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(共36张PPT)
第1课时
一元二次方程
使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题，学会将实际问题转化为数学模型来建立一元二次方程.
问题 1 学校生物小组有一块长 32 m、宽 20 m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横各开辟一条
等宽的小道. 要使种植面积为 540 m2，小道的宽应是多少？
20
32
小道的占地面积与位置无关.
你发现了什么？
20
32
设小道宽为 x m，
则两条小道的面积分别是 32x m2 和 20x m2，其中重叠部分小正方形的面积为 x2 m2，
根据题意，得
x
x
32×20－32x－20x + x = 540.
移项，得 x2－52x + 100 = 0，
解得 x1 = 50，x2 = 2，
由题意可得 x＜20，所以 x = 2.
20
32
x
x
如果设想把小道平移到两边，如图所示，小道所占面积是否保持不变？
试一试
由题意可得：
(20 – x)( 32 – x) = 540
解得 x1 = 50，x2 = 2
由题意可得 x＜20，
所以 x = 2.
在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意：
1. 分析题意，抓住等量关系；
2. 列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决；
3. 求得方程的根之后，要注意检验是否符合题意，
最后得到实际问题的解答.
学校计划在一块长 16 m、宽 10 m 的矩形空地上修建一个矩形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的等宽小道(如图)，剩余的地方种植花草. 若种植花草的面积为 126 m2，则小道的宽度应为多少米？
类型 方法
规则 图形
不规则 图形
常利用规则图形的面积或周长公式以及勾股定理等建立方程求解
常采用割补、平移或旋转等方法，将其转化为规则图形，再根据面积间的关系列方程求解
学校计划在一块长 16 m、宽 10 m 的矩形空地上修建一个矩形花坛，要求在花坛中修建两条纵向平行和一条横向弯折的等宽小道(如图)，剩余的地方种植花草. 若种植花草的面积为 126 m2，则小道的宽度应为多少米？
转化
弯道改直，面积不变。
解: 设小道的宽度应为 x m.
依题意，得 (16－2x)(10－x)＝ 126.
整理，得 x2 －18x + 17 ＝ 0.
解得 x1 ＝ 1，x2 ＝ 17 (不合题意，舍去).
答: 小道的宽度应为 1 m.
不要忘记检验，一般两个根中只有一个符合实际意义.
问题 2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
分析 若每次降价的百分率为 x
56 元
56(1－x)(1－x)
56(1－x)
第一次降价
第二次降价
= 31.5
这与讨论增长率问题中的数量关系是否相似？有什么不同？
问题 2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率.
解 设每次降价的百分率为 x，根据题意，得
56(1－x)2 = 31.5.
解这个方程，得 x1 = 0.25，x2 = 1.75.
因为降价的百分率不可能大于 1，所以 x2 = 1.75 不符合题意. 经检验，x = 0.25 = 25% 符合本题要求.
答：每次降价的百分率为 25% .
某口罩生产厂生产的口罩 1 月份平均日产量为 20000 个，1 月底因市场对口罩需求量增大，为满足市场需求，工厂决定从 2 月份起扩大产能，3 月份平均日产量达到 24200 个.
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？
基础量(起始量)(1 月份)
第 1 次增长后的量(2 月份)
第 2 次增长后的量(3 月份)
4 月份
20000
20000(1 + x)
20000(1 + x)2
24200(1 + x)
解: （1）设口罩日产量的月平均增长率为 x .
根据题意，得 20000 (1 + x)2 ＝ 24200，
解得 x1 ＝ 0.1 ＝ 10％ ，x2 ＝－2.1 (不合题意，舍去).
答: 口罩日产量的月平均增长率为 10％ .
（2）24200×(1 + 10％ ) ＝ 26620 (个).
答: 预计 4 月份平均日产量为 26620 个.
增长（降低）率
不能取负值.
（1）求口罩日产量的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计 4 月份平均日产量为多少？
1. 学生会准备举办一次摄影展览，在每张长和宽分别为 18 cm 和
12 cm 的矩形相片周围镶上一圈等宽的彩纸. 经试验，彩纸面积
为相片面积的 时较美观. 求所镶彩纸的宽. (精确到 0.1 cm)
【选自教材第41页 练习 第1题】
解: 设所镶彩纸的宽为 x cm.
由题意，得 (18 + 2x)(12 + 2x)－18×12 ＝ 18×12× .
整理，得 x2 + 15x－36 ＝ 0.
解得 x1 ＝ (不合题意，舍去)，
x2 ＝ ≈ 2.1 .
答:所镶彩纸的宽约为 2.1 cm .
