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章末复习
一元二次方程
华师大版·九年级数学上册
21
知识结构
实际问题
直接开平方法
分析数量关系
一元二次方程
公式法
配方
因式分解法
一元二次方程的解法
平方根
一元二次方程的根
一元一次方程
根的判别式
根与系数的关系
要点巩固
相关概念
整式方程中只含有_____个未知数，并且未知数的最高次数是_____这样的方程叫做一元二次方程.
一
2
解（根）：能使一元二次方程左右两边_______的未知数的值.
相等
一般形式
ax + bx + c = 0（a、b、c 是已知数，a ≠ 0），其中
a、b、c 分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.
解 法
直接开平方法：解形如 x = p (p ≥ 0) 或 (mx + n) = p（m、n、p 为常数，m ≠ 0，p ≥ 0）的方程
因式分解法：把方程变形为 ab = 0 的形式，则 a = 0 或 b = 0
配方法：配方时，先将二次项系数化为 1，再在方程两边同时加上一次项系数_____________
公式法：求根公式为_______________（b2－4ac ≥ 0）
一半的平方
x =
根的判别式Δ=b2－4ac
Δ______0 方程有两个不相等的实数根
Δ______0 方程有两个相等的实数根
Δ______0 方程没有实数根
>
=
<
根与系数的关系
如果方程 ax + bx + c = 0（a ≠ 0）有两个实数根 x1、x2，
那么 x1 + x2 =_______，x1x2 =______ .
一元二次方程的应用
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤：
审、设、列、解、验、答.
A 组
1. 解下列方程：
（2）6x2－40 = 0；
解 （1）x1 =0，x2 .
（1）3x2 = 2x；
（3）x(3x－1) = 3－x；
（2）x1 =，x2 .
（3）x1 = 1，x2.
（4）y(y－2) = 4－y；
（6）t(t－2)－3t2 = 0.
（5）4x(1－x) = 1；
（4）y1 =，y2 .
（5）x1 =x2 .
（6）t1 = 0，t2.
2. 已知关于 x 的方程 x －3x + k = 0.
（1）当 k 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）当 k 取何值时，方程有两个相等的实数根？
（3）当 k 取何值时，方程没有实数根？
解: Δ ＝ (－3)2 －4×1×k ＝ 9－4k .
（1）当 9－4k > 0，即 k < 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 9－4k = 0，即 k = 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 9－4k < 0，即 k > 时，方程没有实数根.
3. 不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积：
（1）2x + 5x－1 = 0； （2） (x + 2) = 2(x + 3).
解: 设两根为 x1，x2 .
（1）x1 + x2 ＝－，x1x2 ＝－ .
（2）原方程可变形为 x2 －4x + 2 ＝ 0，
则 x1 + x2 ＝ 4，x1x2 ＝ 2.
4. 已知 A = 2x + 7x－1，B = 4x + 1， 分别求出满足下列
条件的 x 的值：
（1）A 与 B 的值互为相反数；（2）A 的值比 B 的值大 3.
解:（1）由题意，得 A + B ＝ 0，即 2x2 + 7x－1 + 4x + 1＝ 0，则 2x2 + 11x ＝ 0，解得 x1 ＝ 0，x2 ＝－ .
（2）由题意，得 A－B ＝3，即 2x2 + 7x－1－(4x + 1) ＝ 3，
则 2x2 + 3x－5 ＝ 0，解得 x1 ＝ 1，x2 ＝－ .
5. 已知关于 x 的方程 (2x－m)(mx + 1) = (3x + 1)(mx－1)
有一个根是 0，求它的另一个根和 m 的值.
解: 把 x ＝ 0 代入方程，得－m ＝－1，解得 m ＝ 1.
所以原方程为(2x－1)(x + 1) ＝ (3x + 1)(x－1)，
即 x2 －3x ＝0，解得 x1 ＝ 0，x2 ＝ 3.
所以方程的另一个根是 3，m 的值为 1.
6. 已知三个连续奇数的平方和是 371，求这三个奇数.
解:设中间的奇数为 a，则较小的奇数为 a－2，较大的
奇数为 a + 2.
由题意，得 (a－2)2 + a2 + (a + 2)2 ＝ 371，
解得 a1 ＝ 11，a2 ＝－11，
所以这三个奇数分别为 9、11、13 或－13、－11、－9.
