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参考答案
一、选择题（共8小题）
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】A
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】D
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】B
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、填空题（共5小题）
【9题答案】
【答案】1
【10题答案】
【答案】
【11题答案】
【答案】
【12题答案】
【答案】4
【13题答案】
【答案】
三、解答题（共7小题）
【14题答案】
【答案】3
【15题答案】
【答案】，时，值为 ，时，值为
【16题答案】
【答案】
（1）50，83.5 ，
（2）补全频数分布直方图如下：
（3）估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数为720人
（4）
【17题答案】
【答案】（1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）每年大约吸收的二氧化碳千克，每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳千克；
（2） ； 采购杨树棵、冷杉棵一年内吸收的二氧化碳总量最大．
【18题答案】
【答案】（1）如下图所示
∵ 的外接圆 的圆心为任意两边的垂直平分线的交点，半径为交点到任意顶点的距离，
∴做AB、AC的垂直平分线交于点O，以OB为半径，以O为圆心做圆即可得到 的外接圆；
（2）①如下图所示，连接OC、OB
∵BD是 的切线
∴
∵是对应的圆周角，是对应的圆心角
∴
∵点 是的中点
∴
∴
∴
∴
② 5
【19题答案】
【答案】（1）
（2） 米
（3）①米；②
【20题答案】
【答案】（1）矩形；
（2）①证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD＝CD，∠A＝∠C．
又∵AF＝CG，
∴△ADF≌△CDG（SAS），
∴DF＝DG．
∵四边形DEFG是垂等四边形，
∴EG＝DF，
∴EG＝DG．
②；
（3）四边形ACBD的面积为或红岭教育集团石厦中学2025-2026学年度
九年级下学期第一次阶段练习数学试卷
（说明：本试卷考试时间为90分钟，满分为100分）
一、选择题（共8小题）
1. 如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是（）mm，则下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（ ）
A. B. C. D.
2. 下列几何体中，从正上方观察得到的平面图形是三角形的是（ ）
A. B. C. D.
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
4. 如图，已知直线l1//l2，将一块直角三角板ABC按如图所示方式放置，若∠1＝39°，则∠2等于（　　）
A. 39° B. 45° C. 50° D. 51°
5. 古代一歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三只栖一树，五个没去处；五只栖一树，闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？若设乌鸦x只，树y棵，由题意则可得方程组（ ）
A. B.
C. D.
6. 二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
7. 某数学兴趣小组用无人机测量潮汐塔 的高度，测量方案如图所示：无人机在距水平地面的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为，再将无人机沿水平方向飞行到达点N，测得潮汐塔底端B的俯角为（点M，N，A，B在同一平面内），则潮汐塔 的高度为（ ）（结果精确到．参考数据：）
A. B. C. D.
8. 定义符号的含义为：当时；当时． 如：，． 则的最大值是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
二、填空题（共5小题）
9. 已知关于x的方程的解是，则 的值为____________．
10. 如图，四边形是以坐标原点 为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为，则的长为______．
11. 如图，在 中，以 为直径的半圆分别与 ， 交于点 ， ．若 ， ，则的长为______．