2. 以初速度 v0 竖直上抛的物体的高度 h 与时间 t 满足关系式
h = v0t－gt2 (g 为重力加速度，g ≈ 10 m/s ). 竖直上抛的物体
以初速度 v0 = 20 m/s 上升，经过多长时间物体离地 15 m？
【选自教材第41页 练习 第2题】
解: 由题意，得 15 ＝ 20t－×10t2 .
整理，得 t2 －4t + 3 ＝ 0.
解得 t1 ＝1，t2 ＝ 3.
答: 经过 1 s 或 3 s 物体离地 15 m.
3. 某工厂 1 月份的产值是 50000 元，3 月份的产值达到 60000 元，
这两个月产值的月平均增长率是多少？( 精确到 0.1%)
【选自教材第41页 练习 第3题】
解: 设这两个月产值的月平均增长率为 x.
由题意，得 50000 (1 + x )2 ＝ 60000，
解得 x1 ≈ 0.095 ＝ 9.5％ ，x2 ≈ －2.095 (不合题意，舍去).
答: 这两个月产值的月平均增长率约为 9.5％ .
【选自教材第41页 练习 第4题】
4. 据某初级中学对毕业班学生三年来参加市级以上各项活动
获奖情况的统计，七年级时有 48人次获奖，之后逐年增加，
到九年级毕业时累计共有 183 人次获奖，求这两年中获奖
人次的年平均增长率.
解:设这两年中获奖人次的年平均增长率为 x .
由题意，得 48 + 48 (1 + x) + 48(1 + x)2 ＝183.
整理，得 16x2 + 48x－13 ＝ 0.
解得 x1 ＝ ＝25％ ，x2 ＝－ (不合题意，舍去).
答: 这两年中获奖人次的年平均增长率为 25％ .
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤:
审题，明确已知量和未知量，找出它们之间的等量关系
设未知数
根据题目中的等量关系，列出方程（注意单位要统一）
解方程，求出未知数的值
检验方程的根能否保证实际问题有意义
写出答案，应遵循“问什么，答什么，怎么问，怎么答”的原则
审
答
验
解
列
设
第2课时
一元二次方程
问题 3 小明把一张边长为 10 cm 的正方形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折叠成一个无盖的长方体盒子.
（1）如果要求长方体的底面积为 81 cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？
x
x
(10－2x)2 = 81
x = 0.5
（2）如果按下表列出的长方体底面积的数据要求，那么剪去的正方形边长会发生什么样的变化？折叠成的长方体的侧面积又会发生什么样的变化？
折叠成的长方体 底面积（cm2） 81 64 49 36 25 16 9 4
剪去的正方形 边长（cm）
折叠成的长方体 侧面积（cm2）
底面积：(10－2x)2
0.5
18
1
32
1.5
42
2
48
2.5
50
3
48
3.5
42
4
32
以剪去的正方形边长为自变量，折叠成的长方体侧面积为它的函数，在平面直角坐标系中画出相应的点. 观察折叠成的长方体侧面积会不会有最大的情况？
探 索
设减去的正方形边长为 x cm.
折叠成的长方体侧面积为 y cm2.
y = 4·x·(10－2x) （0 < x < 5）
当 x = 2.5 时，y 有最大值 50.
如图，在一个长 10 cm、宽 6 cm 的矩形铁皮的四角各截去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体盒子.设截去的小正方形的边长为 x cm.
（1）若长方体盒子的底面积是
32 cm2，求 x 的值.
6
10
x
x
解:（1）根据题意，得
(10－2x)(6－2x) ＝ 32，
解得 x1 ＝ 1，x2 ＝ 7 (不合题意，舍去).
则 x 的值为 1.
（2）用含 x 的式子表示长方体盒子的侧面积为___________cm2 .
（3）长方体盒子的侧面积随着截去的小正方形的边长的变化
而变化时，是否存在最大的侧面积？若存在，求出最大
的侧面积.
6
10
x
x
(－8x2 + 32x)
（3）存在.
由（2）知，－8x2 + 32x ＝－8(x－2)2 + 32.
因为－8(x－2)2 ≤ 0，所以－8(x－2)2 + 32 ≤ 32.
所以当 x ＝ 2 时，侧面积有最大值，最大值为
32，所以最大的侧面积为 32 cm2.
问题 4 某工厂计划在两年后实现产值翻一番，那么这两年中产值的平均年增长率为多少？
你是怎么理解的？
翻一番
翻两番
翻三番
2 倍
22 倍
23 倍
解：设平均年增长率为 x.
(1 + x)2 = 2
x1 =，x2 = （舍）
所以 x = ≈ 0.414 = 41.4%.