7. 要在某正方形广场靠墙的一边开辟一条宽为 4 m 的绿化带，
使余下部分的面积为 100 m . 求原正方形广场的边长.
(精确到 0.1 m)
解:设原正方形广场的边长为 x m.
由题意，得 (x－4)x ＝ 100，
解得 x1 ＝2 + 2 ≈ 12.2，x2 ＝2－2 (不合题意，舍去).
答:原正方形广场的边长约为 12.2 m.
8. 村里准备修一条灌溉渠，其横截面是面积为 1.6 m 的等腰
梯形，它的上底比渠深多 2 m，下底比渠深多 0.4 m. 求灌溉
渠横截面上、下底边的长和灌溉渠的深度.
x m
x + 0.4
x + 2
解:设灌溉渠的深度为 x m，则灌溉渠横截面上底边的长为(x + 2) m，下底边的长为(x + 0.4) m.
由题意，得 (x + 2 + x + 0.4) x ＝ 1.6，
解得 x1 ＝0.8，x2 ＝－2 (不合题意，舍去).
所以 0.8 + 2 ＝ 2.8 (m)，0.8 + 0.4 ＝1.2 (m).
答:灌溉渠横截面上、下底边的长分别为 2.8 m、1.2 m，
灌溉渠的深度为 0.8 m.
9. 如图，某海关缉私艇在点 O 处发现在正北方向 30 n mile 的
A 处有一艘可疑船只，测得它正以 60 km 的速度向正东方
向航行，随即调整方向，以 75 km 的速度准备在 B 处拦截.
问：经过多少时间能赶上？
B
A
O
北
解:设经过 x h 能赶上.
由题意，得 (60x)2 + 302 ＝ (75x)2 ，
解得 x1 ＝ ，x2 ＝－ (不合题意，舍去).
所以 ×60 ＝ 40 (min).
答:经过 40 min 能赶上.
B 组
10. 解下列方程：
（1）4(x－2)2－(3x－1)2 = 0；
（2）(2x－1)2 + 3(2x－1) + 2 = 0；
解: （1）x1 = 1，x2 = －3.
（2）x1 = 0，x2 = － .
（3）x2 + 5 = 2 ；
（4）x2 －x－2 = 0.
（3）x1 = x2 = .
（4）x1 = ，x2 = － .
11. 已知 x = 1 是一元二次方程 (а－2)x2 + (a2－3)x－a + 1 = 0
的一个根，求 a 的值.
解: 把 x ＝ 1 代入原方程，得 a－2 + a2 －3－a + 1＝0，解得 a1＝2，a2 ＝－2.
因为二次项系数不为 0，所以 a－2 ≠ 0，所以 a ≠ 2.
所以 a ＝－2.
12. 已知关于 x 的方程 2x2－4x + 3q = 0 的一个根是 1－，
求它的另一个根和 q 的值.
解: 设另一个根为 x1 ，则 x1 + 1－ ＝ － ＝ 2.
所以 x1 ＝ 1 + .
因为 (1 + )(1－ ) ＝ ，所以 q ＝－ .
所以另一个根为 1 + ，q 的值为 － .
13. 已知关于 x 的方程 (m－1)x2－(m一2)x－2m = 0，它总是
二次方程吗？试求出它的根.
解:①当 m ≠ 1 时，方程是一元二次方程 ，
解这个方程，得 x1＝ ，x2 ＝ 2，
②当 m＝1 时，方程是一元一次方程 x－2＝0，
解这个方程，得 x ＝ 2.
14. 已知代数式 x2－5x + 7，先用配方法证明，不论取何值，
这个代数式的值总是正数；再求出当 x 取何值时，这个
代数式的值最小，最小值是多少？
解: x2 －5x + 7 ＝x2 －5x + + 7－＝ (x－ )2 + .
因为(x－)2 ≥ 0，所以不论 x 取何值，这个代数式的值
总是正数.当 x ＝ 时，这个代数式的值最小，最小值为 .
15. 学校原有一块面积为 1500 m2 的矩形场地，现结合环境
整治，将场地的一边增加 5 m，另一边减少 5 m，结果
场地的面积增加了 10%. 求现在场地的长和宽.
解: 设原场地其中一边长为 x m，另一边长为 y m.
由题意，得
xy ＝ 1500，
(x + 5)(y－5) ＝ 1500(1 + 10％ ).
整理，得 x2 + 35x－1500 ＝0，
解得 x1＝ 25，x2 ＝－60 (不合题意，舍去).
