资源简介

2025-2026学年第二学期期末质量检测试卷
7W2
83v3
4
c.√
D.5
2
高二数学
第一部分（选择题共58分）
8.已知函数f因=
e则()
A.f(x)在x=2处的切线方程为y=0
B.f(x)的极小值为0
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
C.f(x)在(1，+o)单调递增
0.f)=是有三个实根
1.下列求导正确的是()
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部
A.(c)=c
B.(xcosx)'=cosx+xsinx
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分
C.[(2x+1)]=8(2x+1)3
D.(2+x=2+1
9.下列有关样本相关系数”，叙述正确的是()
2.现有3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选
Ar的取值范围是[-1，]
B.r的取值范围是0,1
1
法共有()
C.”越接近1，表示两变量的线性相关程度越强
A.10种
B.12种
C.20种
D.60种
D.越接近0，表示两变量的线性相关程度越强
3.上一的展开式中含项的系致为()
10.学校从7名候选人中选3名同学组成学生会，已知有3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的
A.20
B.24
C.28
D.32
机会被选到，用X表示3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是()
4.某研究所研究耕种深度x(单位：cm)与一种农作物每公顷产量y(单位：t)的关系，所得数据资料
A.X服从超几何分布
8.PX=)=18
如下表：
35
CX的期E0-
D.X的方差D(X0=49
24
耕种深度x/cm
11.己知∫'(x)是函数f(x)的导函数，(x)的图象如图，则下列关于函数f(x)的说法正确的是()
每公顷产量y/t
m
5
7
8
发现y与x之间具有线性相关关系，其经验回归方程为)=0.6x+3.6,则m=()
A.10
B.8
C.6
D.4
5.设随机变量X服从正态分布N(2,σ2)，且P(X<3)=0.8,则P1A.0.3
B.0.4
c.0.5
D.0.9
6.质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数
数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5,5和7，，那么，如果我们在不超过30的自
A.在(-o,1)上单调递减B.在x=1处取得极小值C.f'(-1)=0D.f(x)在x=2处取得极小值
然数中，随机选取两个不同的数，记事件A:这两个数都是素数：事件B:这两个数不是李生素数，则
第二部分（非选择题共92分）
P(BA0=()
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
A号
B.
37
45
D.41
12.
45
已知随机事件A,B满足P()=子P(B到4)=子，则P(4B)=一
7.若点P是曲线y=
3x2-21nx上任意一点，则点P到直线y=x-3的距离的最小值为（
13.（25-26高三上·辽宁，期末)己知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为5：4：1，经
试题第1页（共4页）
试题第2页（共4页）2025-2026学年高二数学下学期七校联考參考答案 【分析】分三类计数相加即可得解.
第一部分（选择题 共 5参考答案 【详解】分三类：
第一类，从 3幅不同的油画中任选一幅，有 种；
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
第二类，从 4幅不同的国画中任选一幅，有 种；
求的。
第三类，从 5幅不同的水彩画任选一幅，有 种，
1 2 3 4 5 6 7 8
根据分类加法计数原理得共有 种不同的选法.
C B C D A D A B 故选：B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部 3． 的展开式中含 项的系数为（ ）
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
A．20 B．24 C．28 D．32
9 10 11 【答案】C
4．某研究所研究耕种深度 （单位： ）与一种农作物每公顷产量 （单位： ）的关系，所得数据资料
AC ABD ACD
如下表：
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分． 耕种深度 2 3 5 6
12． /0.25 13． 14．①③④ 每公顷产量 m 5 7 8
发现 与 之间具有线性相关关系，其经验回归方程为 ，则 （ ）
8分） A．10 B．8 C．6 D．4
【答案】D
代入经验回归方程计算即可得.
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 【分析】将
求的。
【详解】 ， ，
1．下列求导正确的是（ ）
A． B． 则 ，解得 .
C D 5.． ． 设随机变量 服从正态分布 ，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
2、 【答案】A现有 3幅不同的油画，4幅不同的国画，5幅不同的水彩画，从这些画中选一幅布置房间，则不同的选
法共有（ ） 【解析】
A. 10种 B. 12种 C. 20种 D. 60种 【分析】根据正态曲线的对称性计算可得.
【答案】B 【详解】因为 且 ，
【解析】
所以 ，
试题 第 5页（共 6页） 试题 第 6页（共 6页）
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
… 学校：______________姓名： _____________班级： _______________考号：______________________
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
所以 ，
所以 .
6．质数又称素数，一个大于 1的自然数，除了 1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数
学上把相差为 2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和 5，5和 ，那么，如果我们在不超过 30的自然数
中，随机选取两个不同的数，记事件 ：这两个数都是素数：事件 ：这两个数不是孪生素数，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D 由 ，则 ，
【分析】根据条件概率的计算方法求得正确答案.
