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(共29张PPT)
3.4　函数的应用(一)
素养目标 思维导图
1.理解函数是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具(数学抽象). 2.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律(数学抽象).
课堂合作探究
探究点一　一次函数模型
【典例1】某校高一(8)班共有学生50人,据统计,原来每人每年用于购买饮料的平均支出是a元.经测算和市场调查,若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯净水,则年总费用由两部分组成,一部分是购买纯净水的费用,另一部分是其他费用780元,其中纯净水的销售价x(元/桶)与年购买总量y(桶)之间满足如图所示的关系.
(1)求y与x的函数解析式.
(2)若该班每年需要纯净水380桶,且a为120,请你根据提供的信息分析:该班学生集体改饮桶装纯净水与个人买饮料相比,哪一种更省钱
【思维导引】本题实质是考查数形结合思想、信息处理能力、待定系数法,解答本题的关键是读懂题意,理解问题的实质.
【解析】(1)由题意,可设y与x的函数解析式为y=kx+b,把(4,400),(5,320)代入得
解得
所以y=-80x+720.
(2)当a=120时,若购买饮料,
则总费用为120×50=6 000(元);
若集体改饮桶装纯净水,设所有的费用为ω元,
由380=-80x+720,得x=4.25.
所以ω=380×4.25+780=2 395<6 000.
所以该班学生集体改饮桶装纯净水更省钱.
　【类题通法】一次函数模型的特点和求解方法
(1)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线.
(2)解一次函数模型时,注意待定系数法的应用,主要步骤是:设元、列式、求解.
提醒:解一次函数模型题的关键是准确读懂题意,从中提炼出一次函数模型以及一些关键点,并用待定系数法确定一次函数解析式.
【定向训练】
　为了改善学校办公环境,某校计划购买A,B两种型号的笔记本电脑共15台,已知A型笔记本电脑每台5 200元,B型笔记本电脑每台6 400元,设购买A型笔记本电脑x台,购买两种型号的笔记本电脑共需要费用y元.
(1)求出y关于x的函数解析式.
(2)若因为经费有限,学校预算不超过9万元,且购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,请问:学校共有几种购买方案 哪种方案费用最少 求出费用最少的方案所需费用.
【解析】(1)因为购买A型笔记本电脑x台,所以购买B型笔记本电脑(15-x)台,
所以y=5 200x+6 400(15-x)=-1 200x+96 000,
所以y关于x的函数解析式为y=-1 200x+96 000.
(2)因为学校预算不超过9万元,购买A型笔记本电脑的数量不得比B型笔记本电脑数量的2倍还要多,所以
解得5≤x≤10,而x为整数,故x可取5,6,7,8,9,10,学校共有6种购买方案.
由y=-1 200x+96 000,因为-1 200<0,
所以函数y=-1 200x+96 000单调递减,
又5≤x≤10且x为整数,所以当x=10时,y有最小值,最小值为-1 200×10+96 000=84 000,此时15-x=5.
故学校共有6种购买方案,购买A型笔记本电脑10台、B型笔记本电脑5台时费用最少,该方案所需费用为84 000元.
探究点二　二次函数及幂函数模型
【典例2】(2025·辽阳高一检测)辽阳大果榛子外形美观、果大皮薄,深受消费者欢迎.某辽阳大果榛子网店为回馈新老顾客,提供两种购买大果榛子的优惠方案:第一种方案,每千克的售价为24元,顾客买x(x>0)千克,每千克的售价降低x元;第二种方案,顾客买x(x>0)千克,每千克的售价为(14+)元.已知每位顾客限购9千克大果榛子.设一名顾客按照第一种方案购买大果榛子的付款额为f(x)元,按照第二种方案购买大果榛子的付款额为g(x)元.
(1)分别求函数f(x),g(x)的解析式;
(2)已知顾客甲、乙在这家网店均选择了更经济实惠的方案购买大果榛子,甲、乙的付款总额为135元,且甲购买了5千克大果榛子,试问乙购买了多少千克大果榛子
【解析】(1)根据题意,f(x)=x(24-x)=-x2+24x,x∈(0,9],g(x)=x(14+)=14x+21,x∈(0,9].
(2)由(1)得,f(5)=95,g(5)=91,
所以f(5)>g(5),则甲选择第二种方案购买,花费91元,乙花费135-91=44(元),
若乙按照第一种方案购买,则-x2+24x=44,
解得x=2或22,
又x∈(0,9],所以x=2,即乙可以购买2千克大果榛子;
若乙按照第二种方案购买,则14x+21=44,
解得x=<2,
所以乙应该按照第一种方案购买,乙购买了2千克大果榛子.
　【类题通法】二次函数模型是实际应用题中常见的类型,也是高考考查的重点题型.特别是在解决实际问题中的最大、最小值问题时,可用配方法、函数的单调性等方法.
　　　　　　【知识延拓】解决二次函数模型应用题的四个步骤
(1)审题:理解题意,设定变量x,y.
(2)建模:建立二次函数关系,并注明定义域.
(3)解模:运用二次函数相关知识求解.
(4)结论:回归到应用问题中去,给出答案.
