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南宁二中 2025-2026 学年度下学期高一期末考试
数 学
（时间 120 分钟，共 150 分）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分，每小题给出的 4 个选项中只有一个选项是正确的，
请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上。
1.复数 = 3 2 + 4 3的虚部为( )
A. 4 B. 4 C. 3 D. 3
2.在边长为 1 的正三角形 中，| |的值为( )
A. 1 B. 2 C. 32 D. 3
3.已知 ， 是两条直线， ， ， ，是三个平面，则正确的是( )
A.若 // ， ， ，则 // B.若 ⊥ ， // ，则 ⊥
C.若 ⊥ ， ⊥ ，则 // D.若 // ， // ，则 //
4.袋子中有 4 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，2 个白球，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，则
两次都摸到红球的概率 =( )
A. 1 B. 1 C. 16 4 D.
1
3 2
5.已知一组样本数据 1， 2，…， ( ∈ )的均值和方差分别为 2 和 3，则 3 1 + 2，3 2 + 2，…，3 + 2
的均值和方差分别为( )
A. 6 和 9 B. 8 和 11 C. 6 和 18 D. 8 和 27
6 56 3.一圆台的上、下底面半径分别为 2、4，体积为 3 ，则该圆台的侧面积为( )
A. 12 B. 18 C. 24 D. 36
7.在△ 中，内角 、 、 的对边分别为 , , ，若△ 的面积为 ，且 = 1，4 = 2 + 2 1，则∠ 为
( )
A. B. C. 4 3 D.

6 2
8.如图，在四面体 中， ， 分别为 ， 的中点， = 2， = 4，且向量 与向量 的夹角为
120°，则线段 的长度为 ( )
A. 3 B. 7 C. 3或 7 D. 3 或 3 3
高一下期末考试数学试卷第 1页共 10页
二、选择题：本题共三小题，每小题 6 分，共 18 分，在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对
的得 6 分，部分选对的得部分分。
9.已知随机事件 1 1、 发生的概率分别为 = 3， = 6，则下列说法正确的是( )
A.若 与 互斥，则 ∪ = 12 B.若 与 相互独立，则 ∪ =
4
9
C. 1 1若 = 9，则事件 与 相互独立 D.若 ，则 = 3
10.四名同学各掷骰子 5 次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有
出现点数 6 的有( )
A.中位数为 3，众数为 3 B.平均数为 3，众数为 4
C.平均数为 3，中位数为 3 D.平均数为 2，方差为 2.4
11.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为 1， 为 的中点， 为线段 1上的动点，过点 ， ， 的平面
截该正方体所得截面记为 ，则下列命题正确的是( )
A.直线 1与直线 1 1所成角的正切值为2
B.当 = 12时，截面 的形状为等腰梯形
C. 3 1当 = 4时， 与 1 1交于点 ，则 1 = 4
D. 1当2 < < 1 时，直线 与平面 1
10 1
1的夹角正弦值的取值范围是( 10 , 2 )
三、填空题：本大题共三小题，每小题 5 分，共计 15 分。
12.已知向量 = (2,1, )， = (4,2, 4)，且 // ，则 = ．
13 3.已知 sin( ) = 5， = 4 ，则 sin( + ) = ．
14.吃粽子是端午节标志性的习俗之一。现在生活中常见的粽子形状为三角粽(有四个面，每个面都为三角
形)，因为三角粽的四个面都能用到完整的叶片，不需要多余的弯折，如果方形的粽子，包裹米粒的叶面要与
其他面衔接处太多，容易把米漏出来，为避免漏出米粒就要过度折叠叶子，叶子在顺着植物纤维方向有韧性，
但垂直向上是很容易扯破不容易成形.如图是某三角粽的平面展开图，其中 = = = 4, ⊥ ，若该
三角粽的四个定点都在某个球的球面上，则该球体的体积为 ．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)为了解某小区居民的体育锻炼时间，随机在该小区选取了100名住户，将他们上周体育锻炼
的时间（单位：时）按照 0,2 、 2,4 、 4,6 、 6,8 、 8,10 分成5组，制成如图所示的频率分布直方图.
(1)求图中 a的值并估计样本数据的第75百分位数；
(2)按比例分层随机抽样的方法从上周体育锻炼时间在 2,4 、 4,6 的住户中选取5人，再从这5人中任意选取
2人，求这 2人上周体育锻炼时间都不低于 4小时的概率.
16．(本小题 15 分)如图，已知正三棱柱 ABC A1B1C1中， AB AA1 2，点 P为 BC的中点．
(1)证明： A1B //平面 APC1；
(2)求CC1与平面 APC1所成角的余弦值．
17．(本小题 15 分)在 ABC 中， BC 4， AC 6，
(1)求证： B 2A；

