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3.2.2　奇偶性
第1课时　函数奇偶性的概念
素养目标 思维导图
1.结合具体函数,了解奇偶性的概念(数学抽象). 2.学会运用函数图象理解和研究函数的性质(直观想象).
课前自主学习
问题1.(1)观察下列两个函数的图象,它们有什么共同特征
提示:从图象上可以看出,它们的图象都是关于y轴成轴对称的.
　(2)上述特征能否用数量间的关系来体现 试着填表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x2
g(x)=|x|
提示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x2 9 4 1 0 1 4 9
g(x)=|x| 3 2 1 0 1 2 3
　(3)通过上面对应值表你发现了什么
提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值相等.
问题2.(1)观察下列两个函数图象,它们有什么共同特征,与偶函数的图象特征相同吗
提示:从图象上可以看出,它们的图象都是关于原点成中心对称的,与偶函数的图象特征是不同的.
　(2)上述特征能否用数量间的关系来体现 试着填表:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x
g(x)=
提示:
x -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)=x -3 -2 -1 0 1 2 3
g(x)= - - -1 1
　(3)通过上面对应值表你发现了什么
提示:当自变量x取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数.
继续探究:
问题3.(1)对于函数y=f(x),若存在x,使f(-x)=-f(x),则函数y=f(x)一定是奇函数吗
提示:反例:f(x)=x2,存在x=0,f(-0)=-f(0)=0,但函数f(x)=x2不是奇函数.
　(2)存在既是奇函数又是偶函数的函数吗
提示:存在.例如:f(x)=0,x∈R既是奇函数,又是偶函数.
　(3)若函数的定义域关于原点对称,则这个函数不是奇函数,就是偶函数,这种说法正确吗
提示:错误.函数f(x)=x2-2x,x∈R的定义域关于原点对称,但它既不是奇函数,又不是偶函数.
【核心概念】
1.偶函数
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有
_________,那么函数f(x)是偶函数.
2.奇函数
如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x,都有
__________,那么函数f(x)是奇函数.
3.图象特点
偶函数图象关于____对称;奇函数关于______对称.
f(-x)=f(x)
f(-x)=-f(x)
y轴
原点
课堂合作探究
探究点一　函数奇偶性的判断
【典例1】(一题多解)
判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=;
(2)f(x)=(x-1);
(3)f(x)=;
(4)f(x)=.
【思维导引】根据函数奇偶性的概念,逐个判断即可.
【解析】(1)由,得-2≤x≤2,且x≠0,所以f(x)的定义域为[-2,0)∪(0,2],关于原点对称,
所以f(x)===.
又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)是奇函数.
(2)因为f(x)的定义域为[-1,1),不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
(3)对于函数f(x)=,,
所以x=±1,其定义域为,关于原点对称.
因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,
所以f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x),
所以f(x)=既是奇函数又是偶函数.
(4)方法一:函数f(x)的定义域为R,定义域关于原点对称.
①当x=0时,-x=0,
所以f(-x)=f(0)=0,f(x)=f(0)=0,
所以f(-x)=-f(x);
②当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-(-x)2-2(-x)-3=-(x2-2x+3)=-f(x);
③当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2-2(-x)+3=-(-x2-2x-3)=-f(x).
综上,可知函数f(x)为奇函数.
方法二(图象法):画出函数f(x)=
各区间段上的函数图象,如图,观察图象的对称性,可分析图象关于原点中心对称,所以为奇函数.
　【类题通法】判断函数奇偶性的两种方法
(1)定义法:
(2)图象法:
提醒:判断函数的奇偶性时,先判断函数的定义域是否关于原点对称.
【定向训练】
1.下列函数是偶函数的是(　　)
A.y=x+ B.y=x2+
C.y= D.y=
【解析】选B.对于A,y=x+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),-x+=-(x+),y=x+是奇函数;
对于B,y=x2+的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),(-x)2+=x2+,y=x2+是偶函数;
对于C,y=的定义域为(0,+∞),不是偶函数;
对于D,y=的定义域为{1},不是偶函数.
2.函数f(x)=是　　　(从“奇函数”“偶函数”“既奇又偶函数”“非奇非偶函数”中选一个恰当答案填入).
【解析】由不等式10-x2>0,可得-又由f(x)===,可得f(-x)=-=-f(x),
所以函数f(x)=为奇函数.
答案:奇函数
探究点二　奇、偶函数的图象问题
【典例2】已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图象如图所示.
(1)画出函数f(x)在区间[-5,0]上的图象.
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
【思维导引】利用奇函数的性质,画出函数f(x)在[-5,0]上的简图,数形结合可得结果.
【解析】(1)因为函数f(x)是奇函数,所以y=f(x)在[-5,5]上的图象关于原点对称.由y=f(x)在[0,5]上的图象,可知它在[-5,0]上的图象,如图所示.
(2)由图象知,使函数值f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5).
【类题通法】
1.巧用奇偶性作函数图象的步骤
(1)确定函数的奇偶性.
(2)作出函数在[0,+∞)(或(-∞,0])上对应的图象.
(3)根据奇(偶)函数关于原点(y轴)对称得出在(-∞,0](或[0,+∞))上对应的函数图象.
2.奇偶函数图象的应用类型及处理策略
(1)类型:利用奇偶函数的图象可以解决求值、比较大小及解不等式问题.
(2)策略:利用函数的奇偶性作出相应函数的图象,根据图象直接观察.
【定向训练】
1.(多选题)如图的四个函数图象中为奇函数图象的是(　　)
【解析】选BD.奇函数的函数图象关于原点对称,偶函数的函数图象关于y轴对称.
结合选项可知,A,C的图象关于y轴对称,为偶函数,故排除A,C;
B,D的图象关于原点对称,为奇函数,故B,D正确.
2.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x≤0时,f(x)=x2+2x.现已画出函数f(x)在y轴左侧的图象,如图所示.
(1)请补全函数y=f(x)的图象;
(2)根据图象写出函数y=f(x)的单调递增区间;
(3)根据图象写出使f(x)<0的x的取值集合.
【解析】(1)由题意作出函数图象如图.
(2)由图可知,函数y=f(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).
(3)由图可知,使f(x)<0的x的取值集合为{x|-2课堂练习
1.下列函数是偶函数的是 (　　)
A.f(x)=x
B.f(x)=2x2-3
C.f(x)=
D.f(x)=x2,x∈(-1,1]
【解析】选B.对于A,f(-x)=-x=-f(x),是奇函数;对于B,定义域为R,满足f(x)=f(-x),是偶函数;对于C和D,定义域不关于原点对称,则不是偶函数,故B正确.
√
2.下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 (　　)
【解析】选B.选项A中的图象关于原点或y轴均不对称,故排除;选项C,D中的图象表示的函数的定义域不关于原点对称,不具有奇偶性,故排除;选项B中的图象关于y轴对称,其表示的函数是偶函数.
√
3.若f(x)是定义在R上的奇函数,f(3)=2,则f(-3)=　　　,f(0)=　　　　.
【解析】因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(-3)=-f(3)=-2,f(0)=0.
答案:-2　0
4.已知f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)=　　　　　.
【解析】由题意知,f(-1)+g(1)=-f(1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=f(1)+g(1)=4.
两式相加,解得g(1)=3.
答案:3
5.如图,已知偶函数f(x)的定义域为{x|x≠0,x∈R},且f(3)=0,则不等式f(x)<0的解集为　　　　　　.
【解析】由条件利用偶函数的性质,画出函数f(x)在R上的简图,数形结合可得不等式f(x)<0的解集为(-3,0)∪(0,3).
答案:(-3,0)∪(0,3)
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