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湘教·九年级上册
相似三角形的性质定理1
复习导入
1.什么是相似三角形？相似比指的是什么？
2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？
3.相似三角形的判定方法有哪些？
探究新知
思 考
如图1.5-1，已知△ABC∽△A'B'C'，AH，A'H'分别对应边BC，B'C'上的高，那么 吗？
A
B
C
H
A'
B'
C'
H'
图 1.5-1
因为△ABC∽△A′B′C′，
所以∠B=∠B′.
又 ∠AHB=∠A′H′B′=90°，
所以△AHB∽∠A′H′B′.
类似地，可以证明其余两组对应边上的高的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
例1 如图1.5-2， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P，
A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离.
A
B
C
D
E
P
Q
解 因为 AB∥PQ，所以△CAB∽△CPQ.
如图1.5-2 过点C作CD⊥PQ，交PQ的延长线于点D. 设CD交AB的延长线于点E，
因此 CE⊥AB，DE=40.
图 1.5-2
例1 如图1.5-2， AB∥PQ，AB=100，PQ=120.点P，
A，C在一条直线上，点Q，B，C也在一条直线上.若AB与PQ的距离是40，求点C到直线PQ的距离.
又 AB=100，PQ=120，DE=40，
因此CD = 240.
即点C到直线PQ的距离是240.
由“相似三角形对应边上的高的比等于相似比”可得，
于是
A
B
C
D
E
P
Q
图 1.5-2
例2 如图1.5-3， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分
别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证：
证明 因为△ABC∽△A′B′C′，
所以∠B=∠B′ ，∠BAC=∠B′A′C′.
又AT，A′T′分别为对应角∠BAC，
∠B′A′C′的角平分线，
于是∠BAT= ∠BAC= ∠B′A′C′=∠B′A′T′，
因此 △ABT∽△A′B′T′，
A
B
C
T
A'
B'
C'
T'
图 1.5-3
同样可以证明其余两组对应角平分线的比也等于相似比.
例2 如图1.5-3， 已知△ABC∽△A′B′C′，AT，A′T′分
别为对应△ABC ，△A′B′C′的角平分线.求证：
A
B
C
T
A'
B'
C'
T'
图 1.5-3
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 成立吗？由此你能得出什么结论？
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
图 1.5-4
如图1.5-4 由 △ABC∽△A′B′C′可得
∠B=∠B′，
从而△ABD∽△A′B′D′.
所以
又
则
于是
议一议
已知△ABC∽△A′B′C′，若AD，A′D′分别为△ABC ，△A′B′C′的中线.则 成立吗？由此你能得出什么结论？
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
图 1.5-4
类似地，我们可以得到另外两组对应边上的中线也等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
相似三角形的性质定理 1
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
随堂诊断
1.如图①，矩形EFGH内接于三角形ABC，且边FG落在BC上.若AD⊥BC，BC=6，AD=4，3EF=2EH，则EH的长为多少？
A
B
C
D
E
F
G
H
M
解: 如图①，设AD与EH交于点M，EH=x.
因为四边形EFGH是矩形，
所以 EH∥BC.
因为 AD⊥BC，
所以 AD⊥EH.
因为 3EF=2EH，
所以
所以
A
B
C
D
E
F
G
H
M
因为 EH∥BC.
所以△AEH∽△ABC.
所以
所以
解得 x =3，即EH = 3.
解：（1）因为 CD⊥AB，
所以∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.
在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，所以△ADC∽△ACB，
同理可知，△CDB∽△ACB.
所以△ADC∽△CDB.
所以图中有三对相似三角形.
2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形；
（2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD；
（3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD.
（2）因为△ACD∽△CBD，
所以 ，即
所以 BD = 4 cm.
2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形；
（2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD；
（3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD.
所以 ，即
（3）因为△CBD∽△ABC，
2.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.
（1）则图中有几对相似三角形；
（2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD；
（3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD.
所以 BD = 9 cm.
练习
1.已知△ABC∽△DEF，AM，DN分别是△ABC，△DEF的一条中线，且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，求DN的长.
所以 DN = 3cm.
解: 因为△ABC∽△DEF，
且AM=6cm，AB=8cm，DE=4cm，
所以
即
2.如图，△ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是△ABC
的高和中线，A′D′，B′E′分别是△A′B′C′的高和中线，且
AD=4， A′D′=3，BE=6，求B′E′的长.
因为 AD=4， A′D′=3， BE=6，
所以B′E′=4.5.
因为 △ABC∽△A′B′C′，AD，BE分别是
△ABC的高和中线，A′D′，B′E′分别是
△A′B′C′的高和中线，
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
D'
E'
3.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点 F 在 BC 上，
连 DF 与 AB 的延长线交于点G．
（1）求证：△CDF∽△BGF；
（2）当点 F 是 BC 的中点时，过 F 作EF∥CD交AD于点 E，若 AB = 6 cm，EF = 4 cm，求 CD 的长.
（1）证明：因为在梯形ABCD中，AB∥CD，
所以∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，
所以△CDF∽△BGF．
（2）由（1）知△CDF∽△BGF，
又因为F是BC的中点，
所以BF=FC，
所以△CDF≌△BGF，
所以DF=FG，CD=BG.
又因为EF∥CD，AB∥CD，
所以 EF∥AG，AB+CD=2EF．
所以 AB+BG=2EF．
所以BG = 2EF－AB=2×4－6=2，
所以CD = BG = 2 cm．
课堂小结
相似三角形的性质定理 1
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
相似三角形对应角平分线的比等于相似比.
相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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