令 ，
【详解】不超过 的自然数有 个，其中素数有 共 个，
孪生素数有 和 ， 和 ， 和 ， 和 ，共 组. 解得 或 （舍去），
所以 ， ， 故点 P的坐标为 ，
所以 . 故点 P到直线 的最小值为： .
故选：D 故选：A.
8．已知函数 ，则（ ）
7. 若点 P是曲线 上任意一点，则点 P到直线 的距离的最小值为（ ） A． 在 处的切线方程为 B． 的极小值为 0
C． 在 单调递增 D． 有三个实根
A. B. C. D.
【答案】B
【答案】A
【分析】求函数 的导函数，结合导数的几何意义求 在 处的切线方程，判断 A，结合极值的
【解析】
定义判断 B，结合导数与单调性的关系判断 C，结合函数图象判断 D.
【分析】求出平行于直线 且与曲线 相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式，
【详解】因为 ，所以 ，
即可求解.
所以 ，又 ，
【详解】设平行于直线 且与曲线 相切的切线对应切点为 ，
所以函数 在 处的切线方程为 ，A错误，
令 ，可得 或 ，
试题 第 3页（共 6页） 试题 第 4页（共 6页）
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
此 卷 只 装 订 不 密 封
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
所以当 时， ，函数 单调递减， 【分析】利用相关系数的取值范围判断 AB；利用相关系数的意义判断 CD.
当 时， ，函数 单调递增， 【详解】对于 AB，样本相关系数 r的取值范围是 ，A正确，B错误；
当 时， ，函数 单调递减，
对于 CD， 越大，越接近于 1，两变量的线性相关程度越强，
所以 时，函数 取极小值，极小值为 ，B正确， 越小，越接近于 0，两变量的线性相关程度越弱，C正确，D错误.
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，C错误， 故选：AC
10. 学校从 7名候选人中选 3名同学组成学生会，已知有 3名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机
当 时， ， ，
会被选到，用 表示 3名学生会成员中来自甲班的人数，下列命题中正确的是（ ）
， 时， ，
A. 服从超几何分布 B.
函数 的图象大致如下：
C. 的期望 D. 的方差
作函数 图象如下：
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据题意可知 服从超几何分布， 可取 ，再分别求出对应概率，计算期望及方差进行判
断即可．
【详解】由题可知，总候选人 ，甲班候选人 ，抽取 名， 为甲班人数，
观察图象可得函数 与函数 的图象有且仅有一个交点， 所以 服从超几何分布，且 可取 ，故 A正确，
所以方程 有一个实根，D错误，
， ， ， ，故 B
故选：B.
正确；
则 的分布列为：
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分． 0 1 2 3
9. 下列有关样本相关系数 r，叙述正确的是（ ）
A. r的取值范围是
，
B. r的取值范围是
C. ，越接近 1，表示两变量的线性相关程度越强
D. 越接近 0，表示两变量的线性相关程度越强 故 C错误，D正确．
【答案】AC 11. 已知 是函数 的导函数， 的图象如图，则下列关于函数 的说法正确的是（ ）
【解析】
试题 第 5页（共 6页） 试题 第 6页（共 6页）
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… 学校：______________姓名： _____________班级： _______________考号：______________________
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【知识点】利用全概率公式求概率
【分析】设出各个事件，根据条件，结合全概率公式，即可求得答案.
【详解】设事件 为“选取苹果”，B为“选取香蕉”，C为 “选取猕猴桃”，D为“选取的一个水果新鲜”，
则 ，
根据全概率公式可知
A. 在 上单调递减
.
B. 在 处取得极小值
故答案为：
C.
13．某商家统计了某商品最近 5个月销量，如表所示，若 与 线性相关，且经验回归方程为 ，
D. 在 处取得极小值
时间 1 2 3 4 5
【答案】ACD
销量 万只 5 4.5 4 3.5 2.5
【解析】
给出下列说法：
【分析】结合导函数图象，根据导数正负得函数的单调性，从而得出极值．由此判断各选项．
①由题中数据可知，变量 与 负相关
【详解】由已知， 时， （只有 ），因此 在 上单调递减，AC正确；
②当 时，残差为
，且 两侧的导数都是负数，所以 不是极值，B错误； ③可以预测当 时销量约为 万只
由 ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增， ④经验回归方程 中
其中正确的是__________（填序号）.
所以 是极小值，D正确．
【答案】①③④
故选：ACD
【分析】根据表格中销量与时间的变化规律可判断①；利用表格分别求出销量与时间的平均数，得样本中心
第二部分（非选择题 共 92分） 点，代入回归方程求出 判断④；进而推得线性回归方程，再利用残差定义，计算判断②；利用线性回归方
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。 程赋值计算即可判断③.