【定向训练】
1.已知某炮弹飞行高度h(单位:m)与时间x(单位:s)之间的函数解析式为h=130t-5t2,则炮弹飞行高度高于240 m的时间长为(　　)
A.22 s B.23 s C.24 s D.25 s
【解析】选A.根据题意可得130t-5t2>240,解得22.某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元,每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工艺时,可以生产最低档次产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则每天获得利润最大时生产产品的档次是 (　　)
A.7 B.8 C.9 D.10
【解析】选C.由题意,当生产第k档次的产品时,
每天可获得的利润是生产件数与每件的利润的乘积,为
y=[8+2(k-1)][60-3(k-1)]=-6k2+108k+378(1≤k≤10),
配方可得y=-6(k-9)2+864,
所以当k=9时,获得利润最大.
3.A,B两城相距100 km,拟在两城之间距A城x km处建一发电站给A,B两城供电,为保证城市安全,发电站距城市的距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位:km)的平方与供电量(单位:亿千瓦时)之积的,若每月向A城供电20亿千瓦时,每月向B城供电10亿千瓦时.
(1)求x的取值范围;
(2)把月供电总费用y表示成关于x的函数;
(3)发电站建在距A城多远处,能使供电总费用y最少
【解析】(1)x的取值范围为{x|10≤x≤90}.
(2)y=×x2×20+×(100-x)2×10=5x2+
(100-x)2=x2-500x+25 000(10≤x≤90).
(3)由(2)知y=(x-)2+,则当x=时,y取得最小值,ymin=.故发电站建在距A城km处,能使供电总费用y最少.
探究点三　分段函数模型
【典例3】(规范解答)
(13分)某生态基地种植某中药材的年固定成本为250万元,每产出x吨需另外投入可变成本C(x)万元,已知C(x)=通过市场分析,该中药材可以每吨50万元的价格全售完,设基地种植该中药材年利润(利润=销售额-成本)为L(x)万元,当基地产出该中药材40吨时,年利润为190万元.(≈1.41)
(1)年利润L(x)(单位:万元)关于年产量x(单位:吨)的函数解析式;
(2)当年产量为多少时(精确到0.1吨),所获年利润最大 最大年利润是多少(精确到0.1吨)
【思维导引】(1)由基地产出该中药材40吨时,年利润为190万元,列出方程,即可求解;(2)当x∈(0,50]时,求得此段年利润最大值;当x∈(50,100]时,结合基本不等式,求得此段年利润最大值,两者比较,即可求得结果.
【解析】(1)当基地产出该中药材40吨时,年成本为(1 600a+49×40+250)万元,利润为50×40-(1 600a+49×40+250)=190,解得a=-,
………… 3分
则L(x)=
………… 6分
(2)当x∈(0,50],L(x)=x2+x-250,对称轴为x=-2<0,则函数在(0,50]上单调递增,故当x=50时,ymax=425, ………… 8分
当x∈(50,100]时,L(x)=-x-+620=-(x+)+620=620.5-()≤620.5-120≈451.3,
当且仅当=,即x=60≈84.1时取等号, ………… 11分
因为425<451.3,所以当年产量约为84.1吨时,
所获年利润最大,最大年利润约是451.3万元.
………… 13分
　【类题通法】分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段变量的范围,特别是端点值.
【定向训练】
　(2024·济宁高一检测)某医学团队研制出预防某疾病的新药,服用x小时后血液中的残留量为y毫克,如图所示为函数y=f(x)的图象,当血液中药物残留量不小于240毫克时,治疗有效.设某人上午8:00第一次服药,为保证疗效,则第二次服药最迟的时间应为(　　)
A.上午10:00 B.中午12:00
C.下午4:00 D.下午6:00
【解析】选C.由题中图象知,
当0≤x≤4时,设直线y=k1x,把点(4,320)代入得k1=80,所以y=80x;
当4将点(4,320)和(20,0)代入得
解得此时y=-20x+400,
所以f(x)=
当0≤x≤4时,令80x≥240,得3≤x≤4,当4解得4课堂练习
1.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系为y=5x+40 000.而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本,至少日产手套(　　)
A.2 000双 B.4 000双
C.6 000双 D.8 000双
【解析】选D.由5x+40 000≤10x,得x≥8 000.
√
2.某商店同时卖出两件外套,售价均为168元,以成本计算,一套盈利20%,另一套亏损20%,此时商店 (　　)
A.不亏不盈 B.盈利37.2元
C.亏损14元 D.盈利14元
【解析】选C.设两件外套的成本分别为a,b元,
则
解得
所以2×168-(a+b)=336-350=-14,所以此时商店亏损14元.
√
3.某桶装水经营部每天房租、工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进价为5元,销售单价与日销售量的关系如表:
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润 最大利润是多少
【解题指南】解答本题可先分析表格,从中找到单价每增加1元,则日销量就减少40桶,然后设出有关未知量,建立函数模型,进而解决问题.
【解析】设每桶水在进价的基础上上涨x元,利润为y元,由题表格中的数据可以得到,价格每上涨1元,日销售量就减少40桶,所以涨价x元后,日销售的桶数为480-40(x-1)=520-40x>0,
所以0所以当x=6.5时,利润最大,即当每桶水的价格为11.5元时,利润最大值为1 490元.
谢 谢

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