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3.3　幂函数
素养目标 思维导图
1.通过实例了解幂函数的概念(数学抽象). 2.结合函数y=x,y=x2,y=x3,y=x-1,y=的图象,了解它们的变化情况(直观想象).
课前自主学习
问题:给出下列5个问题:①如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元,这里p是w的函数.
②如果正方形的边长为a,那么正方形的面积S=a2,这里S是a的函数.
③如果立方体的棱长为a,那么立方体的体积V=a3,这里V是a的函数.
④如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长a=,这里a是S的函数.
⑤如果某人t s内骑车行进了1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 km/s,这里v是t的函数.
　(1)上述5个问题中,若自变量都用x表示,因变量用y表示,则对应的函数关系式分别是什么
提示:①y=x;②y=x2;③y=x3;④y=;⑤y=x-1.
　(2)这5个函数有什么特征
提示:①指数是常数;②底数是变量.
【核心概念】
1.幂函数的概念
一般地,函数y=xα(α∈R)叫做幂函数,其中_______是自变量,α是______.
2.幂函数的图象与性质
(1)五个常见幂函数的图象如图:
　x　
常数
(2)五个常见幂函数的性质:
函数性质 y=x y= y=x2 y=x3 y=
定义域 R ______ R R _______
_______
值域 R [0,+∞) ______ R (-∞,0)∪
(0,+∞)
奇偶 性 奇 非奇 非偶 ___ ___ 奇
[0,+∞)
(-∞,0)∪
(0,+∞)
[0,+∞)
偶
奇
函数性质 y=x y= y=x2 y=x3 y=
单调性 R上 _____ _____ [0,+∞) 上_____ _______ (-∞,0)上_____ ______,[0,+∞) 上__________ R上 ______ _____ (-∞,0)上___________,(0,+∞)上__________
公共点 (1,1) 单调
递增
单调
递增
单调
递减
单调递增
单调
递增
单调递减
单调递减
课堂合作探究
探究点一　幂函数的概念
【典例1】(1)已知幂函数f(x)=axb+c-2的图象经过点(2,8),则a+b+c=　　　　　.
【解析】因为f(x)=axb+c-2为幂函数,
则可得即f(x)=xb.
又因为f(x)的图象经过点(2,8),所以2b=8,解得b=3,所以a+b+c=1+3+2=6.
答案:6
(2)已知y=(m2+2m-2)+2n-3是幂函数,求m,n的值.
【解析】由题意得
解得或
所以m=-3或1,n=.
【类题通法】
　判断一个函数是否为幂函数的依据
函数的解析式为y=xα(α为常数)的形式,即(1)指数为常数,(2)底数为自变量且系数为1,形如y=(3x)α,y=2xα,y=xα+5,…的函数都不是幂函数.
【定向训练】
　如果幂函数f(x)=xa的图象经过点(9,3),那么a的值是(　　)
A.-2 B.2 C.- D.
【解析】选D.将点(9,3)代入f(x)=xa可得3=9a,即3=32a可得2a=1,解得a=.
探究点二　幂函数的图象和性质
【典例2】(1)如图所示,图中的曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象,已知n取±2,±四个值,则相应于C1,C2,C3,C4的n依次为(　　)
A.-2,-,,2 B.2,,-,-2
C.-,-2,2, D.2,,-2,-
(2)已知幂函数y=x3m-9(m∈N*)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上单调递减,求满足(a+3<(5-2a的a的取值范围.
【思维导引】(1)根据幂函数的图象特征与性质确定相应的函数图象.
(2)先利用幂函数的定义、奇偶性、单调性确定m的值,再利用幂函数的单调性求解关于a的不等式.
【解析】(1)选B.根据幂函数y=xn的性质,在第一象限内的图象,当n>0时,n越大,y=xn的图象递增速度越快,故C1的n=2,C2的n=,当n<0时,|n|越大,曲线越陡峭,所以曲线C3的n=-,曲线C4的n=-2.
(2)因为函数在(0,+∞)上单调递减,所以3m-9<0,解得m<3,又m∈N*,所以m=1,2.
因为函数的图象关于y轴对称,所以3m-9为偶数,故m=1,则原不等式可化为(a+3<(5-2a.
因为y=在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减,所以a+3>5-2a>0或5-2a即a的取值范围是(,)∪(-∞,-3).
　【类题通法】幂函数的性质如下
(1)在区间(0,+∞)上都有定义,并且图象都通过点(1,1).
(2)若α>0,则幂函数的图象通过原点,并且在区间[0,+∞)上单调递增.当0<α<1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向右;当α>1时,在第一象限内为抛物线形,且开口向上.
(3)若α<0,则幂函数在区间(0,+∞)上单调递减,在第一象限内为双曲线形,当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴;当x趋于+∞时,图象在x轴上方无限地逼近x轴.