(2)若 AD AC ， BD 14，求实数 的值.
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18.(本小题 17 分)如图，在三棱柱 ABC A1B1C1 中，已知 AB 侧面 BB1C1C ，
BC 1, AB BB1 2, BCC1 ，3
(1)求证：C1B 平面 ABC；
(2)P是线段 BB1上的动点，当平面C1AP 平面 AA1B1B时，求线段 B1P的长；
BE
(3)在棱 BB1上是否存在一点 E，使得二面角C1 AE A
30
1平面角的正切值为 ？若存在，求出 的值；5 BB1
若不存在，请说明理由.
π 3π
19 .(本小题 17 分)设函数 f x cos3xsin x cos 3x sin x．
2 2
π
(1)求 f 的值；
3
(2)求方程 f x sinx的最小的 9 个正实数解之和；
(3)已知 a，b均为正实数，若对 x R都有 af x bcos x 1恒成立，求 a b的最大值．
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南宁二中 2025-2026 学年度下学期高一期末考试数学答案和解析
1.【答案】 【解析】解： = 3 2 + 4 3 = 3 4 ，虚部为 4．故选： ．
→ → → → →
2.【答案】 【解析】解：作出菱形 如图所示，则| | = | | = | | = 3．
3.【答案】 【解析】解：已知 ， 是两条直线， ， ， 是三个平面，
对于 ，若 // ， ， ，则 // 或 ， 异面，故 A错误，
对于 ，若 ⊥ ， // ，则 ⊥ ，故 B正确，
对于 ，若 ⊥ ， ⊥ ，则 // 或 ， 相交，故 C错误，
对于 ，若 // ， // ，则 // 或 ，故 D错误．故选： ．
4.【答案】 【解析】解：2 个红球，设为 , ；2 个白球，设为 , ，从中不放回地依次随机摸出 2 个球，有
{ , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , }, { , },共 12 种，
两次都摸到红球的情况为{ , }, { , }, 2 2 1共 种，则概率 = 12 = 6．故选： ．
5.【答案】 【解析】解：根据题意，数据 1， 2，…， ( ∈ )的均值和方差分别为 2 和 3，
对于 3 1 + 2，3 2 + 2，…，3 + 2，其均值为 3 × 2 + 2 = 8，方差为 9 × 3 = 27．故选： ．
6.【答案】 【解析】解：根据题意可知，圆台上底面面积为 1 = 4 ，下底面面积为 2 = 16 ，
1 ( + + ) = 56 3设圆台的高为 ，由体积可得3 1 2 1 2 3 ，
解得 = 2 3，所以可得圆台母线长为 = 2 + (4 2)2 = 4，
根据侧面展开图可得圆台侧面积为 (2 + 4) × 4 = 24 ．故选： ．
7.【答案】 1【解析】解：因为 4 = 2 + 2 1， = 1，所以 4 × 2 2 22 = + ，
2 2 2
= + = = 即 2 ，所以 4．故选 B．
8.【答案】 【解析】如图，取 的中点 ，连接 ， ， 因为 ， 分别为 ， 的中点， 所以 //
1 1， 且 = = 2， // ，且 = = 1. 因为向量 与向量 2 2 的夹角为 120°， 所以向量

