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公式法
一元二次方程
1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，
了解公式法的概念.
2. 会熟练应用公式法解一元二次方程.
一般形式的一元二次方程：
ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).
你能用配方法解这个方程吗？试一试
因为 a ≠ 0，方程两边除以 a，得
x2+x+=0.
移项，得 x2 +x = .
配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ + 2.
即 ＝ .
因为 a ≠ 0，所以 4a2 > 0. 当 b2 – 4ac ≥ 0 时，直接开平方，得
＝ .
所以 ＝ .
即 ＝ ， ＝.
由以上研究，得到了一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
＝ .
将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
这里为什么强调 b2－4ac ≥ 0？
如果 b2－4ac < 0，会怎么样呢？
方程无解
例 6 解下列方程：
（1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2；
解 （1）这里 a = 2，b = 1，c = －6.
因为 b2－4ac = 12－4×2×(－6)
（3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x.
= 1－48 = 49 > 0，
所以 x =
=
=
即 x1 = ， x2 = －2.
例 6 解下列方程：
（1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2；
（3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x.
（2）将方程化为一般形式，得
x2 + 4x－2 = 0.
因为 b2－4ac = 24 > 0，
所以 x = = －2±，
即 x1 = －2 + ，x2 =－2－ .
例 6 解下列方程：
（1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2；
（3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x.
（3）因为 b2－4ac = 256 > 0，
所以 x =
=
= ，
即 x1 = 2，x2 =－ .
例 6 解下列方程：
（1）2x2 + x － 6 = 0； （2）x2 + 4x = 2；
（3）5x2 － 4x － 12 = 0； （4）4x2 + 4x + 10 = 1－8x.
（4）整理，得 4x2 + 12x + 9 = 0 .
因为 b2－4ac = 0，
所以 x = ，
即 x1 = x2 =－ .
这里 b2－4ac = 0，
方程有两个相等的实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤：
（1）化：将一元二次方程化为一般形式 ax2 + bx + c＝ 0 (a ≠ 0).
（2）定：确定 a、b、c 的值.
（3）算：求出 b2－4ac 的值.
（4）求：若 b2－4ac ≥ 0，则利用求根公式求解；
若 b2－4ac < 0，则方程没有实数根.
用公式法解下列方程:
（1）x2 + 6x + 9 ＝ 0； （2）(x－5)(1－3x) ＝ 6.
（3）3x2－x－1 ＝ 0.
思路分析
把方程化为一般形式
计算 b2－4ac 的值
b2－4ac < 0
b2－4ac ≥ 0
没有实数根
代入求根公式
求解
解 （1）因为 b2 － 4ac ＝ 62－4×1×9 = 0，
所以 x = ，即 x1 = x2 = －3.
（1）x2 + 6x + 9 ＝ 0； （2）(x－5)(1－3x) ＝ 6.
不能写成 x = －3.
（2）将方程化为一般形式，得 3x2－7x + 8 ＝ 0 .
因为 b2－4ac = (－7)2－4×3×8 = －47 < 0，
负数的平方要加括号.
所以方程没有实数根.
（3）3x2－x－1 ＝ 0.
（3）因为 b2 － 4ac ＝ (－)2－4×3×(－1) = 18，
所以 x = ，
即 x1 = ，x2 = .
思 考
根据你学习的体会小结一下：解一元二次方程有哪几种方法？通常你是如何选用的？和同学交流一下.
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
因式分解法
配方法
公式法
x2 = p 或 (mx + n)2 = p (m ≠ 0，p ≥ 0)
一边化为 0，另一边易分解成两个一次因式的积的一元二次方程(有公因式可提取或缺项等)
所有的一元二次方程，但二次项系数为 1，一次
项系数为偶数的一元二次方程解起来较简单
所有的一元二次方程
问题 1 绿苑小区准备在两幢楼房之间设置一块面积为 900 m 的矩形绿地，并且长比宽多 10 m. 求绿地的长和宽.
x ( x + 10 ) = 900，
现在你会解决这个问题吗？
x2 + 10x－900 = 0，
x =－5±5，
x1 =－5 + 5，x2 = －5－5.
它们都是所列方程的根，但负数根 x2 不符合题意，应舍去.
x =－5 + 5 ≈ 25.4，x + 10 ≈ 35.4，
符合题意，因此绿地的宽约为 25.4 米，长约为 35.4 米.
用公式法解下列方程：
【选自教材第30页 练习】
（1）x2 － 6x + 1 = 0；
（2）2x2 － x = 6；
（3）4t2 － 3x －1 = t－2；
（4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1).
解:（1）因为 b2 － 4ac ＝ 32，
所以 x ＝ ，
即 x1 ＝3 + 2，x2 ＝3－2.
（1）x2 － 6x + 1 = 0；
（2）2x2 － x = 6；
（2）将方程化为一般形式，得 2x2－x－6 ＝ 0.
因为 b2 － 4ac ＝ 49，
所以 x ＝ ，
即 x1 ＝2，x2 ＝－ .
（3）4t2 － 3x －1 = t－2；
（4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1).
（3）整理，得 4x2－4x + 1 ＝ 0.
因为 b2 － 4ac ＝ 0，
所以 x ＝ ，
即 x1 ＝ x2 ＝ .
（3）4t2 － 3x －1 = t－2；
（4）3x(x－3) = 2(x－1)(x + 1).
（4）整理，得 x2－9x + 2 ＝ 0.
因为 b2 － 4ac ＝ 73，
所以 x ＝ = ，
即 x1 ＝ ， x2 ＝.
一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的求根公式.
＝ .
将一元二次方程中系数 a、b、c 的值，直接代入这个公式，就可以求得方程的根. 这种解一元二次方程的方法叫做公式法.

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