资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026中考有关圆的考题
一、解答题：本题共17小题，共136分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，直线经过上的点，且，，求证：直线是的切线．
【答案】证明：连接，

，，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线．
【解析】证明：连接，

，，
，
，
，
，
，
是的半径，
直线是的切线．
连接，根据三角形的内角和定理得到，根据等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
2.本小题分
如图，，，分别与相切于，，三点，且．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．
【答案】．
理由如下：
，，分别与相切于，，三点，
平分，平分，
，，
，
，
，
，
，

【解析】解：．
理由如下：
，，分别与相切于，，三点，平分，平分，
，，
，
，
，
，
，
；
连接，如图，
，
，
在中，，
，
，
切于点，
，
，
，
即的半径为．
先根据切线长定理得到，，则，再根据平行线的性质得到，所以，然后根据三角形内角和定理得到，从而根据垂直的定义得到；
连接，如图，利用得到，在中利用正切的定义计算出，再利用勾股定理计算出，接着利用切线的性质得到，然后利用面积法求出即可．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了切线长定理、圆周角定理和解直角三角形．
3.本小题分
如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且．
求证：为的切线．
求证：．
若，，求的长．
【答案】连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
为的切线 是的中点，
，
，
，
，
，是的直径，
，
，
，

【解析】证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，即，
，
是的半径，
为的切线；
证明：是的中点，
，
，
，
，
，是的直径，
，
，
，
；
解：，，
，
，，
∽，
，
，
．
连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；
由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证；
由题意易得∽，然后可得，进而问题可求解．
本题主要考查了切线的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键．
4.本小题分
如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且．
求证：为半圆的切线；
连接，若，，求的长．
【答案】证明：连接交于，连接，如图，
在和中，
，
≌，
，
，
为半径，
为半圆的切线
【解析】证明：连接交于，连接，如图，
在和中，
，
≌，
，
，
为半径，
为半圆的切线；
解：连接，如图，
为直径，
，
，
，
在中，，
，
，
，
解得，
，
，，
点、在的垂直平分线上，
即垂直平分，
，
，
，
∽，
：：，
即：：，
解得，
，
，，
∽，
，
，
，
在中，．
证明≌得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
连接，如图，先根据圆周角定理得到，，则在中利用正切的定义得到，所以利用勾股定理可计算出，，再证明垂直平分得到，所以，接着证明∽，利用相似比求出，所以，然后证明∽，则利用相似比和比例的性质可求出，最后利用勾股定理计算出的长．
本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或计算相应线段的长．也考查了垂径定理、圆周角定理和切线的判定与性质．
5.本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为．
求证：；
若，，求的半径．
【答案】证明：连接，
为的直径，
，
，
，

连接
弦，为直径，，

，，

由勾股定理得到：，
设的半径为，则
由勾股定理得到：，
，
，
的半径为．

【解析】证明：连接，
为的直径，
，
，
，

连接
弦，为直径，，

，，

由勾股定理得到：，
设的半径为，则
由勾股定理得到：，
，
，
的半径为．
连接，由圆周角定理得到，由等腰三角形的性质推出
连接由垂径定理求出，由勾股定理求出，设的半径为，由勾股定理得到，求出，即可得到的半径长．
本题考查圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理列出关于的方程．
6.本小题分
如图，点在上，连接并延长至点，过点作的切线，切点为，作弦，垂足为，作，连接．
求证：；
若，，求的长．
【答案】证明：连接并延长交于点，如图，
为的切线，
，
，
，
，

【解析】证明：连接并延长交于点，如图，
为的切线，
，
，
，
，
；
解：设的半径为，则，，
，
，
在中，，
解得，
即，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
∽，
：：，
即：：，
解得，
．
连接并延长交于点，如图，先根据切线的性质得到，再根据平行线的性质得到，接着利用垂径定理得到，然后根据圆心角、弧、弦的关系得到结论；
设的半径为，则，，在中利用勾股定理得到，解方程得到，，根据垂径定理，由得到，再利用面积法求出，所以，接着利用勾股定理计算出，由于，则，然后证明∽，于是利用相似比求出，从而得到的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
7.本小题分
如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且．
求证：为的切线；
求证：；
若，，求的长．
【答案】(1)证明：连接，如图所示：
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∵是的半径，
∴为的切线．