与向量 的夹角为 120°. 又 = + ， 所以| |2 = ( + )2 = | |2 + 2 + | |2 =
22 + 2 × 2 × 1 × 12 + 1
2 = 3， 所以| | = 3，即线段 的长度为 3．
9.【答案】 【解析】解：对于 选项，若 与 互斥，则 ∪ = + = 13 +
1 1
6 = 2， 对；
1 1 1对于 选项，若 与 相互独立，则 = = 3 × 6 = 18，
所以， ∪ = + = 1 + 1 1 43 6 18 = 9， 对；
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= 1 = 1 1 1 1对于 选项，若 9，且 3 × 6 = 9 = ，所以，事件 与 相互独立， 对；
对于 选项，若 ，则 = ∩ = ，所以， = = 16， 错．故选： ．
10.【答案】BD【解析】解：对于 ，当每个同学掷骰子出现结果为 1，2，3，3，6 时，中位数为 3，众数为
3，可以出现点数 6，故 A不满足题意；
对于 ，平均数为 3，众数为 4，若每个同学掷骰子出现结果 4 出现两次，出现一个 6，则剩余的三个数之和
为 3 × 5 2 × 4 6 = 1，这是不可能的，
所以平均数为 3，众数为 4 的一定没有出现点数 6，故 B满足题意；
对于 ，当每个同学掷骰子出现结果为 1，2，3，3，6 时，满足平均数为 3，中位数为 3，可以出现点数 6，
故 C不满足题意；
1
对于 ，若平均数为 2，且出现点数 6，则方差 2 > 5 (6 2)
2 = 3.2 > 2.4，所以平均数为 2，方差为 2.4 的一
定没有出现点数 6，故 D满足题意．故选 BD．
11.【答案】 【解析】解：对于选项 A，因为 // 1 1// 1 1，
∠ 1故 即直线 与直线 1 1所成角，因为 tan∠ = = 2，故选项 A正确；
对于选项 B，如图，连接 ， ， 1， 1，
因为 = 12，易得 // 1// 1，因为平面 1 1//平面 1 1，
连接 1即为截面 与正方体的一条截线，
连接 1 ，计算易得 1 = ，故截面 的形状为等腰梯形 1 ，故选项 B正确；
对于选项 C，如图，过点 作 的平行线交直线 1于点 ，连接 ，交 1 1于点 ，
因为 // ，易得△ ∽△ ，则 = ，
3×1
于是 = 4 31 = 2，则 =
1
1 2，如图，又可得△ 1 △
1 ～ 1 ，则 = 1 1 1
，
2
1

即 11 =
4 1
1，解得 1 = 3，故选项 C错误；1 2
对于选项 D，如图，取 中点 ，连接 ， ， 交 于点 ，连接 ，
易得 // ， ⊥ ，则 ⊥ ，
又因为 1 ⊥平面 ， 平面 ，则 1 ⊥ ，
因为 ∩ 1 = ， ， 1 平面 1 1，故 ⊥平面 1 1，
则∠ 即直线 与平面 1 1的夹角，设为 ，
高一下期末考试数学试卷第 6页共 10页
不妨设 = ，则 ∈ ( 1 , 1) 2 ，在 △ 中， = =
2
，
2 4 2+1
因 ∈ ( 12 , 1)，则 2 < 4
2 + 1 < 5 10 1，可得 10 < < 2，故选项 D正确．故选： ．
12. 2 1 【答案】 2【解析】解：因为 = (2,1, )， = (4,2, 4)，且 // ，所以4 = 2 = 4，解得 = 2，
13. 1 3 3【答案】 【解析】解：因为 sin( ) = 5，所以 = 5，

