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湘教·九年级上册
复习题 1
1. 已知 求下列算式的值：
解：
学而时习之
2. 已知 a，b，c，d是成比例线段.
(1) 若 a = 2，b = 5 ，c = 6 ，求 d；
(2) 若 a = 1.5，c = 3 ，d = 4.5 ，求 b；
(3) 若 a = 5，b = 8 ，d = 44 ，求 c；
3. 如图 l1∥l2∥l3，直线AC分别与l1，l2，l3相交于点
A，B，C，直线 DF 分别与l1，l2，l3相较于D，E，F.已知
DE=6，求 DF 的长.
C
A
D
B
E
F
l1
l2
l3
又因为 DE=6，
所以 EF=4.
所以 DF=DE+EF=6+4=10.
解：因为 l1∥l2∥l3，
4. 根据图中已知条件，试求 D，E 两点的距离.
解：因为∠C=∠D=90°，∠CAB=∠DAE，
所以 △ACB∽△ADE.
又因为 CB=9.8m，AC=14.2m，
AD=28.4m，
所以 ED = 19.6m.
5. 如图，AE与BD相交于点C，已知AC=5，BC=3，EC=10，DC=6. 求证 AB∥DE.
C
A
D
B
E
证明：因为AC=5，BC=3，EC=10，DC=6，
所以 △ACB ∽△ECD，
所以 AB∥DE.
又因为 ∠ACB=∠ECD，
所以 ∠A=∠E，
6. 四个乡镇ABCD之间有公路相联通，如图所示.已知
AB=14km，AD=28km， BD=21km， BC=42km， DC=31.5km， 问公路AB与DC平行吗？说明你的理由.
C
A
D
B
因为 AB=14km，AD=28km，BD=21km，
BC=42km，DC=31.5km
所以△ABD∽△BDC，
所以 AB∥DC.
所以 ∠ABD=∠BDC，
解：平行，理由如下：
7. 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10， 点E，F在AD
边上，BF和CE交于点G，若EF= AD，求图中阴影部分的面积.
C
A
D
B
E
F
G
解：过点 G 作GM⊥BC， GN⊥AD，分别交BC，AD于M，N.
M
N
因为AD∥BC，
所以 △GBC∽△GFE，
又因为EF= AD，
又因为MN=AB= 6，
所以GN=2， GM=4.
所以S阴影部分=6×10－5－20=35
答：阴影部分的面积是35.
8. 为了测量一棵树的高度，数学兴趣小组根据光的反射定
律(图中∠1=∠2)，把一面镜子放在离树(AB)8m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，此时量的DE=3m.已知观测者目高CD=1.5m，求树AB的高度.
C
A
D
B
E
2
1
解：因为∠1=∠2，
所以∠CED=∠AEB，
又因为 ∠CDE=∠ABE=90°，
所以 △CED∽△AEB，
因为 DE=3m，CD=1.5m，BE=8m，
所以 AB=4m.
答：树AB的高度为4m.
9. 教学楼AB的高为20m，教学楼后面的水塔CD的高
为30m，如图所示.已知BC=30m，小张的目高EF为1.6m.当小张站在教学楼前E处时，刚好看到教学楼顶端A与水塔顶端D在一条直线上，求此时他与教学楼的距离BE.
C
A
D
B
E
F
小张
所以 BE=55.2m.
答：此时他与教学楼的距离BE为55.2m.
解：过点 F 作FM⊥DC于M，交 AB于点N.
N
M
所以 △AFN∽△DFM，
因为 AB∥DC，
因为AB=20m， CD=30m， BC=30m， EF=1.6m，
10. 如图，已知五边形OABCD的顶点坐标为O(0，0)，A(4，0)， B(5，5)， C(2，5)， D(0，3).
（1）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD放大为原来的1.5倍的图形.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
B
A
8
D
-6
-8
-4
-6
C
A'
B'
C'
D'
A''
B''
C''
D''
10. 如图，已知五边形OABCD的顶点坐标为O(0，0)，A(4，0)， B(5，5)， C(2，5)， D(0，3).
