D
E
F
H
图 1.4-7
例3 如图1.4-8，在 Rt△ABC 与 Rt△DEF中，
∠C=90°， ∠F=90°.若∠A=∠D，AB=5，BC=4，DE=3，求EF的长.
解：因为∠C = 90°，∠F = 90°，∠A =∠D，
所以 △ABC∽△DEF，
从而
又 AB = 5，BC = 4，DE = 3.
所以 EF = 2.4.
于是
A
B
C
D
E
F
图 1.4-8
随堂诊断
1. 如图，在△ABC中，AD=AB，∠1=∠2. 求证△ABC∽ △EAD.
A
B
C
D
E
1
2
证明：因为AD=AB
所以∠EAD=∠B.
因为∠BAD =∠1 + ∠C= ∠2 + ∠ADE，
∠1 =∠2
所以∠C =∠ADE.
所以△ABC∽ △EAD.
2. 如图，在□ ABCD中，E 为 CD 上一点，连接 AE，F为 AE 上一点，且∠BFA=∠D. 求证△ABF∽ △EAD.
A
B
C
D
E
F
证明：因为四边形ABCD是平行四边形.
所以 AB∥CD，
所以 ∠BAF= ∠AED.
又因为∠BFA= ∠D，
所以 △ABF ∽ △EAD.
3. 如图，△ADE 与△ABC 有公共顶点A，∠ABD
=∠CAE =∠DCB，点D、E、C在同一条直线上.求证：△ADE∽ △ABC.
A
B
C
D
E
证明：因为 ∠BAD= ∠CAE，
所以 ∠BAD + ∠BAE = ∠CAE + ∠BAE ，
所以 △ADE ∽ △ABC.
即 ∠DAE = ∠BAC .
因为 ∠AED= ∠CAE + ∠ACE ，
所以 ∠AED = ∠ACB，
∠ACB= ∠DCB + ∠ACE ， ∠CAE= ∠DCB
练习
1.如图，E 为□ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接AE，交CD 于点F.试指出图中有几对相似三角形，并说明理由.
△ABE∽△FCE，
证明：因为 四边形ABCD为平行四边形，
所以 AB∥DC，AD∥BE.
所以△ABE∽△FCE，△FCE∽△FDA
△FCE∽△FDA，
△ABE∽△FDA
所以 △ABE∽△FDA.
A
B
C
D
E
F
2. 如图，AB⊥BD，ED⊥BD， C 是线段 BD 的中点，
且 AC⊥CE. 已知 ED=1，BD=4，求 AB 的长.
证明：因为 AB⊥BD，ED⊥BD， AC⊥CE，
所以∠B =∠D =∠ACE = 90°.
因为∠A+∠ACB=∠ECD+∠ACB=90°，
所以 ∠A=∠ECD，
所以△ABC∽△CDE.
所以
因为BD=4，C是BD中点，
所以BC=CD=
所以 即AB=4.
A
B
C
D
E
3. 如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E.求证：△ABD∽△CBE.
证明：在△ABC中，AB=AC，BD=CD，
所以 AD⊥BC，
因为 CE⊥AB，
所以 ∠ADB=∠CEB=90°，
又∠B=∠B，
所以 △ABD∽△CBE.
证明：
因为∠A=36°，△ABC是等腰三角形，
所以 ∠ABC=∠C=72°，
又因为 BD平分∠ABC，
所以 ∠DBC=36°，
在△ABC和△BCD中，∠C为公共角，∠A=∠DBC=36°，
所以△ABC∽△BCD.
4. 已知△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是角
平分线，求证：△ABC∽△BCD.
5. 已知：如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB 上
的高. 求证：△ACD∽△ABC∽△CBD.
证明:
因为∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=90°，
所以△ACD∽△ABC，（两角分别相等的两个三角形相似）
同理△CBD∽△ABC，
所以△ABC∽△CBD∽△ACD.
课堂小结
两角分别相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理 1
A
B
C
A′
B′
C′
因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，
所以△ABC∽△ A'B'C'.
两个直角三角形，若有一对锐角对应相等，则它们一定相似.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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