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湘教·九年级上册
位似图形的概念及画法
1.7 位似
知识回顾
1.相似多边形的定义及判定方法是什么？
2.相似多边形有哪些性质？
3.我们已学过的图形变换有哪些？它们的性质是什么？
探究新知
观察
图1.7-1是把幻灯片的一个小熊图案放映到屏幕上的示意图(点 O 表示光源)，幻灯片与屏幕上的两个小熊图案之间有什么关系？
O
图 1.7-1
O
A
B
B'
A'
图 1.7-1
在图 1.7-1 中的左边小熊的头顶上和尾巴尖上分别取点A，B，右边小熊的头顶上和尾巴尖上的A'，B'分别为点 A 和点 B 的对应点.
发现：点 A，A'与点 O 在一条直线上，点B、B'与点O也在一条直线上.
分别量出线段OA， OA′， OB， OB′的长度（精确到0.1cm），计算：
≈ 2.2
≈ 2.2
O
A
B
B'
A'
继续在左、右小熊上找出一些对应点，发现每一对对应点都与点 O 在一条直线上，且每一对对应点与点O所连线段的比与 的值相等.
抽象
取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′，使得 其中k是非零常数，当
k > 0时，点P′在射线 OP 上，当k < 0时，点P′在射线OP的反向延长线上.特别地，点O对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比.
位似图形
位似中心可能位于两个位似图形的同侧，可能位于两个位似图形之间，也可能位于两个位似图形的内部或边上，还可以是顶点.
思考
在图1.7-1，连接AB，A' B' ，可以抽象出图1.7-2，则
吗？A'B'∥AB 吗？
O
A
A'
B'
B
图 1.7-2
所以 △OA′B′ ∽△OAB.
因此 A′B′∥AB.
若两个图形是位似图形，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应线段平行（或在同一条直线上）.
随堂诊断
1.如图，指出下列各图中的两个图形是否是位似图形，如果是位似图形，请指出其位似中心.
①是位似图形，位似中心是点A;
②是位似图形，位似中心是点P;
③不是位似图形；
④是位似图形，位似中心是点O;
⑤不是位似图形；
两个图形是位似图形满足的条件：
①这两个图形是相似图形；
②对应顶点的连线交于一点；
③这点与对应顶点所连线段成比例.
（1）相似仅要求两个图形形状完全相同，而位似是在相似的基础上要求对应顶点的连线相交于一点，并且这点与对应顶点所连线段成比例；
（2）位似图形是相似图形的特例，如果两个图形是位似图形，那么这两个图形一定是相似图形，但相似的两个图形不一定是位似图形.
位似与相似的区别与联系
2. 图中的两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是 ( )
A. 点P
B. 点Q
C. 点R
B. 点S
A
试一试
如图1.7-3，要把△ABC放大为原来的 2 倍，可以怎样做
A
A'
B'
B
O
C
C'
图 1.7-3
任取一点O，连接OA，OB，OC，分别在线段OA， OB，OC的延长线上取点A'，B' ，C' ，使得
依次连接点A'，B' ，C' ，得到△A'B'C'.
△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似比为2.
因此，△A'B'C'就是把△ABC放大为原来2倍的图形.
任取一点O，连接OA，OB，OC，分别在线段OA，
OB，OC的反向延长线上取点A'' ，B'' ，C'' ，使得
依次连接点A''，B'' ，C'' ，得到△A''B''C''.
A
B
C
图 1.7-4
O
A''
B''
C''
△A''B''C''也是把△ABC放大为原来2倍的图形.此时△ABC与△A''B''C''是位似图形，位似比为-2.
画位似图形的一般步骤：
（1）确定位似中心(可以在图形外部，可以在图形内部，也可以在图形的边上，还可以在某一顶点上)；
（2）分别连接位似中心和能代表原图的关键点，并延长；
（3）根据相似比，确定能代表所画的位似图形的关键点；
（4）按照原图的形状，顺次连接上述各点，得到放大或缩小后的图形.
做一做
（1）已知△ABC外一点O，以点O为位似中心，将△ABC缩小为原图形的 ；
A
B
C
O
A''
B''
C''
A'
B'
C'
做一做
（2）若点O在△ABC内部，以点O为位似中心，分别将△ABC缩小为原图形的 、放大为原原图形的2倍.
O
A
B
C
A'
B'
C'
A''
B''
C''
O
A
B
C
A'
B'
C'
A''
B''
C''
练习
1.如图，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，则△ADE 与△ABC 是位似图形吗？若是，找出它们的位似中心.
所以△ADE 与△ABC 是位似图形，位似中心是点A.
A
B
C
D
E
因为 DE∥BC，
所以 △ADE ∽△ABC ，
又因为 BA、CA相交于点A，
2.如图，任取一点O为位似中心，菱形ABCD放大为原来的 2 倍.
A
B
C
D
O
A'
B'
C'
D'
A
B
C
D
O
A''
B''
C''
D''
课堂小结
取定一个点O，把一个图形上每一个点P对应到射线OP(或射线OP的反向延长线)上的点P′，使得 其中k是非零常数，当
k > 0时，点P′在射线 OP 上，当k < 0时，点P′在射线OP的反向延长线上.特别地，点O对应到它自身.我们把图形的这种变换称为位似，把这个图形与它在位似下的像称为位似图形，这个点 O 叫作位似中心，常数 k 叫作位似比.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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