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第2课时　函数奇偶性的应用
素养目标 思维导图
结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义(数学抽象、直观想象).
课堂合作探究
探究点一　利用奇偶性求参数
【典例1】已知函数f(x)=是奇函数.
(1)求实数m的值;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围.
【思维导引】本题考查分段函数的应用,涉及函数的奇偶性与单调性,注意结合函数的图象分析函数的单调性.
(1)根据题意,设x<0,则-x>0,分析可得f(-x)的解析式,又由函数为奇函数,分析可得f(x)=x2+2x=x2+mx,解得m的值;
(2)结合函数的图象,分析可得答案.
【解析】(1)设x<0,则-x>0,
所以f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x.
又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),于是当x<0时,f(x)=x2+2x=x2+mx,
所以m=2;
(2)要使f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,
结合f(x)的图象知-1　【类题通法】利用奇偶性求参数的两种类型及解法
(1)定义域含参数:奇、偶函数f(x)的定义域为[a,b],根据定义域关于原点对称,利用a+b=0求参数.
(2)解析式中含参数:根据f(-x)=-f(x)或
f(-x)=f(x)列式,利用待定系数法求解.
【定向训练】
1.已知函数f(x)=ax2+(b-3)x+3,x∈[a2-2,a]是偶函数,则a=　　　　,b=　　　　.
【解析】由题意得出 a=1.
由于函数f(x)是偶函数,所以图象关于直线x=0对称,则=0 b=3.
答案:1　3
2.(2025·郑州高一检测)已知函数f(x)=x3+3x2满足f(x+a)-b为奇函数,则a=　　　　,b=　　　　　.
【解析】设函数g(x)=f(x+a)-b.
因为g(x)为奇函数,f(x)=x3+3x2,
所以由g(x)+g(-x)=0,可得f(x+a)-b+f(-x+a)-b=0,
所以(x+a)3+3(x+a)2-b+(-x+a)3+3(-x+a)2-b=0,
所以(x+a)3+3(x+a)2-b-(x-a)3+3(x-a)2-b=0,
整理得(6a+6)x2+2a3+6a2-2b=0,
所以
解得
答案:-1　2
探究点二　用奇偶性求解析式
【典例2】(1)函数f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,函数的解析式为f(x)=,则当x<0时,函数的解析式为　　　　　　.
(2)设f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=,求函数f(x),g(x)的解析式.
【思维导引】
【解析】(1)当x<0时,-x>0,则f(-x)==-f(x),所以f(x)=.
答案:f(x)=
(2)因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,
所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).
由f(x)+g(x)=,①
用-x代替x得f(-x)+g(-x)=,
所以f(x)-g(x)=,②
(①+②)÷2,得f(x)=;
(①-②)÷2,得g(x)=.
　【类题通法】利用函数奇偶性求解析式的方法
(1)“求谁设谁”,即在哪个区间上求解析式,x就应在哪个区间上设.
(2)要利用已知区间的解析式进行代入.
(3)利用f(x)的奇偶性写出-f(x)或f(-x),从而解出f(x).
提醒:若函数f(x)的定义域内含0且为奇函数,则必有f(0)=0,但若为偶函数,未必有f(0)=0.
【定向训练】
1.已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x<0时,
f(x)=x2-3x-1,则当x>0时,f(x)=(　　)
A.-x2-3x+1 B.x2+3x-1
C.-x2+3x+1 D.x2-3x-1
【解析】选B.根据题意,当x>0时,-x<0,
则f(-x)=(-x)2-3(-x)-1=x2+3x-1,
又由f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x)=x2+3x-1.
2.设函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=-x2-x,求函数f(x)的解析式.
【解析】设x>0,则-x<0,
则f(-x)=-(-x)2-(-x)=-x2+x.
又f(x)是R上的奇函数,
所以f(x)=-f(-x)=x2-x.
又因为函数的定义域为R,所以f(0)=0,
综上可知,f(x)=
探究点三　函数奇偶性的应用
【典例3】(1)已知偶函数f(x)的定义域为R,f(x)在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是(　　)
A.f(π)>f(-3)>f(-2)
B.f(π)>f(-2)>f(-3)
C.f(π)D.f(π)(2)设f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)【思维导引】
(1)先转化为同一单调区间,再利用单调性进行判断.
(2)由偶函数定义:f(x)=f(-x)=f(|x|),利用在[0,2]上单调递减,列不等式求解,即可得答案.
【解析】(1)选A.因为f(x)在R上是偶函数,
所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).
因为2<3<π,且f(x)在区间[0,+∞)上单调递增,所以f(2)(2)因为f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,
所以f(-x)=f(x)=f(|x|),所以不等式f(1-m)解得-1≤m<.故实数m的取值范围是[-1,).
答案:[-1,)
【类题通法】
1.比较大小的求解策略
看自变量是否在同一单调区间上.
(1)在同一单调区间上,直接利用函数的单调性比较大小;
(2)不在同一单调区间上,需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上,然后利用单调性比较大小.
2.解不等式的策略
(1)解决不等式问题时,一定要充分利用已知的条件,把已知不等式转化为f(x1)>f(x2)或f(x1)(2)利用偶函数的性质:f(x)=f(-x)=f(|x|),其优点在于避免讨论.
【定向训练】
1.若偶函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是(　　)
A.bC.a【解析】选D.因为f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),所以f(-)=f(),又f(x)在(0,+∞)上单调递增,且<<,所以f()2.已知定义在[-2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)【解析】因为f(x)在区间[-2,2]上为奇函数,且在区间[0,2]上单调递减,所以f(x)在区间
[-2,2]上单调递减.又f(1-m)即解得-1≤m<.
故实数m的取值范围是[-1,).
课堂练习
1.已知函数f(x)=为奇函数,则a+b等于(　　)
A.-1 B.1 C.0 D.2
【解析】选C.当x<0时,-x>0,因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).即ax2-bx=-x2-x,所以a=-1,b=1.故a+b=0.
2.已知偶函数f(x)在(-∞,0)上单调递增,则(　　)
A.f(1)>f(2) B.f(1)C.f(1)=f(2) D.以上都有可能
【解析】选A.因为f(x)是偶函数且在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f(1)>f(2).
√
√
3.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,若f(a)A.ab
C.|a|<|b| D.0≤ab≥0
【解析】选C.因为f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,所以由f(a)4.已知奇函数f(x)的定义域为R,且对于任意实数x都有f(x+4)=f(x),又f(1)=4,那么f(f(7))=　　　　.
【解析】因为f(7)=f(3+4)=f(3)=f(-1+4)=f(-1)=-f(1)=-4,所以f(f(7))=f(-4)=f(-4+4)=f(0)=0.
答案:0
√
5.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)=x2+x-2,求f(x),g(x)的解析式.
【解析】f(-x)+g(-x)=x2-x-2,由f(x)是偶函数,g(x)是奇函数得,f(x)-g(x)=x2-x-2,又f(x)+g(x)=x2+x-2,两式联立得f(x)=x2-2,g(x)=x.
谢 谢