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二次根式的乘法
二次根式
理解 （a ≥ 0，b ≥ 0），并利用它们进行计算和化简.
计算：
（1） ；
（2） .
= ；
= .
观察计算的结果，你能发现什么？
，
.
从计算的结果，我们发现
一般地，设 a ≥ 0，b ≥ 0，有
你能证明这个结论吗？
证 明
一方面，
2 2
（积的乘方法则）
= ab（算术平方根的意义）
另一方面，
≥ 0.
根据算术平方根的意义，可得 是 ab 的算术平方根
概 括
二次根式的乘法法则
（a ≥ 0，b ≥ 0）
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根 .
例 1 计算：
解 （1）；
（1） ；
（2） .
（2）.
1. 计算：
（1）×(－3)；
（2）×.
解（1）原式 =
=
=9
=
（2）原式 =
=
= =
2. 化简 的结果是（ ）
A.
B.
C.
D.
=
=
C
3. 等式 成立的条件是
A. x ≥ 1 B. x ≥ –1
C. –1 ≤ x ≤ 1 D. x ≥ 1 或 x ≤ –1
（ ）
解：由 x – 1 ≥ 0，x + 1 ≥ 0 得 x ≥ 1
A
4. 下列各等式成立的是（ ）
A.×2 = 8
B.×4 = 20
C.×3 = 7
B.×4 = 20
40
20
12
D
二次根式的乘法法则
（a ≥ 0，b ≥ 0）
这就是说，两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根 .
积的算术平方根
二次根式
1. 理解 （a ≥ 0，b ≥ 0） ；
2. 运用 （a ≥ 0，b ≥ 0）.
计算：
（1） ；
（2） .
（1）原式 = ；
（2）原式 = .
（a ≥ 0，b ≥ 0）
一般地，对二次根式的乘法规定为
（a ≥ 0，b ≥ 0）. 反过来，
（a ≥ 0，b ≥ 0）
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
例 2 化简 ，使被开方数不含完全平方的因数.
12 = 22×3
完全平方的因数 22
解
1. 比较下列各式，并将所得的结果化简：
（1）；
（2）.
解（1）原式 =
=×
=3 ；
（2）原式 =
=
=
2. 判断下列各式是否正确，不正确的请改正:
（1）；
（2）
×
积的算术平方 根应用的条件：a ≥ 0，b ≥ 0
= 2×3 = 6
×
= =
= = = 4
3. 化简：
；
；
；
.
解（1）原式 =
=×
=2 ；
（2）原式 =
=×
= ；
3. 化简：
；
；
；
.
（3）原式 =
=×
=2 ；
（4）原式 =
=×
= ；
4. 自由落体的公式为 （g 为重力加速度，它的
值为 10 m/s2），若物体下落的高度为 120 m，则下
落的时间是________s.
s = gt2
s = gt2
t = =
=
2
（a ≥ 0，b ≥ 0）
这就是说，积的算术平方根，等于各因式算术平方根的积.
二次根式的除法
二次根式
1. 理解 和 ，
并运用它们进行计算.
2. 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是
最简二次根式的化成最简二次根式.
（a ≥ 0，b ≥ 0）
二次根式的乘法规定
及逆向公式
（a ≥ 0，b ≥ 0）
两个根式相除，怎样进行计算呢？
商的算术平方根又等于多少？
（1）
=
化简：
（2）
=
（3）
=
你发现了什么规律？
规 律
利用计算器计算填空：
一般地，有
概 括
这里为什么要求 a ≥ 0，b > 0？
分母不能为 0.
这就是说，两个算术平方根的商，等于它们被开方数的商的算术平方根.
例 3 计算：
解 （1）
（1）；
（2）.
（2）
还可以怎么化简？
（2）
上述“概括”中的等式，也可以写成
这就是说，商的算术平方根，等于各因式算术平方根的商.
利用这个性质可以进行二次根式的化简.
例 4 化简 ，使分母中不含二次根式，
解 =
并且被开方数中不含字母.
二次根式的被开方数中含有分母，通常可利用分式的基本性质将分母“配”成完全平方，再“开方”出来。
=
= = .
按照书中例题化简要求，化简后的二次根式有这些特点：
（1）被开方数中不含分母；
（2）被开方数中所有因数（或因式）的幂的指数都小于 2.
=
= 2
像这样的二次根式称为最简二次根式.
哪些是最简二次根式：
，，，
二次根式的除法，要化去分母中的根号，只要将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式就可以了.
如例 4，
分母有理化
化简：
（2）；
解（1）原式 =
=
= ；
（2）原式 =
=
=
（1）3；
（4）
（3）；
（3）原式 =
=；
（4）原式 =
=
=.
1. 化简：
；
；
；
.
解（1）原式 =
=3 ；
（2）原式 =
= ；
【选自教材第8页 练习 第1题】
（3）原式 =
= ；
（4）原式 =
= .
2. 计算：
；
.
【选自教材第8页 练习 第2题】
解（1）原式 = ×
=×
=×
=
（2）原式 =
=
=
=
3. 现有一张 A4 纸，其尺寸是 210 mm×297 mm，欲从中剪下一个面积为其一半的正方形，问：剪下的正方形的边长是多少？（先用最简二次根式表示，再用计算器计算，精确到 0.1 mm）
【选自教材第8页 练习 第3题】
正方形的边长 =
=
=
=
=
=
=
二次根式的除法
反过来，
二次根式的化简
1. 被开方数有分母时，注意分母的取值范围；
2. 进行二次根式乘除运算或化简时，结果要
尽可能化简.

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