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湘教·九年级上册
1.6 相似三角形的应用
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相似三角形有哪些性质？
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
探索新知
如图1.6-1，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出 A、B两点间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，请帮他想出一个可行的测量办法.
思 考
图 1.6-1
C
E
D
图 1.6-2
① 如图1.6-2，再池塘外取一点C，使它可以直接看到 A，B 两点，连接并延长AC，BC；
②在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使
(最好使k为正整数)；
③测量出DE的长度，利用相似三角形的有关知识求出A，B两点的距离.
C
E
D
图 1.6-2
如图1.6-2，如果 且测得DE的长为50m，则A，B两点的距离为多少？
因为 DE=50m，
所以 △ABC∽△DEC，
所以 AB=2DE=100m.
解：
随堂诊断
1.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相较于点D，∠B= ∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB.
解：因为∠B = ∠C=90°， ∠ADB = ∠EDC，
所以 △ABD∽△ECD.
解得 AB =100(m).
答：河宽 AB 为100m.
2.如图，为了估算河的宽度，勘测人员在河的对岸选
定一个目标点A，在近岸分别取点B，D，E，C，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E 也在一条直线上，且DE∥BC. 经测量BC＝25m，BD＝12m，DE＝40m，求河宽AB.
解：因为DE∥BC，
所以 △ABC ∽△ADE.
解得 AB =20(m).
答：河宽 AB 为20m.
知识点一 利用相似测量物体的宽度
问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度) 构造相似图形模型
测量数据
相关计算
求AB的长，可测量BE，CD和BC的长
已知 △ABE∽△ACD，则 所以
求AB的长，可测量BC，CD和DE的长
已知 △ABC∽△EDC，则 所以
问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度)
构造相似图形模型
测量数据
相关计算
求BC的长，可测量AD，DB和DE的长
已知 △ADE∽△ABC，则 所以
知识点一 利用相似测量物体的宽度
例 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、准星(A)、
靶心(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到A'，如图1.6-3所示.已知 OA = 0.2m，OB=
50m， AA'=0.000 5m，求李明射击到的点 B' 偏离靶心B的长度BB'(近似地认为AA'//BB').
O
A
B
B'
A'
解：因为 AA′∥BB′，
所以 △OAA′∽△OBB′，
因为OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.000 5m，
所以 BB′=0.125m.
答：李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′为0.125m.
随堂诊断
3.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，则火焰的高度AC为__________cm.
解：因为CA⊥AB， DB⊥AB
所以∠CAO = ∠DBO = 90°
又因为∠COA = ∠DOB，
所以 △AOC ∽△BOD.
所以 AC = 8 cm.
8
4. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离
OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是多少？
解：因为 AB∥CD，
所以 OF = 20000．
又因为 OE = 80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，
所以 △OAB ∽△OCD，
20000 cm = 200m
答：所以眼睛到目标的距离OF是200m.
5.如图，小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的
影长BA 为 15 m，同时测得在 A 处竖立的一根高 2m 的标杆的影长AC为3m，则楼高为_________m.
解：由同一时刻的太阳光线互相平行知AE∥CD，
D
E
所以 ∠DCA= ∠EAB，
又因为∠DAC = ∠EBA=90°，
所以 △DAC∽△EBA，
因为BA=15m， DA=2m， AC=3m，
所以 EB=10m.
10
知识点二 利用影长测量物体的高度
A
C
B
A'
B'
C'
已知参照物AC的长度，在同一时刻，测量出参照物AC的影长BC和被测物体A'C'的影长B'C'，求A'C'的高度.
∠ABC = ∠A'B'C'，
∠ACB = ∠ A'C'B' =90°，
△ABC∽△ A'B'C' ，
同一时刻的太阳光线互相平行
6. 如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学
校旗杆AB的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD= 15m，人的眼睛到地面的距离 EF= 1.6m，人与标杆CD 的水平距离 DF＝2m，求旗杆AB的高度.
解：设人的视线与旗杆AB的交点为H，EH与CD相交于点G
H
G
因为CD⊥FB，AB⊥FB，
所以CD∥AB.
所以△CGE∽△AHE.
解得 AH =11.9 (m)
所以 AB =AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5 (m)
答：旗杆AB的高度为 13.5m.
知识点三 利用标杆或直尺测量物体的高度
B
A
C
G
D
E
H
F
标杆
被测物体
CD∥EF
△ACG∽△ AEH，
EF = EH+AB
AG = BD
AH = BF
CG = CD－ AB
练习
1. 如图，某路口栏杆的短臂长为 1 m，长臂长为 6 m.当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高多少米？
解：因为AB∥CD，
又因为 OA = 1m，
AB = 0.5m，
OD = 6m，
所以 DC = 3m.
答：长臂端点升高3m.
A
B
O
C
D
所以△OAB∽△ODC.
2. 小红同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的
高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．如图所示.已知纸板的两条直角边 DE=80cm，EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树高 AB.
解：因为∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D，
所以 △DEF∽△DCB.
因为 DE = 80cm，EF = 40cm，
CD = 8m = 800cm，
所以 CB = 400cm =4m，
答：树高AB为5.5m.
所以 AB = 4+1.5 = 5.5 (m).
3.如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先
求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相
等）去量，若OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求厚度x.
解：因为 OA∶OC=OB∶OD=n，且∠AOB=∠COD；
所以 △AOB∽△COD.
所以 OA∶OC=AB∶CD=n，
所以 x=
所以 AB = CD·n =nb，
又因为 CD＝b，
4.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，
高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
解：设正方形 PQMN 的边长为 x 毫米.
答：这个正方形零件的边长是 48 毫米.
解得 x = 48.
因为PN∥BC，
所以△APN ∽ △ABC
所以
即
5. “创新实践” 小组想利用镜子与皮尺测量大树 AB 的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离，聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8m，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端(点F，M，D，N，B在一条直线上).若测得FM=1.5m，DN=1.1m，测量者眼睛到地面的距离为1.6m，求树AB的高度.
解：设NB的长为x m，则BM=MB+DN+FD－FM=
x+1.1+2.8－1.5=(x+2.4)m，
由题意得∠CND=∠ANB， ∠CDN=∠ABN=90°，
所以 △CND∽△ANB.
同理得 △EMF∽△AMB.
因为 EF = CD.
解得 x =6.6.
所以 BN =6.6m.
解得 AB =9.6 (m).
答：大树AB的高度为 9.6m.
课堂小结
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
利用相似三角形的性质解决实际问题
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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