(2)证明：∵D是的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，是的直径，
∴，
∴，
∴，
∴．

(3)解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．

【解析】
连接，由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证；

由题意易得，然后可得，则有，进而问题可求证；

由题意易得，然后可得，进而问题可求解．
8.本小题分
如图，，，分别与相切于，，三点，且．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．
【答案】(1)解：，理由如下：
如图所示，连接，
，
∵，，分别与相切于，，三点，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
同理可证，
∴，
∵，
∴，
即．

(2)解：由（1）知，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，；
∵，，
∴，
∴，即，解得，
∴的半径为．

【解析】
利用圆的切点的性质证得和，得出，，再根据这四个角相加为求解；

由可得，利用求出的长度，再根据勾股定理求出的长度；再根据已知条件证明，利用相似求解．
9.本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，，求阴影部分的面积．
【答案】证明：连接，

四边形内接于，
，
为的直径，
点在上，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：连接，
为的直径，
，，
，
，
，
，，且，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．

【解析】证明：连接，
四边形内接于，
，
为的直径，
点在上，
，
，
，
，
是的半径，且，
是的切线．
解：连接，
为的直径，
，，
，
，
，
，，且，
，
，
∽，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
阴影部分的面积是．
连接，由四边形内接于，根据圆周角定理得，因为为的直径，所以，则，所以，推导出，即可证明是的切线．
连接，由，得，求得，推导出，进而证明∽，得，因为，，所以，求得，则，，所以，求得，则，而，则．
此题重点考查等腰三角形的性质、圆周角定理、切线的判定、勾股定理、解直角三角形、三角形的面积公式及扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
10.本小题分
如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得．
求证是的切线；
若，，求的长；
利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点保留作图痕迹，不要求写出作法．
【答案】(1)证明：∵
∴
∵
∴
∵是的直径，
∴
∴
∴
∴，
∵为半径，
∴是的切线；

(2)解：过点作于点，则
设，则
∵，
∴
∴
解得，
∴，，
∵，
∴
∴
∴
∴，
∴
∴．

(3)如图，点即为所求

【解析】
由结合已知条件得到，然后根据圆周角定理得到，再由直角三角形锐角互余以及等量代换证明即可；

设，则，先对运用勾股定理求解半径，然后利用，以及对运用勾股定理求解即可．

以点为圆心，为半径画弧与交点即为点．
解：连接，
由作图可得，
则，
再由垂径定理的推论可得垂直平分，
即可得到点关于对称．
11.本小题分
如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且．
求证：为半圆的切线；
连接，若，，求的长．
【答案】(1)证明：如图，连接，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵为半径，
∴为半圆的切线；

(2)解：如图，连接，交于点K，过点G作于点H，
∵，为半圆O的直径，
∴为半圆O的切线，，，
∵为半圆的切线，
∴，
∵，
∴垂直平分，即，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∴．

【解析】
连接，证明，可得，即可求证；
连接，交于点，过点作于点，根据切线长定理可得，从而得到垂直平分，进而得到，设，则，再证明为等腰直角三角形，可得为等腰直角三角形，从而得到，，进而得到，即可求解．
12.本小题分
如图，是锐角三角形的外接圆，，，于点．
求证：平分；
如图，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数．
【答案】证明：连接，，如图所示：


是锐角三角形的外接圆，
，
于点，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
平分；
解：连接，，，，过点作于点，如图所示：

