资源简介

(共15张PPT)
一元二次方程根的判别式
一元二次方程
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和
进行有关的推理论证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母
系数的取值范围.
我们用配方法推导一元二次方程求根公式的过程中，得到
2＝ . （ ）
当 b2－4ac ≥ 0 时，直接开平方，得
＝ .
也就是说，只有当一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的系数 a、b、c 满足条件 b2 – 4ac ≥ 0 时才有实数根.
因此，我们可以根据一元二次方程的系数直接判定根的情况.
观察方程：
2＝ . （ ）
我们发现有如下三种情况：
你有什么发现？
（1）当 b2－4ac > 0 时，方程 （ ）的右边是一个正数，它
有两个不相等的平方根，因此方程有两个不相等的实数根：
＝ ， ＝.
（2）当 b2 – 4ac = 0 时，方程 （ ）的右边是 0，因此方程有两个相等的实数根：
x1 = x2 =－ .
（3）当 b2 – 4ac < 0 时，方程 （ ）的右边是一个负数，而对于任何实数 x，方程左边
因此方程没有实数根.
概 括
式子 b2－4ac 叫做一元二次方程 ax2 + bx + c ＝0 (a ≠ 0)
根的判别式.
通常用符号“Δ”来表示，即 Δ ＝ b2－4ac.
“Δ”是希腊字母，读作 delta.
用它可以直接判断一元二次方程的实数根的情况.
Δ = b2－4ac 的大小 方程 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）的根的情况
Δ > 0
Δ = 0
Δ < 0
方程有两个不相等的实数根
方程有两个相等的实数根
方程没有实数根
例 7 不解方程，判断下列方程的根的情况：
（1）3x2 = 5x－2； （2）4x2 － 2x + = 0；
（3）4(y2 + 1)－ y = 0.
解 （1）原方程可变形为 3x2－5x + 2 = 0.
因为 Δ = (－5)2－4×3×2 = 25－24 = 1 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
计算判别式时，方程必须化为一元二次方程的一般形式.
（2）4x2 － 2x + = 0；
（3）4(y2 + 1)－ y = 0.
（2）因为 Δ = _________________________，
所以方程________________________.
（3）原方程可变形为___________________.
因为 Δ =_____________________________，
所以方程______________.
(－2)2－4×4× = 4－4 = 0
有两个相等的实数根
4y2 – y + 4 = 0
(– 1)2 – 4×4×4 = 1 – 64 = – 63
没有实数根
一元二次方程 (x + 1)(x－1)＝ 2x + 3 的根的情况是 (　 )
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
思路分析
(x + 1)(x－1) = 2x + 3
1x2－2x －4 = 0
一化
a b c
二找
Δ = b2－4ac = 20 > 0
三算
四判
有两个不相等的实数根
A
试一试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
（1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当 k 取何值时，方程没有实数根？
解：因为 Δ = [– (3 + 4k)]2 – 4×2×(2k2 + k)
= 16k + 9.
当 16k + 9 > 0，即 k > － 时，方程有两个不相等的实数根.
试一试
已知关于 x 的方程 2x2 – (3 + 4k)x + 2k2 + k = 0.
当 16k + 9 = 0，即 k = － 时，方程有两个相等的实数根.
当 16k + 9 < 0，即 k < － 时，方程没有实数根.
用公式法解下列方程：
【选自教材第33页 练习 第1题】
（1）3x2 + 5x = 4；
（2）2x － x2 － 2 = 0；
解:（1）原方程可变形为 3x2 + 5x－4 ＝ 0.
因为Δ ＝52 －4×3×(－4)＝ 25 + 48＝73 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为 x2 －2x + 2 ＝ 0.
因为 Δ ＝ (－2)2 －4×1×2 ＝－4 < 0，
所以方程没有实数根.
（3）4(y2－y)+1 = 0；
（4）2(x+1)2 = 5x.
（3）原方程可变形为 4y2 －4y + 1 ＝ 0.
因为Δ ＝(－4)2 －4×4×1 ＝ 0，
所以方程有两个相等的实数根.
（4）原方程可变形为 2x2 －x + 2 ＝ 0.
因为 Δ ＝(－1)2 －4×2×2 ＝－15 < 0，
所以方程没有实数根.
2. 小明告诉同学，他发现了一种简便方法，可以判断一类
方程必有实数根：若一元二次方程 ax + bx + c = 0 (a ≠ 0)
的系数 a、异号（即两数为一正负)，那么这个方程一定有
两个不相等的实数根. 他的说法是否正确？为什么？
解: 正确. 理由:因为 Δ ＝ b2 －4ac，当 a、c 异号时，
则 Δ > 0，所以方程一定有两个不相等的实数根.
2.用判别式判定一元二次方程根的情况
当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
当 Δ < 0 时，方程没有实数根.
1. 根的判别式 Δ = b2 – 4ac

展开更多......

收起↑