（2）以坐标原点O为位似中心，画出把五边形OABCD缩小为原来的 的图形.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
B
A
8
D
-6
-8
-4
-6
C
A'
B'
C'
D'
A''
B''
C''
D''
11. 在Rt△ABC中，CD是斜边 AB 上的高.求证：
（1）AC2=AD·AB；
（2）CD2=BD·AD；
A
B
C
D
证明 :（1）因为CD是斜边AB上的高，
所以 △ACB∽△ADC，
又因为 ∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A，
所以 ∠ADC=90°
温故而知新
11. 在Rt△ABC中，CD是斜边 AB 上的高.求证：
（1）AC2=AD·AB；
（2）CD2=BD·AD；
A
B
C
D
（2）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
因为 CD⊥AB，
所以 △BDC∽△CDA，
所以 ∠B+∠BCD=90°，
所以 ∠A=∠BCD，
所以∠A+∠B=90°，
又因为∠BDC=∠CDA，
12. 已知三个边长分别为 2cm，3cm，5cm 的正方形如图所示排列，求图中阴影部分的面积.
2cm
3cm
5cm
A
B
C
D
E
F
G
解：因为BC∥ DE∥GF ，
所以 △ABC ∽△ADE ∽△AFG ，
因为AB=2cm， BD=3cm， DF=5cm，
所以 BC=1cm， DE=2.5cm，
答：图中阴影部分的面积为3.75cm2.
H
J
所以 CJ=2cm， HE=0.5cm，
13. 阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7m
宽的亮区ED，如图所示.已知光线AE∥BD，亮区E点与窗口所在墙角C点的距离EC=8.7m，窗口高AB=1.8m，求窗口底边离地面的高BC.
C
A
D
B
E
解：因为AE∥DB，所以 △BCD∽△ACE，
又因为 DE=2.7m，EC=8.7m，AB=1.8m，
所以 BC=4m.
答：窗口底边离地面的高是4m.
14. 如图，正方形ABCD的边长是2，BE=CE，MN=1，
线段MN的两端点在CD，AD上滑动.当DM为多长时，△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似？试说明理由.
C
A
D
B
N
M
E
② 当△ABE∽△NDM，
解：由题意可得，BE=1，AE= .
①当△ABE∽△MDN,
答：当DM为 或 时△ABE与以D，M，N为顶点的三角形相似.
15. 如图，将图中的六边形放大为原图形的 2 倍，画出所得到的图形，并写出所得图形的各顶点的坐标.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
-4
-6
-6
(2，4)
(4，-2)
(-2，4)
(-4，0)
(-2，-4)
(2，-6)
答案不唯一
16. （1）如图①，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC
内一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=45°，AP=1，求BP的长.
C
A
P
B
①
解：因为AB = AC，∠ACB=45°，
所以 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∠ACB=∠ABC= 45°
又因为∠PCA=∠ACB－∠PCB，∠PBC=∠ABC－∠PBA， ∠PCB=∠PBA
所以∠PCA=∠PBC.
所以 △APC∽△CPB.
因为 △ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，
又因为 AP=1，
所以 BP = 2.
上下而求索
（2）如图②，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内
一点，∠PAC=∠PCB=∠PBA.若∠ACB=30°，求 的值.
C
A
P
B
②
D
解：作AD⊥BC于D，
因为AB=AC，
所以∠ABC=∠ACB= 30°，
BD =CD = BC，
因为∠PCB=∠PBA，
所以∠PCA=∠PBC，
因为∠PAC=∠PCB，
所以 △ACP∽△CBP.
所以 PB=3a，
17. 某兴趣学习小组到校外进行数学探究活动“发现一个如图所示的支架PAB，于是他们利用手中已有的工具进行了如下一系列操作：
第一步，测量支架底部A，B两点的距离；
第二步，在AP上取一点C，挂上铅垂线CD，使点D恰好落在直线AB上，测量CD和AD的长；
第三步，在BP上取一点E，挂上铅垂线EF，使点F恰好落在直线AB上，测量EF和BF的长。
已知上述步骤中测得AF=2.5m，CD=1m，AD=0.8m，EF=1.2m，BF=0.6 m.
根据以上数据，能计算出支架顶端P到地面的距离吗？如果能，计算出结果(精确到0.1m)；如果不能，试说明理由.
C
A
D
B
F
E
P
解：能计算出支架顶端P到地面的距离.
设PH=hm，FH=xm.
所以△BFE∽△BHP， △ADC∽△AHP，
所以 h= 1.2+0.6x .①
所以0.8h=3.1+x.②
联立①②可得 h≈8.3.
H
答：支架顶端Р到地面的距离约为8.3m.
C
A
D
B
F
E
P
过点P作PH⊥AB交直线AB于点H，则有PH∥EF∥CD.
因为 PH∥EF∥CD.
1.从课后习题中选取；
2.完成练习册本课时的习题.
课后作业

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