12. 如图，在平面直角坐标系中，点均在函数的图象上，轴于点 ，交线段 于点 ．若点 为线段 的中点， 的面积为，则 的值为_________．
13. 如图，在 中，，点 为 内一点，将线段绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 ， ，点 为 的中点，连接 ， ，若，则___________．
三、解答题（共7小题）
14. 计算：．
15. 先化简，再从 ， ， 中选一个合适的数代入求值．
16. DeepSeek横空出世，开启了中国人工智能崭新的春天．为激发青少年崇尚科学，探索未知的热情，某校开展了“逐梦科技强国”为主题的活动．下面是该校某调查小组对活动中模具设计水平的调查报告，请完成报告中相应问题．
数据收集与表示 随机抽取全校部分学生的模具设计成绩（成绩为百分制，用x表示），将其分成如下四组： A： ，B： ，C： ，D： ． 下面给出了部分信息： 其中C组的成绩为：80，81，82，82，83，84，84，84，85，85，86，86，86，87，87，88，88，89，89，89．
数据分析与应用 根据以上信息解决下列问题： （1）本次共抽取了______名学生的模具设计成绩，成绩的中位数是______分，在扇形统计图中，C组对应圆心角的度数为______； （2）请补全频数分布直方图； （3）请估计全校1200名学生的模具设计成绩不低于80分的人数； （4）学校决定从模具设计优秀的甲、乙、丙、丁四位同学中随机选择两名同学作经验交流，请用画树状图或列表的方法求出所选的两位同学恰为甲和丙的概率．
17. 为了中和二氧化碳排放量，我们可以采取植树造林等绿化措施．根据相关统计结果，1棵成年的阔叶树种（例如杨树）和1棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳，而5棵成年的阔叶树种（例如杨树）和6棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收千克二氧化碳．
（1）每棵成年的阔叶树种（例如杨树）和每棵成年的针叶树种（例如冷杉）每年大约吸收的二氧化碳分别是多少千克？
（2）某环保企业计划购买成年杨树和冷杉共100棵，设购买杨树 棵，这100棵树木一年内吸收的二氧化碳总量为千克．
①求与 的函数关系式；
②杨树会产生较多的飘絮，因此规定采购杨树的棵数不超过冷杉的一半，请设计一个采购方案，使得这100棵树木在一年内吸收的二氧化碳总量最大．
18. （1）请在图中作出 的外接圆 （尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）如图， 是 的外接圆， 是 的直径，点 是的中点，过点 的切线与 的延长线交于点 ．
①求证：；
②若 ，，求 的半径．
19. 综合与实践问题情境：无人机凭借其灵活，不受场地限制的特点，已在多个领域实现广泛应用．当无人机在空中向平坦地面投放物资时，理想状态下(忽略空气阻力)，物资的运动路径可近似用抛物线描述，其竖直高度 与距投放点的水平距离 之间的函数表达式为．其中， 表示投放物资时无人机与水平地面的竖直距离(单位：米)， 表示投放物资时无人机的水平初速度(单位：米/秒)，取 为 米/秒．
实践探究：如图， 号无人机在空中以米/秒的速度向平坦地面投放物资 ， 号无人机在 号无人机竖直上方米处以米/秒的速度，投放物资 ，已知 号， 号无人机及物资 ， 的落点在同一竖直平面内，以投放点所在竖直线为 轴，水平地面为 轴建立平面直角坐标系，物资 的运动路径即为抛物线，物资的运动路径即为抛物线．
问题解决：
（1）请结合图中相关数据，求抛物线的函数表达式；
（2）请求出两物资落点间的水平距离；
（3）多机同时投放物资时，可能存在物资相撞的问题．
①若 ， 号无人机同时投放物资A，B，请直接写出两物资相撞时与水平地面的竖直距离；
②由于实际投放需求， ， 号无人机需同时投放物资 ， ，且物资落点不变，为避免 ， 两物资相撞，在保持 ， 号无人机仍在同一竖直线上投放的前提下，仅通过改变 号无人机的投放高度及水平初速度解决该问题，已知无人机投放物资的最低飞行高度要求为50米，求 号无人机投放物资 的水平初速度的取值范围（两无人机不能在同一点同时投放）．
20. 定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形．
（1）写出一个已学的特殊平行四边形中是垂等四边形的是　 　；
（2）如图1，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AD，AB，BC上，四边形DEFG是垂等四边形，且∠EFG＝90°，AF＝CG．
①求证：EG＝DG；
②若BC＝n BG，求n的值；
（3）如图2，在Rt△ABC中，＝2，AB＝，以AB为对角线，作垂等四边形ACBD．过点D作CB的延长线的垂线，垂足为E，且△ACB与△DBE相似，求四边形ACBD的面积．
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