又因为 = 4 ，即cos = 4 cos ，所以 = 4 ，解得 =
4
5 , =
1
5，
则 sin( + ) = + = 1．故答案为：1．
14.【答案】32 3 【解析】解：如图，三棱锥 为该三角粽的立体图，
由 ⊥ ，得在三棱锥 中， ⊥ , ⊥ , ⊥ ，
因为 ∩ = , , 平面 ，所以 ⊥平面 ，
如图，将三棱锥 补全为正方体，
则该正方体的体对角线即为三棱锥 外接球的直径，
则三棱锥 外接球的直径 2 = 16 + 16 + 16 = 4 3，则其半径 = 2 3，
4
所以该球体的体积为 33 = 32 3 ．故答案为： 32 3 ．
15.【答案】解：（1） 0.05 0.075 0.1 0.15 a 2 1，解得a 0.125 .设样本数据的第75百分位数为 x，
因为样本数据在 0,6 的频率为 2 0.05 0.1 0.15 0.6 0.75，样本数据在 0,8 的频率为
2 0.05 0.1 0.15 0.125 0.85 0.75，则 x 6,8 ，所以0.6 0.125 x 6 0.75，解得 x 7.2，故估计
样本数据的第75百分位数为7.2 .
（2）上周体育锻炼时间在 2,4 的频数为 0.1 2 100 20，上周体育锻炼时间在 4,6 的频数为
0.15 2 100 30，按分层随机抽样的方法选取5人，则上周体育锻炼时间在 2,4 20的住户被抽取 5 2人，
50
记为 a、b
30
，体育锻炼时间在 4,6 的住户被抽取 5 3人，记为 A、 B、C，所以从这5人中随机抽取 2人
50
的情况有 ab、 aA、 aB、 aC、bA、bB、bC、 AB、 AC、BC，共10种，其中，事件“所抽取的 2人上周
体育锻炼时间都不低于 4小时”包含的情况有 AB、 AC、 BC
3
，共3种，则所求的概率 P .
10
16.【答案】(1)连接 A1C交 AC1于点O，连接 PO，
因为三棱柱 ABC A1B1C1为正三棱柱，所以侧面 ACC1A1为矩形，所以O为 A1C的中点，
高一下期末考试数学试卷第 7页共 10页
又因为点 P为 BC的中点，所以在 A1BC中， PO为中位线，故 PO / /A1B，
因为 PO 平面 APC1， A1B 平面 APC1，所以 A1B / /平面 APC1．
（2）过C点作CM C1P，在正三棱柱 ABC A1B1C1中，CC1 平面 ABC， AB AC BC，
因为 AP 平面 ABC，所以CC1 AP，
又 P为 BC的中点，所以 AP BC，
因为 BC CC1 C ， BC，CC1 平面 BB1C1C，所以 AP 平面 BB1C1C，
因为CM 平面 BB1C1C，所以 AP CM ，
又因为CM C1P， AP，C1P 平面 APC1， AP C1P P ，所以CM 平面 APC1，
所以 MC1C为CC1与平面 APC1所成角，
因为 AB AA1 2，点 P为 BC的中点．在Rt△PCC1中， PC PC 2 CC 21 1 1
2 22 5 ，
所以 cos MCC cos PC C
CC1 2 2 5
1 1 ，即CC
2 5
1与平面 APC1所成角的余弦值为 ．C1P 5 5 5
17.【答案】【答案】 (1)证明：在 ABC 中，由余弦定理得
，所以 AB 5，又
，
，
所以 ， 所以 ，

由题意知 ，所以 0 A ， ， 0 B ，所以 B 2A.
2

(2)解：因为 AD AC ， ，所以点 D在 AC上，即
由 (1)知 ，设 AD x，在 ABD中，由余弦定理知 ，
11
化简得 2x2 15x 22 0 ，得 x 或 x 2.
2
1 11 11 11当 x 2时， AD 2， ；当 x 时， AD ， .
3 2 2 12
1 11综上所述， 或 .
3 12
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18.【答案】解： (1)证明：因为 AB 侧面 BB1C1C ，C1B 侧面 BB1C1C，故 AB C1B，
因为 BC 1,CC

