资源简介

(共34张PPT)
第2课时　函数的最大值、最小值
素养目标 思维导图
1.借助函数图象,会用符号语言表达函数的最大值、最小值(直观想象). 2.理解它们的作用和实际意义(数学抽象).
课前自主学习
问题1.观察下列两个函数的图象,回答有关问题:
(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最高点
提示:题图①中函数y=-x2的图象有一个最高点;
题图②中函数y=-x的图象没有最高点.
　(2)通过观察图①你能发现什么
提示:对任意x∈R,都有f(x)≤f(0).
问题2.观察下列两个函数的图象,回答有关问题.
　(1)比较两个函数的图象,它们是否都有最低点
提示:题图①中函数y=x2的图象有一个最低点.
题图②中函数y=x的图象没有最低点.
　(2)通过观察图①你能发现什么
提示:对任意x∈R都有f(x)≥f(0).
【核心概念】
　函数最大值与最小值
项目 最大值 最小值
条件 一般地,设函数y=f(x)的定义域为D,如果存在实数M满足: x∈D,都有f(x)≤M x∈D,都有f(x)≥M
x0∈D,使得________ 结论 M是函数y=f(x)的最大值 M是函数y=f(x)的最小值
几何意义 f(x)图象上最高点的________ f(x)图象上最低点的________
f(x0)=M
纵坐标
纵坐标
课堂合作探究
探究点一　利用单调性求函数最值
【典例1】已知函数f(x)=.
(1)判断函数f(x)在区间[0,+∞)上的单调性,并用定义证明其结论.
(2)求函数f(x)在区间[2,9]上的最大值与最小值.
【思维导引】先用定义研究函数在区间上的单调性,再求最值.
【解析】(1)f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
证明如下:
任取x1,x2∈[0,+∞),且x1=.
因为x1-x2<0,(x1+1)(x2+1)>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在区间[0,+∞)上单调递增.
(2)由(1)知函数f(x)在区间[2,9]上单调递增,
故函数f(x)在区间[2,9]上的最大值为f(9)==,最小值为f(2)==.
　【类题通法】求函数最值的方法
(1)观察法:对于简单的初等函数,可以依据定义域求出值域,观察得出.
(2)图象法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助图象直观求出.
(3)单调性法:对于较复杂的函数,可利用单调性的判断方法,先判断出函数的单调性,然后求最值.
提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法,特别是当函数图象不好画或画不出来时,单调性几乎成为首选方法.
【定向训练】
　(2025·东莞高一检测)已知函数f(x)=,且f(1)=10.
(1)求a;
(2)判断函数f(x)在[3,+∞)上的单调性,并用定义法证明;
(3)求函数f(x)在区间[3,6]上的最大值和最小值.
【解析】(1)函数f(x)=,因为f(1)=10,
所以f(1)==10,则a=9.
(2)函数f(x)在[3,+∞)上单调递增,证明如下:
由(1)知,f(x)==x+,
设3≤x1由3≤x10,x1-x2<0,x1x2>0,
所以(x1-x2)()<0 f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)在[3,+∞)上单调递增.
(3)由(2)可知f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,则在区间[3,6]上单调递增,
所以f(x)min=f(3)=3+=6,f(x)max=f(6)=6+=,所以函数f(x)在[3,6]上的最大值为,最小值为6.
探究点二　二次函数求最值
【典例2】(规范解答)
(13分)(1)求函数f(x)=-3x在区间[2,4]上的值域.
(2)已知二次函数f(x)=x2-mx+m-1(m∈R).函数在区间[-1,1]上的最小值记为g(m),求g(m)的值域.
【思维导引】(1)换元法,令=t,可得函数g(t)=t-3(6-t2)=3t2+t-18,讨论其值域即可求解;
(2)分类讨论二次函数的对称轴与给定区间[-1,1]的关系,分别表示出函数的最小值,表示为分段函数形式,作出图象即可求解.
【解析】(1)函数f(x)=-3x,
设=t,则x=6-t2(t≥0),……1分
因为x∈[2,4],所以≤t≤2, ……2分
那么函数f(x)转化为g(t)=t-3(6-t2)=3t2+t-18(t≥0), ……3分
其对称轴为t=-,所以当≤t≤2时g(t)单调递增,
所以g()≤g(t)≤g(2),即-12≤g(t)≤-4,
故f(x)在[2,4]上的值域为[-12,-4].
……6分
(2)f(x)=x2-mx+m-1,二次函数对称轴为x=,图象开口向上, …… 7分
①若<-1,即m<-2,此时函数f(x)在区间[-1,1]上单调递增,所以最小值g(m)=f(-1)=2m;
…… 8分
②若-1≤≤1,即-2≤m≤2,此时当x=时,函数f(x)最小,最小值g(m)=f()=-+m-1; ……9分
③若>1,即m>2,此时函数f(x)在区间[-1,1]上单调递减,所以最小值g(m)=f(1)=0.
综上g(m)=,作出分段函数的图象如图, …… 11分
所以当m<-2时,g(m)∈(-∞,-4);
当-2≤m≤2时,g(m)∈[-4,0];
当m>2时,g(m)=0,
综上知g(m)的值域为(-∞,0]. …… 13分