【定向训练】
1.已知函数f(x)的图象如图所示,则f(x)的解析式可能是(　　)
A.y= B.y= C.y=x3 D.y=
【解析】选D.对于A:函数y==的定义域为[0,+∞),显然不符合题意,故A错误;
对于B:函数y==的定义域为(0,+∞),显然不符合题意,故B错误;
对于C:函数y=x3的定义域为R,又y=x3为奇函数,但是y=x3在(0,+∞)上函数图象是下凸递增的,故不符合题意,故C错误;
对于D:y==的定义域为R,又y=为奇函数,且y=在(0,+∞)上函数图象是上凸递增的,故D正确.
2.若幂函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1在其定义域上是增函数.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若f(2-a)【解析】(1)由函数f(x)=(2m2+m-2)x2m+1是幂函数,得2m2+m-2=1,解得m=1或m=-;
当m=1时,f(x)=x3,在定义域R上是增函数,满足题意;
当m=-时,f(x)=x-2,在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上不是增函数,不满足题意,
所以m=1,f(x)=x3.
(2)由(1)知f(x)=x3,在定义域R上是增函数,
所以不等式f(2-a)0,解得:a<-3或a>2,
所以a的取值范围是(-∞,-3)∪(2,+∞).
探究点三　幂值的大小比较
【典例3】比较下列各组数的大小:
(1)1.10.1,1.20.1.　(2)0.2,0.2.
【思维导引】指数式比较大小 指数相同利用幂函数的单调性来比较大小.
【解析】(1)由于要比较的数的指数相同,对于函数y=x0.1,在第一象限内函数单调递增,又因为1.1<1.2,所以1.10.1<1.20.1.
(2)由于要比较的数的指数相同,对于函数y=,在第一象限内函数单调递减,又因为0.24<0.25,
所以0.2>0.2.
【类题通法】
利用幂函数单调性比较大小的三种基本方法
【定向训练】
1.(2025·南阳高一检测)下列比较大小中正确的是(　　)
A.()0.5<()0.5
B.(-)-1<(-)-1
C.(-2.1<(-2.2
D.(-<(
【解析】选C.对A:因为幂函数y=x0.5在(0,+∞)上单调递增,且>,所以()0.5>()0.5,故A错误;对B:因为幂函数y=x-1为奇函数,在(0,+∞)上单调递减,>,所以()-1<()-1
-()-1>-()-1,即(-)-1>(-)-1,故B错误;对C:因为幂函数y=为奇函数,在(0,+∞)上单调递增,2.1>,所以(2.1>(= -(2.1<-(2.2,即(-2.1<(-2.2,故C正确;对D:因为幂函数y=为偶函数,在(0,+∞)上单调递增,>,所以(>(
(-=(>(,即(->(,故D错误.
2.已知幂函数f(x)=(m2-2m+1)的图象过点(4,2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)判断函数的单调性,并进行证明;
(3)若f(a+1)>f(2a-3),求实数a的取值范围.
【解析】(1)因为f(x)=(m2-2m+1)为幂函数,所以m2-2m+1=1,所以m=2或m=0.
当m=2时,f(x)=,图象过点(4,2);
当m=0时,f(x)=,图象不过点(4,2),舍去.
综上,f(x)=.
(2)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增.设x1,x2∈[0,+∞),且x1(3)函数f(x)在[0,+∞)上单调递增,由f(a+1)>f(2a-3),则解得≤a<4.
综上,a的取值范围为[,4).
课堂练习
1.给出四个说法:
①当α=0时,y=xα的图象是一个点;
②幂函数的图象都经过点(0,0),(1,1);
③幂函数的图象不可能出现在第四象限;
④幂函数y=xα的图象在第一象限内单调递减,则α<0.
其中,正确的说法个数是(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【解析】选B.当α=0时,函数y=xα的定义域为{x|x≠0,x∈R},故①不正确;当α<0时,函数y=xα的图象不过(0,0)点,故②不正确;③④正确.
√
2.已知幂函数y=f(x)的图象经过点(4,),则f(2)=(　　)
A. B.4 C. D.
【解析】选C.设幂函数为y=xα.因为幂函数的图象经过点(4,),所以=4α,所以α=-,
所以y=,所以f(2)==.
3.若幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点(8,),则n=　　　　.
【解析】由题意可得解得n=-.
答案:-
√
4.若幂函数y=(2a2+a)xa在(0,+∞)上单调递减,则a=　　　　　.
【解析】2a2+a=1,解得a=-1或a=.
当a=时,y=,在(0,+∞)上单调递增,与已知不符,舍去;
当a=-1时,y=x-1,在(0,+∞)上单调递减,与已知相符,综上所述,a=-1.
答案:-1
5.比较下列各组数的大小:
(1)-与-(.
(2)(-与(-.
【解析】(1)-=-(,函数y=在(0,+∞)上单调递增,又>,则(>(.
所以-<-(.
(2)(-=(=(,(-=(.因为函数y=在(0,+∞)上单调递减,又>,所以(-<(-.
谢 谢

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