1 BB1 2, BCC1 ，3
2
由余弦定理可得 BC1 CC
2
1 BC
2 2CC1 BC cos 3，3
则CC 2 BC 21 1 BC
2，故 C1BC 90 ，即C1B CB，
又CB BA A，CB,BA 平面 ABC，故C1B 平面 ABC；
(2)由已知 AB 侧面 BB1C1C ， AB 平面 ABB1A1，故平面 ABB1A1 平面 BB1C1C，
过C1作C1P BB1于 P，C1P 平面 BB1C1C ，平面 ABB1A1 平面 BB1C1C BB1，则C1P 平面 AA1B1B，
因C1P 平面C1AP，故平面C1AP 平面 AA1B1B，此时点 P满足题意，
BCC B BC 1, AB BB 2, BCC B P BC cos BC cos 1又因为四边形 1 1 为平行四边形，且 1 1 故 1 1 1 ；3 3 3 2
（3）法一：
③过 P 作 PH AE 交 AE 延长线于H ，连 C1H，由（2）C1P⊥面 ABB1A1， PH 为 C1H 在面 ABB1A1内射影，由
三垂线定理可知 AE C1H ，故 C1HP为C1 AE A1 所成角，设 BE BB1， [0,1]，由
3
2
Rt PHE∽Rt ABE PH 3 4 3， 2 ， PH ，在Rt GPH 中，C1P 1 sin 60
，
2 4 4 2 4 4 2 2
3
C 2sin 1P 2 30 1 10 ，即 ，得 27 2 48 1 13 13 0解得 或 （舍）
PH 3 4

5 3 4 5 3 9
4 4 2
当 BE 1 BB 301时，C1 AE A1 所成角正切值为 。3 5

法二：由(1)C1B 面 ABC，如图，建立空间直角坐标系 B xyz，设 BE BB1, [0,1]

B(0,0,0), A(0,2,0),C1(0,0, 3),B1( 1,0, 3) ，C1B (0,0, 3),BB1 ( 1,0, 3)

C1A (0,2, 3),C1E C1B BE C1B BB1 (0,0, 3) ( 1,0, 3) ( ,0, 3 3)
n

C1A 2y 3z 0设 n (x, y, z)为平面 C1AE 一个法向量。
n

C1E x ( 3 3)z 0
高一下期末考试数学试卷第 9页共 10页
若 0，即 E 点与 B 点重合，由 AB 侧面 BB1C1C ， AB B1B, AB C1B, 故 C1BB1为C1 AE A1 所成
3
C P 3
角，此时C 31P ,B1P
1 ,BP 3 ， tan 1 2 ，3 不符合题意，2 2 2 BP 3
2
0 y 3, z 2, x 2 3( 1)
2 3( 1)
故 ，取 得 n , 3,2 ，由(2)C1P 平 ABB 1
A1


C1P C1B BP C1B
3
BB1 (0,0, 3)
3 3 3
( 1,0, 3) ,0, ，取m ( 3,0,1) 为平面 ABB1A4 4 1
法向量。
4 4
6( 1)
2
C AE A 5 |m n | 5设 1 1 平面角为 ，则 cos ， cos | cos m, n | |m
，
55 | | n
| 12( 1)2 55
2 7 3 1
1 13解得： 或 （舍） 当 BE 1 BB1时，满足题意。3 9 3
19 f x cos3x sin π 3π .【答案】【解析】（1） x cos 3x sin x cos3x cos x sin 3x sin x
2 2
cos 3x x cos 2x， f π cos
2π 1
．
3 3 2
（2）已知 f x sinx，由（1）知 f x cos 2x ，
1
cos2x 1 2sin2 x sinx，即 2sin2 x sinx 1 0，解得 sinx 或 sinx 1，
2
π 5π 3π 13π 17π 7π 25π 29π 11π 51π
此方程最小的 9 个正实数解之和为： ．
6 6 2 6 6 2 6 6 2 2
（3）已知 acos2x bcosx 1恒成立，即 2a cos2 x bcosx a 1 0恒成立，
设 cos x t 1,1 ，则有 t 1,1 ， 2at 2 bt a 1 0，设 g t 2at2 bt a 1，
1 b① 时，要满足题意则需 g t g 1 a b 1 0min ，即 a 1 b 4a，4a
a 1 5 ，即 a b a a 1 ；
3 3
b
②1
b
时，要满足题意则需 g t g 0 b2，即 8a a 1 04a min ， 4a
设a b m，则b m a，
b2 8a a 1 0，即 m a 2 8a a 1 0，整理得9a2 2 m 4 a m2 0，
2
要满足题意则此不等式有解，即 4 m 4 36m 2 0 ，解得m 2，
当 a
2 b 4
3， 3 时取等号，综上所述， a b的最大值为 2．
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