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湘教·九年级上册
相似三角形的判定定理 2
复习导入
1. 下列各组图形一定相似的是 ( )
A. 有一个角相等的两个等腰三角形
B. 有一个角相等的两个直角三角形
C. 有一个角是100°的两个等腰三角形
D. 有一个角是对顶角的两个三角形
C
2. 已知一个三角形的两个内角分别是50°、70°，另一个三角形的两个内角分别70°、60°，则这两个三角形 ( )
A. 不相似 B. 不一定相似
C. 相似 D. 全等
C
探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
思 考
如图1.4-9，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， △A'B'C' 与△ABC 相似吗？为什么？
图 1.4-9
思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B'C'边的直线截得一个△A'DE，使它与△ABC全等则△A'B'C' ∽△ABC .
猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
证明：
如图1.4-10在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB.
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点 E.
因为DE∥B'C'，
所以 △A'DE∽△A'B'C'.
又 A'D=AB，
于是 A'E=AC.
又∠A' =∠A，
所以 △A'DE≌△ABC.
所以 △ABC∽△A'B'C′.
A
B
C
A′
B′
C′
图 1.4-10
D
E
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理 2
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两
边的夹角，否则这两个三角形不一定相似.
例4 在 △ABC 与 △DEF 中，已知∠C =∠F=
70°，AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，DF = 2.1cm，EF = 1.5cm. 如图1.4-11所示. 求证：△ABC∽△DEF.
A
B
C
D
E
F
证明 因为AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，
DF=2.1cm，EF=1.5cm，
所以
从而
又∠C =∠F=70°，
因此 △ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
图 1.4-11
A
C
例5 如图1.4-12，在△ABC中，CD 是边 AB 上的
高，且 .求证：∠ACB=90°.
证明 因为 CD 是边AB上的高，
所以 ∠ADC=∠CDB=90°.
因此 △ACD∽△CBD，
从而 ∠ACD =∠CBD.
所以 ∠ACB =∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°.
A
B
C
D
图 1.4-12
1.如图，BC 与 DE 相交于点 O. 问
（1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
（2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？
解：（1）因为∠A=∠A ，
所以 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE.
随堂诊断
（2）因为∠A=∠A ，
所以 当AC∶AE=AB∶AD时， △ABC∽△ADE.
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，
∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
证明：因为△ACB是等腰直角三角形，
所以 ∠A=∠B=45°．
又因为∠MCN=45°，
∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN，
∠MCB=∠MCN+∠BCN=45°+∠BCN．
所以∠CNA=∠MCB，
在△BCM和△ANC中，
所以△BCM∽△ANC．
∠A=∠B，∠CNA=∠MCB
3. 如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.
证明：△ABE∽△CBD.
所以△ABE∽△CBD.
证明：因为△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
所以∠DBE=∠CBA=45°，
所以∠DBE－∠CBE=∠CBA－∠CBE.
即∠ABE=∠CBD，
又
4. 如图，每组图形中的两个三角形是否相似？
为什么？( (2)中AB，CD相较于点O ).
A
B
C
D
O
4
3
8
6
(2)
A
B
C
D
2
3
E
1
4
(1)
解：(1) 图中的两个三角形相似.
因为 AB=AD+DB=2+4=6，
因为 AC=AE+EC=3+1=4，
所以
所以△ADE∽△ACB
又因为 ∠A = ∠A
所以
A
B
C
D
O
4
3
8
6
(2)
A
B
C
D
2
3
E
1
4
(1)
解：(2) 图中的两个三角形相似.
因为 AO=4， DO=3，CO=8，BO=6，
所以
所以△AOC∽△DOB
又因为 ∠AOC = ∠DOB
所以
4. 如图，每组图形中的两个三角形是否相似？
为什么？( (2)中AB，CD相较于点O ).
1. 如图，在四边形ABCD中，∠B=∠ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，求 AD 的长.
证明：因为 AB=6，BC=4，AC=5，CD=7.5，
因为 ∠B=∠ACD，
所以 △ABC∽△DCA.
因为 AC = 5，
所以 AD = 6.25.
练习
B
A
C
D
所以
所以
2. 如图，点 B，C 分别在△ADE的边AD，AE上，
且 AC=6，AB=5，EC=4，DB=7.求证：△ABC∽△AED.
证明：因为 AC=6，AB=5，EC=4，DB=7，
又因为 ∠A=∠A，
所以 △ABC∽△AED.
所以 AE=AC+EC=10，AD=AB+DB=12，
B
A
C
D
E
所以
3. 在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD上两
点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F．试说明△AMD∽△EMB.
证明：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 AD∥BC，∠ADB=∠CBD，
∠MAD=∠MEB，
所以 △AMD∽△EMB．
4. 如图，已知△ABD∽△ACE，求证：△ABC∽△ADE.
证明：因为△ABD∽△ACE，
所以∠BAD=∠CAE．
又因为∠BAC=∠BAD+∠DAC，
∠DAE=∠DAC+∠CAE，
所以∠BAC=∠DAE．
因为△ABD∽△ACE，
在△ABC和△ADE中，
所以
所以 △ABC∽△ADE.
因为∠BAC=∠DAE，
课堂小结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理 2
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两
边的夹角，否则这两个三角形不一定相似.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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