，，
和都是直角三角形，
根据垂径定理得：，
，
，
根据圆周角和圆心角的关系得：，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
由切线的性质得：，
在中，，，
，点是的中点，
，
于点，
，
由的结论得：，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
；
在中，，点是的中点，
是的斜边上的中线，
根据直角三角形斜边中线性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又是的外角，
，
，
．
【解析】证明：连接，，如图所示：


是锐角三角形的外接圆，
，
于点，
，
在中，，，
是等腰直角三角形，
，
在和中，
，
≌，
，
平分；
解：连接，，，，过点作于点，如图所示：

，，
和都是直角三角形，
根据垂径定理得：，
，
，
根据圆周角和圆心角的关系得：，
在中，，，，
由勾股定理得：，
，
由切线的性质得：，
在中，，，
，点是的中点，
，
于点，
，
由的结论得：，
在中，，
是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得：，
，
在中，由勾股定理得：，
；
在中，，点是的中点，
是的斜边上的中线，
根据直角三角形斜边中线性质得：，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
又是的外角，
，
，
．
连接，，则，证明是等腰直角三角形得，进而依据“”和全等得，据此可得出结论；
连接，，，，过点作于点，由垂径定理得，则，由圆周角和圆心角的关系得，在中，由勾股定理得，由切线的性质得，根据等腰三角形性质得，点是的中点，进而得，利用的结论可证明是等腰直角三角形，由勾股定理得，在中，由勾股定理求出，继而得；在中，由点是的中点得，进而得是等边三角形，继而可得，然后根据三角形外角性质可得．
此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆心角定理，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解切线的性质，垂径定理，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
13.本小题分
如图，内接于，平分交于点，连接，，经过点的直线与的延长线相交于点，且．
求证：是的切线；
如果点是的内心，，，求的值．
【答案】证明：如图，连接并延长交于点，连接，

，
，
是直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
解：连接，，，，，交于点，

平分，
，
，
，
是半径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理可得：，
点是的内心，
，
，
，
，
，，
，
．
【解析】证明：如图，连接并延长交于点，连接，

，
，
是直径，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
解：连接，，，，，交于点，

平分，
，
，
，
是半径，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理得：，
，
，
在直角三角形中，由勾股定理可得：，
点是的内心，
，
，
，
，
，，
，
．
连接并延长交于点，连接，由圆周角定理得到，，则，由角平分线得到，结合已知条件可得，继而等量代换证明即可；
连接，，，，，交于点，先由圆周角定理得到证明，根据垂径定理的推论可得，，再证明，解求出，，即可求解，，再由内心的性质导角证明．
本题主要考查了三角形的内切圆与内心，勾股定理，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，切线的判定与性质，解直角三角形，熟练运用勾股定理解决问题是解答本题的关键．
14.本小题分
如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，若，，求扇形即阴影部分的面积结果保留．
【答案】扇形的面积是．
【解析】解：连接，
是的直径，点，是上的两点，
，
过点作的切线与的延长线交于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
扇形的面积是．
连接，则，由切线的性质得，则，因为，所以，所以，由，得，而，可根据扇形的面积公式求得．
此题重点考查圆心角、弧、弦的关系定理、切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、扇形的面积公式等知识，正确地求出的度数是解题的关键．
15.本小题分
已知点，在上，，点在上，点在以，为端点的优弧上．
Ⅰ如图，当为的中点时，若，求和的大小；
Ⅱ如图，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若的半径为，求和的长．
【答案】，， ，
【解析】解：Ⅰ连接，如图，
为的中点，
，
，
，
为等边三角形，
，
，
而，
，
；
Ⅱ连接，如图，
，，
，
为的切线，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
；
，
，
，
在中，，
．
Ⅰ连接，如图，先根据圆心角、弧、弦的关系得到，则为等边三角形，所以，再根据圆周角定理得到，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后计算得到的度数；
Ⅱ连接，如图，先计算出，再根据切线的性质得到，则根据平行线的性质得到，于是可判断为等腰直角三角形，则，接着根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，然后在中利用余弦的定义可计算出的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了圆周角定理．
16.本小题分
如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点．
求的度数；
求证：与的外接圆相切；
为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)解：∵，，点是中点，
∴
∵平分
∴
∴

