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配方法
一元二次方程
1. 使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方
法解一元二次方程.
2. 在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，
掌握一些转化的技能.
回顾因式分解的完全平方公式
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
例 4 解方程：
x2 + 2x = 5.
要用直接开平方法求解，首先希望能将方程化为
( )2 = a
的形式，那么，怎么实现呢？
思 考
例 4 解方程：
x2 + 2x = 5.
通常设法在方程两边同时加上一个适当的数，使左边配成一个含有未知数的完全平方式（右边是一个常数）.
x2 + 2x + 1 = 5 + 1
两数和的平方公式
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
例 4 解方程：
x2 + 2x = 5.
解 原方程两边都加上 1 ，得
x2 + 2x + 1 = 6.
即 (x + 1)2 = 6.
直接开平方，得 x + 1 =
所以 x =
即 x1 = ，x2 = －1－ .
概 括
将一元二次方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解. 这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
例 5 用配方法解方程：
（1）x2－4x + 1 = 0；（2）4x2－12x－1 = 0.
解 （1）原方程可化为
x2－4x = －1.
在左边配上什么数能成为完全平方？
x2－2·x·2 + □2 = (x－□)2
配方（两边同时加上 4），得
x2－2·x·2 + 22 = －1 + 22 ，
即 (x－2)2 = 3.
直接开平方，得 x－2 = .
所以 x1 = 2 + ，x2 = 2－ .
（2）4x2－12x－1 = 0.
（2）移项，得 4x2－12x = 1.
两边同时除以 4，得 x2－3x = .
配方，得
x2－2·x· + 2= + 2 ，
即 2 =
直接开平方，得 x－ = ，
所以 x1 = + ， x2 = － .
这里应该怎样配方？
思 考
（2）4x2－12x－1 = 0.
4x2 = (2x)2 ，方程移项后可以写成
(2x)2－2·2x·3 = 1
可以怎样配方？试一试，并完成解答.
(2x)2－2·2x·3 + 32 = 1 + 32
(2x－3)2 = 10
2x－3 =
x1 = + ， x2 = － .
用配方法解下列方程:
（1）x2 + 4x－6 ＝ 0； （2）4x2 + 12x－5＝0.
解 （1）移项，得 x2 + 4x ＝ 6.
配方，得 x2 + 2·x·2 + 22＝6 + 22，即 (x + 2)2 = 10.
直接开平方，得 x + 2 ＝± .
所以 x1 ＝ ，x2 ＝ .
（2）移项，得 4x2 + 12x ＝ 5.
两边同除以 4，得 x2 + 3x ＝ .
配方，得 x2 + 2·x · + ＝ + .
即 ＝ .
直接开平方，得 x + ，所以 x1 = ，x2 = .
用配方法解下列方程:
（1）x2 + 4x－6 ＝ 0； （2）4x2 + 12x－5＝0.
试一试
用配方法解关于 x 的方程：
x2 + px + q = 0（p2 – 4q ≥ 0）.
解 配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ + 2.
即 ＝ .
直接开平方，得 x + ，
所以 x1 = ，x2 = .
1. 填空，将下列方程左边的多项式配成完全平方式：
【选自教材第27页 练习 第1题】
（1）x2 + 6x + ( ) = (x + )2；
（2）x2 － 8x + ( ) = (x － )2；
（3）x2 + x + ( ) = (x + )2；
（4）4x2 － 6x + ( ) = 4(x － )2 = (2x－ )2 .
9
3
16
4
（1）x2 + 8x－2 = 0；
（2）x2 －5x－6 = 0；
（3）3x2 + 2x－3 = 0.
2. 用配方法解下列方程：
【选自教材第28页 练习 第2题】
解:（1）移项，得 x2 + 8x ＝ 2，
配方，得 x2 + 2·x·4 + 42 ＝ 2 + 42 ，
即 (x + 4)2 ＝18.
直接开平方，得 x + 4 ＝±3；
所以 x1 ＝－4 + 3，x2 ＝－4－3.
（1）x2 + 8x－2 = 0；
（2）x2 －5x－6 = 0；
（3）3x2 + 2x－3 = 0.
2. 用配方法解下列方程：
【选自教材第28页 练习 第2题】
（2）移项，得 x2 － 5x ＝ 6，
配方，得 x2 － 2·x· + 2＝ 6 + ，
即 2＝ .
直接开平方，得 x － ，所以 x1 = 6，x2 = －1.
（1）x2 + 8x－2 = 0；
（2）x2 －5x－6 = 0；
（3）3x2 + 2x－3 = 0.
2. 用配方法解下列方程：
【选自教材第28页 练习 第2题】
（3）移项，得 3x2 + 2x ＝ 3，
两边同除以 3，得 x2 + x ＝ .
配方，得 x2 + 2·x · + 2＝ 1 + .
即 2＝ .
直接开平方，得 x + ，所以 x1 = ，x2 = .
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
一般步骤 方法 示例：2x2－4x－6 = 0
一移 移项
二化 二次项系数 化为 1
三配 配方
四开 开平方
五解 解两个一元 一次方程
将常数项移到方程的右边，含未知数的项移到方程的左边
方程左、右两边同时除以二次项系数
方程左、右两边同时加上一次项系数一半的平方
利用平方根的意义直接开平方
移项、合并同类项
2x2－4x = 6
x2－2x = 3
x2－2x + 1= 3 + 1
即 (x－1)2 = 4
x－1 = ±2
x1 = 3，x2 = －1

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