　【类题通法】求二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)在区间[m,n]上的最值的类型
(1)若对称轴x=-在区间[m,n]内,则最小值为f(-),最大值为f(m),f(n)中较大者(或区间端点m,n中与x=-距离较远的一个对应的函数值为最大值).
(2)若-(3)若->n,则f(x)在[m,n]上单调递减,最大值为f(m),最小值为f(n).
【定向训练】
　(2025·济南高一检测)已知函数f(x)=x2-ax+3(a∈R).
(1)已知A={x|f(x)>0},若2 A,求实数a的取值范围;
(2)求f(x)在[-1,3]上的最小值h(a).
【解析】(1)因为A={x|f(x)>0},2 A,
所以f(2)≤0,所以22-2a+3≤0,解得a≥,
所以实数a的取值范围为 {a|a≥ }.
(2)由f(x)=x2-ax+3(a∈R),得函数f(x)的对称轴为直线x=,
当≤-1,即a≤-2时,f(x)在区间[-1,3]上单调递增,所以h(a)=f(-1)=a+4;
当-1<<3,即-2所以h(a)=f()=3-;
当≥3,即a≥6时,f(x)在区间[-1,3]上单调递减,所以h(a)=f(3)=12-3a.
综上,h(a)=
探究点三　函数单调性的应用
【典例3】某果树的单株产量W(x)(单位:千克)与肥料费10x(单位:元)满足如下关系:W(x)=其他成本投入(如培育管理等人工费)为20x(单位:元).
已知这种水果的市场售价大约为10元/千克,且供不应求.记该果树单株获得的利润为f(x)(单位:元).
(1)求f(x)的函数解析式;
(2)当投入的肥料费为多少时,该果树单株获得的利润最大 最大利润是多少
【思维导引】(1)由单株产量W(x)乘售价减去肥料费和其他成本投入可得出函数解析式;
(2)利用二次函数的单调性求出当0≤x≤2时,f(x)的最大值,由基本不等式求出当2【解析】(1)由题意可得f(x)=10W(x)-20x-10x=10W(x)-
30x=
=
故f(x)的函数解析式为
f(x)=
(2)由(1)知f(x)=
=
当0≤x≤2时,f(x)在[0,]上单调递减,在(,2]上单调递增,且f(0)=100所以f(x)max=f(2)=240;
当2因为x+1+≥2=8,
当且仅当=1+x,即x=3时等号成立.
所以f(x)max=510-30×8=270.
因为240<270,所以当x=3时,f(x)max=270.
当投入的肥料费为30元时,该果树单株获得的利润最大,最大利润是270元.
　【类题通法】解实际应用问题的五个步骤
(1)审:审清题意,读懂题,找出各量之间的关系.
(2)设:从实际问题中抽象出数学模型,恰当设出未知数.
(3)列:根据已知条件列出正确的数量关系.
(4)解:转化为求函数的最值或解方程或解不等式.
(5)答:回归实际,明确答案,得出结论.
【定向训练】
1.已知函数f(x)=有最小值,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-,1) B.(-,1)
C.[-,1] D.(-,1]
【解析】选C.当x≥0时,f(x)=(x-1)2-1,
此时f(x)min=f(1)=-1,而当x<0,
a=1时,f(x)=2为常函数,此时在R上满足函数f(x)有最小值为-1,
当a≠1时,函数f(x)此时为单调的一次函数,要满足在R上有最小值,
只需,
解得-≤a<1,
综上,满足题意的实数a的取值范围为[-,1].
2.某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知总收益满足函数:R(x)=其中x(单位:台)是仪器的月产量.
(1)将利润表示为月产量x的函数f(x).
(2)当月产量为何值时,公司所获利润最大 最大利润为多少元 (利润=总收益-总成本)
【解析】(1)由题知,月产量为x台,
则总成本为(20 000+100x)元,
从而f(x)=
(2)当0≤x≤400时,f(x)=-(x-300)2+25 000.
所以当x=300时,f(x)max=25 000;
当x>400时,f(x)=60 000-100x单调递减,
f(x)<60 000-100×400=20 000<25 000.
所以当x=300时,f(x)max=25 000.
即月产量为300台时利润最大,最大利润为25 000元.
课堂练习
1.设函数f(x)=2x-1(x<0),则f(x) (　　)
A.有最大值
B.有最小值
C.既有最大值又有最小值
D.既无最大值又无最小值
【解析】选D.因为f(x)在(-∞,0)上单调递增,所以f(x)√
2.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为 (　　)
A.[0,3] B.[-1,0]
C.[-1,+∞) D.[-1,3]
【解析】选D.因为函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3],
所以当x=1时,函数y取得最小值,为-1,
当x=3时,函数y取得最大值,为3,
故函数的值域为[-1,3].
√
3.若函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值的差为2,则实数a的值是 (　　)
A.2 B.-2
C.2或-2 D.0
【解析】选C.依题意,当a>0时,2a+1-(a+1)=2,即a=2;
当a<0时,a+1-(2a+1)=2,即a=-2.
综上,实数a的值是2或-2.
√
4.求函数f(x)=的最值.
【解析】函数y=f(x)的图象如图.
由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值.
谢 谢

展开更多......

收起↑