资源简介

(共18张PPT)
一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程
1. 能运用根的判别式，判断方程根的情况和
进行有关的推理论证；
2. 会运用根的判别式求一元二次方程中字母
系数的取值范围.
求出一元二次方程 x2 + 3x – 4 = 0 的两根 x1 和 x2，
计算 x1 + x2 和 x1·x2 的值. 它们与方程的系数有什么关系？
(x + 1)(x－ 4)= 0
x1 = 1，x2 = －4.
x1 + x2 =－3，x1x2 = －4.
x2 + 3x －4 = 0
二次项系数为 1
一次项系数为 3
常数项为 －4
等于一次项系数的相反数
等于常数项
因式分解
对于任何一个二次项系数为 1 的一元二次方程，是否都有这样的结果呢？
我们来考察方程
x2 + px + q = 0（p2－4q ≥ 0）
由一元二次方程的求根公式，得到方程的两根分别为
＝ ， ＝ .
＝ + = p.
＝ · = = q.
概 括
二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系：
设一元二次方程 x2 + px + q = 0 的两根为 x1、x2，那么
＝ －p.
＝ q.
例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：
（1）x2 + 3x－5 = 0； （2）2x2 － 3x －5 = 0.
解 （1）设两根为 x1、x2，由上述二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = －3，x1x2 = －5.
（2）方程两边同除以 2 ，得
x2 － x－ = 0.
设两根为 x1、x2 ，可得
x1 + x2 = －，x1x2 = － .
例 9 试探索一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，
b2 – 4ac ≥ 0) 的根与系数的关系.
解 方程两边同除以 a ，得
x2 + x + = 0.
由二次项系数为 1 的一元二次方程根与系数的关系，可得
x1 + x2 = －，x1x2 = .
这就是一般情形下一元二次方程的根与系数的关系.
（2）2x2 － 3x －5 = 0.
你会直接写出答案吗？
例 8 不解方程，求出方程的两根之和和两根之积：
x1 + x2 = – = ，
x1x2 = .
不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
（1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7.
已知方程
一般形式 ax2 + bx + c = 0（a ≠ 0）
x1 + x2 = －，x1x2 =
没有实数根
整理
代值计算
Δ ≥ 0
Δ < 0
判断
不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
（1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7.
解:（1）方程化为一般形式为 3x2 + 5x + 1＝0，
则 Δ ＝ 52－4×3×1 ＝13 > 0.
设两根为 x1、x2，可得
x1 + x2 = －，x1x2 = .
不解方程，求出方程的两根之和与两根之积：
（1）3x2 + 2 ＝ 1－5x；（2）x(x－1)＝ 3x + 7.
（2）方程化为一般形式为 x2 － 4x － 7＝0，
则 Δ ＝ (－4)2－4×1×(－7) ＝44 > 0.
设两根为 x1、x2，可得
x1 + x2 = －，x1x2 = .
1. 试由一元二次方程的求根公式，直接推导方程
ax + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的根与系数的关系.
【选自教材第36页 练习 第1题】
解: 因为 x = ，
所以 x1 + x2 = + ，
x1 · x2 = · .
2. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根
的话，那么求出方程的两根之和与两根之积：
【选自教材第36页 练习 第2题】
（1）x2 + 4x － 3 = 0；
（2）3x2 － 4x = 0；
解: （1）因为Δ ＝ 42 －4×1×(－3)＝ 28 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
设两根分别为 x1、x2 ，
则 x1 + x2 ＝－4，x1 · x2 ＝－3.
2. 不解方程，判断下列方程是否有实数根，如果有实数根
的话，那么求出方程的两根之和与两根之积：
【选自教材第36页 练习 第2题】
（1）x2 + 4x － 3 = 0；
（2）3x2 － 4x = 0；
（2）因为 Δ ＝(－4)2 －4×3×0 ＝ 16 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
设两根分别为 x1 、x2 ，
则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝ 0.
（3）2= x；
（4） = .
（3）原方程可变形为 x2 + 4 ＝ 0.
因为 Δ ＝02 －4×1×4 ＝－16 < 0，所以方程没有实数根.
（4）原方程可变形为 3x2 + 9x－2 ＝ 0.
因为Δ ＝92 －4×3×(－2)＝ 105 > 0，
所以方程有两个不相等的实数根.
设两根分别为 x1、x2，
则 x1 + x2 ＝－，x1 · x2 ＝－.
3. 试解答下列问题，并和同学讨论一下，有哪些不同的解法:
【选自教材第37页 练习 第3题】
（1）已知关于 x 的方程 x2 + mx + 2n = 0 的两个根是 1 和 －3，
求 m 和 n 的值；
解:（1）解法一: 将 x＝ 1 和 x ＝ －3 分别代入方程，
得
1 + m + 2n = 0，
9－3m + 2n = 0，
解得
m = 2，
n = － .
解法二: 根据根与系数的关系，得 1 + (－3)＝ －m，
1×(－3)＝ 2n，所以 m = 2，n = －.
（2）已知关于 x 的方程 x2 + mx－20 = 0 的一个根是 －4，
求它的另一个根和 m 的值.
（2）解法一: 将 x ＝－4 代入方程，得 16－4m－20 ＝ 0，
解得 m ＝－1.
将 m ＝－1 代回原方程，得 x2－x－20＝0，解得 x1 ＝ 5，
x2 ＝－4，所以另一个根是 5.
解法二: 根据根与系数的关系，设另一个根为 a，
则有－4 + a ＝－m，－4×a ＝－20，所以 a ＝ 5，m ＝－1，
即另一个根为 5，m 的值为 －1.
一元二次方 程根与系数 的关系 使用 条件
设二次项系数为 1 的一元二次方程 x2 + px + q ＝ 0 的
两根为 x1 、x2，那么 x1 + x2 ＝－p，x1x2 ＝ q
①方程是一元二次方程，且要化为一般形式；
②方程有实数根，即 Δ ≥ 0
对于一元二次方程 ax2 + bx + c ＝ 0 ( a ≠ 0)，
当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根，设这两个实数根
分别为x1 、x2 ，这两个根与系数的关系是
x1 + x2 ＝－，x1 x2 ＝ .

展开更多......

收起↑