12．已知随机事件 ， 满足 ， ，则 ______．
【详解】由经验回归方程 ，可知回归直线的斜率 ，即变量 与 负相关，同时结合表格，
12． /0.25 可知销量 随着 的增大而减小，故①正确；
又由表格可得 ， ，
【详解】因为 ， ，所以 ．
13．（25-26高三上·辽宁·期末）已知某水果超市苹果、香蕉、猕猴桃三种水果的购进数量之比为 ，经检 因样本中心点 在回归方程 上，则得 ，故④正确；
查发现购进的苹果、香蕉、猕猴桃的新鲜率分别为 ，则从该超市随机选取一个水果恰好是新 则回归方程为 ，当 时， ，此时残差为 ，故②错误；
鲜的概率为_____________. 当 时，代入回归方程可得 ，即可以预测当 时销量约为 万只，故③正确.
【答案】
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
试题 第 3页（共 6页） 试题 第 4页（共 6页）
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此 卷 只 装 订 不 密 封
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15. 已知函数 ， 是 的导函数． 16. 在①只有第 6项的二项式系数最大；②第 4项与第 8项的二项式系数相等；③所有二项式系数的和为
，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题．
（1）求 的值；
已知 （ ），若 的展开式中，______.
（2）求曲线 在 处的切线方程； （1）求 n的值；
（2）求 的系数；
（3）求 的最小值．
（3）求 的值．
【答案】（1） （2） （或等价形式 ） （3）
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
【解析】
【答案】（1） ；
【分析】（1）求 的导函数，代入 计算即可.
（2） ；
（2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程；
（3） .
（3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定 的单调性，进而求得最小值.
【解析】
【小问 1详解】
【分析】（1）选择条件①，②，③，利用二项式系数的性质求出 .
已知 ，则 ，
（2）由（1）的结论，结合二项式定理求出 .
进而 . （3）由（1）的结论，利用赋值法求出所求式子的值.
【小问 1详解】
【小问 2详解】
选择条件①，只有第 6项的二项式系数最大，则 的展开式共 11项，即 ，
令 ，则 .
所以 .
则在 处切线斜率 .
选择条件②，第 4项与第 8项的二项式系数相等，则 ，解得 ，
所以 .
根据（1）知，切点为 .
选择条件③，所有二项式系数的和为 ，则 ，解得 ，
由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程 . 所以 .
【小问 2详解】
【小问 3详解】
由（1）知， 的展开式中 项为： ，
由 ，因 ，故 ，即 在 上单调递增.
所以 .
又 ，则当 时， ， 单调递减;
【小问 3详解】
当 时， ， 单调递增.
由（1）知， 的展开式中，当 时， ，
故 在 处取最小值， ，即 最小值为 .
试题 第 5页（共 6页） 试题 第 6页（共 6页）
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… 学校：______________姓名： _____________班级： _______________考号：______________________
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当 时， ，
以及 ， ， ．
所以 .
可得样本相关系数 .
17．粮食是一个国家发展的基石，保障粮食安全是维护社会稳定的重要因素.小麦是我国两大口粮作物之一，
其自身的稳定供应保障了数亿人口的食物需求，并通过产业链延伸带动了相关产业发展，促进了我国北方地
（2）解：根据题意，可得随机变量 的取值为 ，
区的经济发展．将 2020～2024年记为年份代码 1～5，我国小麦产量如下表所示．
则 ， ， ，
年份代码 1 2 3 4 5
产量/千万吨 13.4 13.6 13.8 13.7 14.0 所以随机变量 的分布列为
X 1 2 3
现规定 表示年份代码 i， 表示年份代码为 i的产量，经计算得 ， ，
P
．
所以期望为 .
(1)求样本 的相关系数 r；（精确到 0.01） 17．（15分）中华茶文化源远流长，博大精深，不但包含丰富的物质文化，还包含深厚的精神文化.其中绿
茶在制茶过程中，在采摘后还需要经过杀青、揉捻、干燥这三道工序.现在某绿茶厂将采摘后的茶叶进行加工，
(2)现从这 5年中随机抽取 3年，记这 3年中小麦产量大于 13.6千万吨的年数为 X，求 X的分布列与数学期望．
其中杀青、揉捻、干燥这三道工序合格的概率分别为 ，每道工序的加工都相互独立，且茶叶加工中三
附：相关系数 ， ． 道工序至少有一道工序合格的概率为 .三道工序加工都合格的绿茶为特级绿茶，恰有两道工序加工合格的
绿茶为一级绿茶，恰有一道工序加工合格的绿茶为二级绿茶，其余的为不合格绿茶.