(2)证明：由（1）知，
∴是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，
∵，，
∴
∵，
∴
∴，
∵为半径，
∴与的外接圆相切；

(3)解：，理由如下：
连接，设，
∵
∴，
∵
∴
∵，点是中点，
∴
∴，
∴，
∴
∴
∵
∴
∴，
∴．

【解析】
根据等腰三角形的“三线合一”性质以及角平分线的定义求解即可；

可得是的外接圆的直径，设圆心为点，连接，先由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理得到，再由，得到，则，即可证明；

连接，设，导角证明即可求解．
17.本小题分
如图，在等腰中，在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作．
求证：与相切；
已知，，求的半径．
【答案】证明：由作法得平分，
，
，
为半径，
与相切
【解析】证明：由作法得平分，
，
，
为半径，
与相切；
解：，，
，
在中，，，
，
即的半径为．
先利用基本作图得平分，则根据等腰三角形的性质得到，然后根据切线的判定方法得到结论；
先根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理计算出即可．
本题考查了作图基本作图：熟练掌握种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质、切线的判定与性质．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第1页，共1页中小学教育资源及组卷应用平台
2026中考有关圆的考题
一、解答题：本题共17小题，共136分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，直线经过上的点，且，，求证：直线是的切线．
2.本小题分
如图，，，分别与相切于，，三点，且．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．
3.本小题分
如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且．
求证：为的切线．
求证：．
若，，求的长．
4.本小题分
如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且．
求证：为半圆的切线；
连接，若，，求的长．
5.本小题分
如图，在中，，以为直径的交于点，弦，垂足为．
求证：；
若，，求的半径．
6.本小题分
如图，点在上，连接并延长至点，过点作的切线，切点为，作弦，垂足为，作，连接．
求证：；
若，，求的长．
7.本小题分
如图，是的直径，点、在圆上，是的中点，于点，交于点，、交于点，在延长线上且．
求证：为的切线；
求证：；
若，，求的长．
8.本小题分
如图，，，分别与相切于，，三点，且．
判断与的位置关系，并说明理由；
若，，求的半径．
9.本小题分
如图，四边形内接于，为的直径，点在的延长线上，且．
求证：是的切线；
若，，，求阴影部分的面积．
10.本小题分
如图，是的直径，点是圆上一点，连接并延长至点，使得．
求证是的切线；
若，，求的长；
利用圆规和无刻度直尺在图中作出点关于直线的对称点保留作图痕迹，不要求写出作法．
11.本小题分
如图，在中，，以为直径作半圆交于点，为半圆上一点，连接交于点，连接，且．
求证：为半圆的切线；
连接，若，，求的长．
12.本小题分
如图，是锐角三角形的外接圆，，，于点．
求证：平分；
如图，若以为圆心，为半径的圆与相切于点，求的长及的度数．
13.本小题分
如图，内接于，平分交于点，连接，，经过点的直线与的延长线相交于点，且．
求证：是的切线；
如果点是的内心，，，求的值．
14.本小题分
如图，是的直径，点，是上的两点，且，过点作的切线与的延长线交于点，连接，若，，求扇形即阴影部分的面积结果保留．
15.本小题分
已知点，在上，，点在上，点在以，为端点的优弧上．
Ⅰ如图，当为的中点时，若，求和的大小；
Ⅱ如图，当时，过点作的切线，且，与相交于点，若的半径为，求和的长．
16.本小题分
如图，是等腰三角形，，，点是中点，平分交于点．
求的度数；
求证：与的外接圆相切；
为外接圆上任意一点，试探究与的数量关系，并说明理由．
17.本小题分
如图，在等腰中，在上取一点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，在内两弧交于点；作射线交于点；以为圆心，的长为半径作．
求证：与相切；
已知，，求的半径．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第1页，共1页

展开更多......

收起↑