所以 y ＝＝60. 所以 x + 5 ＝ 30，y－5＝55.
答: 现在场地的长为 55 m，宽为 30 m.
C 组
16. 解方程：
（1）(x2－x)2－5(x2－x) + 6 = 0；
解:（1）令 x2－x ＝ a，则原方程化为 a2 －5a + 6 ＝ 0，解得 a1 ＝ 2，a2 ＝ 3.
当 a ＝ 2 时，有 x2 －x ＝ 2，解得 x1 ＝－1，x2 ＝ 2；
当 a ＝ 3 时，有 x2 －x ＝ 3，
解得 x1 ＝ ，x2 ＝ .
所以原方程的解为 x1 ＝－1，x2 ＝2，x3 ＝ ，x4 ＝ .
（2） － = 1.
（2）令 ＝ y，则原方程化为 y－ ＝ 1，即 y2 －y－2＝0，
解得 y1＝－1，y2 ＝ 2.
经检验，y1 ＝－1，y2 ＝ 2 都是分式方程的解.
当 y ＝ －1 时， ＝－1，
所以 x2 + x + 1 ＝ 0，
此时 Δ < 0，方程没有实数根；
当 y ＝ 2 时， ＝ 2，所以 2x2－x－1＝0，
解得 x1 ＝ 1，x2 ＝－.
经检验，x1 ＝ 1，x2 ＝－ 都是分式方程的解.
所以原方程的解为 x1 ＝ 1，x2 ＝－ .
（2） － = 1.
17. 证明：对于任何实数 m，关于 x 的方程 (x－1)(x－2) = m
总有两个不相等的实数根.
证明: 原方程可化为 x2 －3x + 2－m2 ＝ 0，
Δ ＝(－3)2 －4×1×(2－m2 )＝ 4m2 + 1 > 0，
所以方程总有两个不相等的实数根.
18. 设方程 2x + 3x－4 = 0 的两根为 x1、x2，求下列各式的值：
（1） ；
（2）x12 + x22 .
解: x1 + x2 ＝－，x1x2 ＝ ＝－2 .
（1） + ＝ ＝＝ .
（2）x12 + x12 ＝ (x1 + x2)2－2x1x2 ＝ (－)2－2×(－2)＝.
19. 已知 y ≠ 0，且 3x －2xy－8y = 0，求 的值.
解: 因为 y ≠ 0，所以可将方程两边除以 y2 ，
得 3()2 －2()－8 ＝ 0.
令 ＝ t，则方程可化为 3t2 －2t－8 ＝ 0.
解这个方程，得 t1 ＝2，t2 ＝－ .
所以 的值为 2 或－ .
20. 已知关于 x 的方程 mx －(2m－1)x + m－2 = 0.
（1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）当 m 取何值时，方程有实数根？
解:当方程为一元二次方程时，m ≠ 0，Δ ＝ [－(2m－1)]2 －4m(m－2) ＝ 4m + 1.
（1）当 Δ ＝ 4m + 1 > 0，即 m > － 且 m ≠ 0 时，
方程有两个不相等的实数根.
（2）①当 m ≠ 0 时，方程是一元二次方程，
当Δ ＝4m + 1 ≥ 0，即 m ≥ 且 m ≠ 0 时，方程有实数根；
②当 m＝0 时，方程是一元一次方程，方程有实数根为
x ＝ 2.
综上所述，当 m ≥－ 时，方程有实数根.
20. 已知关于 x 的方程 mx －(2m－1)x + m－2 = 0.
（1）当 m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？
（2）当 m 取何值时，方程有实数根？
21. 某产品每件的生产成本为 50 元，原定销售价为 65 元. 经
市场预测，从现在开始的第一个季度销售价将下降 10%，
第二个季度又将回升 4%. 若要使半年以后的销售总利润
不变，如果你作为决策者，将采取什么措施？请将本题
补充完整并解答.
解: 降低产品成本.
问题: 平均每个季度成本降低的百分率是多少？ (精确到 0.1％)
设平均每个季度成本降低的百分率为 x.
由题意，得 65(1－10％ )(1 + 4％)－50(1－x)2 ＝ 65－50，
解得 x1 ≈ 0.043 ＝ 4.3％ ，x2 ≈ 1.957 (不合题意，舍去).
答:平均每个季度成本降低的百分率约是 4.3％ . (答案不唯一)

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