【答案】(1)0.92 (1)在绿茶的三道工序中恰有两道工序加工合格的前提下，求杀青加工合格的概率;
(2)随机变量 的分布列为 (2)每盒绿茶（净重 ）原材料及制作成本为 30元，其中特级绿茶、一级绿茶、二级绿茶的出厂价分别为
X 1 2 3 90元，60元，40元，而不合格绿茶则不进入市场.记经过三道工序制成的一盒绿茶的利润为 元，求随机变
量 的分布列及数学期望.
P 18、2024年 6月 5日《中国教育报》刊发了教育部的“呵护好孩子的眼睛，共创光明的未来”的
文章，其中特别强调“幼儿单次使用电子产品的时间不宜超过 15分钟，累计每天不超过 1小时”
等内容.为切实提升儿童青少年视力健康整体水平，某学校积极推进近视综合防控，落实“明眸”
1 工程，开展了近视原因的调查以备有效进行预防.在已近视的学生中随机调查了 100人，同时在【分析】（ ）根据统计表格中的数据，求得 ， ，结合参考数据和相关系数的公式，即可求解；
未近视的学生中随机调查了 100人，得到如下数据：
（2）根据题意，得到随机变量 的取值为 ，利用超几何分布的概率公式，求得相应的概率，列出分布
电子产品 近视 未近视
列，结合期望的公式，即可求解.
非长时间使用电子产品 40 70
【详解】（1）解：根据统计表格中的数据，可得 ， ， 长时间使用电子产品 60 30
(1)依据小概率值 的 独立性检验，能否认为患近视与长时间使用电子产品有关？
(2)用频率估计概率，从已经近视的学生中采用随机抽样的方式选出 1名学生，利用“物理+药
试题 第 3页（共 6页） 试题 第 4页（共 6页）
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物”治疗方案对该学生进行治疗.已知“物理+药物”治疗方案的治愈数据如下：在已近视的学
（2） ；
生中，对非长时间使用电子产品的学生的治愈率为 ，对长时间使用电子产品的学生的治愈率
为 ，求该近视学生被治愈的概率；
（3） ．
(3)若按样本数据利用分层随机抽样的方法从近视学生中抽取5人，再从这5人中抽取3人进行
近视矫正实验，记 表示这 3人中长时间使用电子产品的人数，求 的分布列与数学期望. 【解析】
（1）零假设为 ：学生患近视与长时间使用电子产品无关，
【分析】（1）利用导数的正负判断原函数的单调性，对函数进行求导，讨论正负即可，需注意定义域的范围；
，
（2）根据第一问的讨论结果，判断函数有两个零点则函数不单调，再利用最值列出不等式计算即可；
依据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为学生患近视与长时间使用电子产品有关
联，此推断犯错误的概率不大于 0.001. （3）对不等式进行变形，通过构造新函数，利用新函数的单调性求解不等式．
（2）设事件 表示使用“物理十药物”治疗方案并且治愈，事件 表示非长时间使用电子产品的近视学生，
【小问 1详解】
事件 表示长时间使用电子产品的近视学生，
由题意可得 ，且 ， 定义域为 ；
则 ， ，
所以该近视学生被治愈的概率为 . 当 时， ，故 在 上单调递增；
（3）由样本数据可知近视学生中长时间使用电子产品与非长时间使用电子产品的人数比例为
， 当 时，令 ，解得 ；
所以抽取的 5人中有 3人是长时间使用电子产品，有 2人是非长时间使用电子产品，
所以 的可能取值为 ， 当 时， ，故 在 上单调递增；
且 ， ； ，
当 时， ，解得 ，故 在 上单调递增，
所以 的分布列为：
1 2 3
，解得 ，故 在 上单调递减；
所以数学期望为 . 综上：当 时， 单调递增区间为 ；
19. 已知函数 ．
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ．
（1）讨论函数 的单调性；
【小问 2详解】
（2）若函数 在 上有且仅有 2个零点，求 的取值范围；
若函数 在 上有且仅有 2个零点，
（3）若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围．
则 在 上有两个根，即 ；
【答案】（1）当 时， 单调递增区间为 ；
令 ， ；
当 时， 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ； 令 ，解得 ；
试题 第 5页（共 6页） 试题 第 6页（共 6页）
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
… 学校：______________姓名： _____________班级： _______________考号：______________________
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减；
则 ， ， ；
因为 在 上有两个根，故 与 有两个交点；
故 的取值范围为 ；
【小问 3详解】
由 可得， ，即 ，
令 ， 在 上恒成立；
因为 ，故 在 上单调递增，
故 ，即 ， 在 上恒成立，
由（2）可知， ，故 的取值范围为 ．
试题 第 3页（共 6页） 试题 第 4页（共 6页）
………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………
此 卷 只 装 订 不 密 封
………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○………………

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