探 索
如果调整计划，两年后的产值为原产值的 1.5 倍、1.2倍……那么两年中的平均年增长率
分别应调整为多少？
解：设平均年增长率为 x .
(1 + x)2 = 1.5
(1 + x)2 = 1.2
x =
≈ 0.225 = 22.5%.
x =
≈ 0.095 = 9.5%.
又如果第二年的增长率为第一年的 2 倍，那么第一年的增长率为多少时，可以实现两年后的产值翻一番？
(1 + x) (1 + 2x) = 2
解：设第一年的增长率为x.
移项，得 2x2 + 3x－1 = 0
解得 ＝ =
≈ 0.281 = 28.1%.
芯片目前是全球紧缺的资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业来发展新兴产业. 某芯片公司
引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产芯片 100 万个，第三季度生产芯片 144 万个. 试解决下列问题:
（1）求前三季度生产量的平均增长率；
（2）按照（1）中的平均增长率，该公司期望第四季度的芯片生产量达到 175 万个，则该目标能否实现？
解:（1）设前三季度生产量的平均增长率为 x.
根据题意，得 100 (1 + x)2 ＝ 144，
解得 x1 ＝ 0.2 ＝ 20％ ，x2 ＝－2.2 (不合题意，舍去).
答:前三季度生产量的平均增长率为 20％ .
（2）第四季度的芯片生产量为
144 × (1 + 20％)＝ 172.8 (万个).
因为 172.8 < 175，所以该目标不能实现.
1. 某花生种植基地原有花生品种每公顷产量为 3000 kg，出油率为
55%. 改用新品种之后，每公顷收获的花生可加工得到花生油
2025 kg. 已知新品种花生的每公顷产量和出油率都比原有品种
有所增加，其中出油率的增长率是每公顷产量增长率的一半，
求两者的增长率. (精确到 1%)
【选自教材第43页 练习 第1题】
解: 设每公顷产量的增长率为 x，则出油率的增长率为 .
由题意，得 3000 (1 + x) · 55％ · (1 + ) ＝ 2025，
解得 x1 ≈ 0.14 ＝ 14％ ，x2 ≈－3.14 (不合题意，舍去).
故 ＝ 7％ .
答: 每公顷产量的增长率约为 14％ ，出油率的增长率约为 7％ .
2. 某商店准备购进一种季节性小家电，每台进价为 40 元. 经市场
预测，销售定价为 52 元时，可售出 180 台；销售定价每增加
(或降低) 1元，销售量将减少（或增多) 10 台. 商店若希望获利
2000 元，则应进货多少台？销售定价为多少？
【选自教材第43页 练习 第2题】
（1）本题如何设未知数较合适？需要列出哪些相关量的代数式？
（2）所列方程的解是否都符合题意？如何解释？
（3）请你为商店估算一下，若要获得最大利润，则应进货多少台？销售定价为多少？
解:（1）设销售定价增加 x 元较合适，需要列出的代数式有:
每台利润为 (52 + x－40)元，销售量为 (180－10x)台.
（2）由题意，得 (52 + x－40)(180－10x) ＝ 2000，
解得 x1 ＝－2，x2 ＝ 8.
当 x ＝－2 时，销售定价为 52－2 ＝ 50 (元)，
销售量为 180－10×(－2)＝ 200 (台)，
当 x ＝ 8 时，销售定价为 52 + 8 ＝ 60 (元)，
销售量为 180－10×8 ＝ 100 (台).
故都符合题意.
（3）设利润为 w 元，则 w ＝ ( 52 + x － 40)( 180 － 10x ) ＝－10(x－3)2 + 2250 .
因为 (x－3)2 ≥ 0，所以 －10(x－3)2 ≤ 0，
所以当 x ＝ 3 时，w最大＝ 2250.
故应进货 180－3×10 ＝150 (台)，
销售定价为 52 + 3 ＝ 55 (元).
3. 某市人均居住面积为 43.8 m ，计划在两年后达到 54 m . 在
预计每年住房面积的增长率时，还应考虑人口的变化因素等，
请你把问题补充完整，再给出解答.
【选自教材第43页 练习 第3题】
1. 利用一元二次方程探究图形的相关问题时，要注意结合
图形的相关性质，从中找出等量关系，进而列出方程求解，
这体现了数形结合思想.
2. a 为起始量，b 为终止量，n 为增长(或降低)的次数，
平均增长率公式: a(1 + x)n ＝ b (x 为平均增长率)；
平均降低率公式: a(1－x)n ＝ b (x 为平均降低率).

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