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湘教·九年级上册
相似三角形的判定定理3
情境导入
与 △ABC 相似的三角形有哪些.
A
B
C
A1
B1
C1
A2
B2
C2
B3
C3
A3
C4
B4
A4
探究新知
思 考
如图1.4-13，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC的各边与△A'B'C'的各边对应成比例，即满足
△A'B'C'与△ABC 相似吗？为什么？
A
B
C
A′
B′
C′
图 1.4-13
思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B' C'边的直线截得△A'DE，使它与△ABC全等，
则△A'B'C' ∽△ABC .
猜测：三边成比例的两个三角形相似.
证明：
如图1.4-14在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB.
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E.
因为 DE∥B'C'，
所以 △A'DE∽△A'B'C'，
又A′D=AB，
从而 A'E=AC，DE=BC，
因此 △A'DE≌△ABC.
故 △ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A′
B′
C′
图 1.4-14
D
E
三边成比例的两个三角形相似
相似三角形的判定定理 3
A
B
C
A′
B′
C′
所以 △ABC∽△A'B'C′.
例6 如图1.4-15，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C′=90°， .求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
证明
则 AB = k·A′B′，AC=k·A′C′.
由勾股定理，得
因此 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似).
图 1.4-15
例7 判断图1.4-16中的两个三角形是否相似，并说明理由.
解 在△ABC中，AB＞BC＞CA，
在△DEF中，DE＞EF＞FD.
因此△DEF∽△ABC.
A
B
C
D
E
F
3
3.5
4
2.4
1.8
2.1
图 1.4-16
随堂诊断
1. 一个三角形的三边长分别为 6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为 8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？
解：这两个三角形相似. 理由如下：
因为
所以
所以 这两个三角形相似.
知识点睛
判断三角形三边是否成比例的一般步骤：
（1）排：将三角形的边按大小顺序排列；
（2）算：分别计算三组对应边的比；
（3）判：由算得的比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例.
2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由.
（1）AB＝5，AC＝3，∠A=45°，
A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
解：因为AB＝A′B′ ， AC＝ A′C′， ∠A= ∠A′，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由.
（2）∠A=38°，∠C=97°，∠A′=38°，∠B′=45°；
解：因为∠A=38°，∠C=97°，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
所以∠B =180°－38°－97°= 45°，
所以∠A = ∠A′ ， ∠B =∠B′，
2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由.
（3）AB=2，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
解：因为
所以
3. 下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是( )
A
B
C
D
D
4. 如图在△ABC中，AB = 25，BC = 40，AC = 20，在
△ADE中，AE=12，AD=15，DE=24，求证：∠EAC= ∠DAB.
证明：
因为
所以
所以△ABC ∽ △ADE
所以 ∠BAC=∠DAE.
所以 ∠BAC－ ∠BAE=∠DAE－ ∠BAE，
即 ∠EAC=∠DAB.
5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证：
（1） AC2=AB·AD；
（2） △AFD∽△CFE；
证明 (1) 因为AC平分∠DAB，
所以∠DAC= ∠CAB ，
又∠ADC = ∠ACB = 90°，
所以△ADC∽△ACB.
所以 AC2 = AB·AD.
5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证：
（1） AC2=AB·AD；
（2） △AFD∽△CFE；
(2) 在Rt△ABC中，因为E为AB的中点，
所以 CE= BE=AE，
所以∠BAC = ∠ECA .
所以△AFD∽△CFE.
所以 CE ∥AD.
因为∠DAC = ∠CAB .
所以∠DAC = ∠ECA .
相似三角形的判定思路:
（1）已知平行于三角形一边的直线，直接找两个三角形.
（2）已知一组角相等，找另一组角相等，或找夹角的两组边成比例.
（3）已知两组边成比例，找夹角相等，或找第三组边的比等于前两组边的比，或找一对直角(要求两组边同为直角边或分别为斜边、直角边).
（4）已知等腰三角形，找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰成比例.
知识点睛
练习
1.如图，已知点 D，E，F 分别是 △ABC 三边的中点，求证：△EDF ∽ △ACB.
证明 因为 D，E，F分别是△ABC三边的中点，
所以 △EDF∽△ACB.
A
C
B
D
E
F
2. 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由.
解 图中的两个三角形相似.
所以 ∠C=∠C′=90°.
又因为 AB = 5，BC =3，A′B′=10，A′C′=8，
所以 AC = 4， B′C′ = 6.
所以 △ABC∽△A′B′C′.
A
B
C
5
3
B'
C'
7.5
6
A'
理由：因为△ABC和△A′B′C′都是直角三角形，
3. 如图，在方格纸上有△ABC和△DEF，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由.
4.如图所示，在正方形ABCD中，P是BC边上的
点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形ABCD的边长为4a.
因为P是BC边上的点，且BP=3PC，
所以 PC = a，
因为 Q 是 CD 的中点，
所以 QC=QD=2a，AQ= ，
所以△ADQ∽△QCP.
课堂小结
课堂小结
相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似
数学语言
图示
因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，
所以△ABC∽△ A'B'C'.
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
所以 △ABC∽△A'B'C′.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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