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2025－2026年度龙川第一实验学校月练三
九年级数学
注意事项：
1.本试卷共6页，23小题，满分120分，考试时间120分钟．
2.答卷前，考生务必将密封线内的项目填写清楚．
一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分）
1. 广东省卫生健康委等16部门出台《“体重管理年”活动实施方案》，预计在2026年底，实现二级及以上综合医疗机构提供体重管理及肥胖症诊疗服务的覆盖率不低于．为响应“体重管理年”的有关倡议，小敏对自己的体重进行了跟踪统计．为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作（ ）
A. B. 0.5 C. D.
2. 计算的结果为（ ）
A. 11 B. C. 1 D.
3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将上、下两个面为矩形且互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑厚度）（ ）
A. B. C. D.
4. 2026年春节假期九天，广东全省共接待游客8658.9万人次，较2025年春节假期八天增长，实现旅游创收848.9亿元，位居全国首位．数据848.9亿用科学记数法可以表示为（ ）．
A. B. C. D.
5. 如图，将一张剪开的矩形纸片沿着所在直线错位拼接，点在一条直线上，若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
6. 某市为尽快了解义务教育阶段劳动课程开设及实施的情况，现面向全市义务教育阶段的学校进行抽样调查，下列抽样方式较合适的是（ ）
A. 随机抽取城区三分之一的学校 B. 随机抽取乡村三分之一的学校
C. 调查全体学校 D. 随机抽取三分之一的学校
7. 氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A. B. C. D.
8. 中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为步，根据题意可列方程为（　　）
A. B.
C. D. 2
9. 如图，在正六边形中，，连接，，以点为圆心，的长为半径作，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在矩形中，点分别在边上，，分别交对角线、线段于点 ，且是的中点．若，则的长为（ ）
A. B. C. D. 3
二、填空题．（每题3分，共15分）
11. 分解因式：x2+2x+1=_______
12. 计算____________．
13. 若关于x的方程有两个相等的实数根，则实数m的值为______．
14. 在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到，若点的坐标为，且与的相似比为，则点的对应点的坐标为___________．
15. 如图，二次函数的部分图象与轴的一个交点位于和之间，顶点的坐标为．下列结论：
①；②对于任意实数，都有；③；④若该二次函数的图象与轴的另一个交点为，则点的横坐标位于3和4之间．其中所有正确结论的序号是___________．
三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分）
16. 解不等式组．
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①，得……………………第1步
……………………第2步
……………………第3步
……………………第4步
（1）该同学的解答过程第___________步出现了错误，错误原因是____________，不等式①的正确解集是___________；
（2）解不等式②，并写出该不等式组的解集．
17. 如图，菱形的对角线与相交于点，为边的中点，连接，若，求的长．
18. 年月日，商业首航完成中国民航商业运营国产大飞机正式起步时分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”寓意“接风洗尘”，是国际民航中高级别的礼仪如图，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的抛物线的一部分如图，当两辆消防车喷水口A，的水平距离为米时，两条水柱在抛物线的顶点处相遇此时相遇点距地面米，喷水口A，距地面均为米若两辆消防车同时后退米，两条水柱的形状及喷水口，到地面的距离均保持不变，求此时两条水柱相遇点距地面多少米．
四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分）
19. 如图，直线与相切于点C，射线与交于点D，E，连接，．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
20. 为加强对青少年学生的宪法法治教育，普及宪法法治知识，教育部决定举办第十届全国学生“学宪法 讲宪法”活动．某学校为了解学生对宪法法治知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取50名学生进行测试，并对测试得分（10分为满分，9分或9分以上为优秀）进行整理、描述、分析，部分信息如下．
得分统计图
得分统计表
统计量 年级
七年级 八年级
平均数 7.86 7.86
中位数 a 8
众数 7 b
优秀率 c
根据以上信息，回答下列问题．
（1）表格中的________，________，_________．
（2）你认为哪个年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好？请说明理由．
21. 【综合与实践】
烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在烟台山上，为过往船只提供导航服务．为了解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组开展了实践探究活动．
如图，一艘渔船自东向西以每小时海里的速度向码头航行，小组同学收集到以下信息：
位置信息 码头A在灯塔B北偏西方向
14：30时，渔船航行至灯塔北偏东方向的处
15：00时，渔船航行至灯塔东北方向的处
天气预警 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头附近海域将出现浓雾天气．请注意防范．
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）求渔船在航行过程中到灯塔的最短距离；
（2）若不改变航行速度，请通过计算说明渔船能否在浓雾到来前到达码头（参考数据：，，，，，）．
五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22. 问题背景：对于一个函数，如果存在自变量时，其对应的函数值，那么我们称该函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．例如：在函数中，当时，，则我们称函数为“不动点函数”，点为该函数图象上的一个不动点．某数学兴趣小组围绕该定义，对一次函数和二次函数进行了相关探究．
探究1
（1）对一次函数进行探究后，得出下列结论：
①是“不动点函数”，且只有一个不动点；
②是“不动点函数”，且不动点是；
③是“不动点函数”，且有无数个不动点．
以上结论中，你认为正确的是________（填写正确结论的序号）．
（2）若一次函数是“不动点函数”，请直接写出k，b应满足的条件；
探究2：
（3）对二次函数进行探究后，该小组设计了以下问题，请你解答．若抛物线的顶点为该函数图象上的一个不动点，求b，c满足的关系式．
探究3：
（4）某种商品每件的进价为6元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出件，获得利润y元．请写出y关于x的函数表达式，判断该函数是否是“不动点函数”，并说明理由；若该函数是“不动点函数”，请联系以上情境说明该函数不动点表达的实际意义．
23. 综合与实践
【问题情境】
小琳通过查阅资料发现纸张、常见报纸等矩形的长与宽之比为，在房屋建筑中也存在这样的比例现象，目的是使物体更加美观，通常这样的矩形被定义为“标准矩形”，于是小琳和小宇尝试通过用尺规作“标准矩形”来制作一个房屋设计图．
【数学思考】
（1）小琳发现“标准矩形”可由正方形得到，如图①，在正方形中，连接，以点为圆心，的长为半径作弧交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则___________；
【实践探究】
（2）小宇猜想在图①的基础上，作的垂直平分线分别交于点 ，得到的四边形也是“标准矩形”，请用无刻度直尺和圆规作出的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），并证明小宇的猜想是否正确；
【解决问题】
（3）两人利用（2）中所作的“标准矩形”设计了一个房屋模型，如图②是其正面示意图，连接，交于点，交于点，交于点，交于点，连接交于点，即为窗户的高，已知房檐到地面的距离米，请求出设计的窗户的高度．
参考答案
一、选择题．（本大题10小题，每小题3分，共30分）
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】D
【3题答案】
【答案】C
【4题答案】
【答案】B
【5题答案】
【答案】C
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】A
【9题答案】
【答案】B
【10题答案】
【答案】A
二、填空题．（每题3分，共15分）
【11题答案】
【答案】##
【12题答案】
【答案】0
【13题答案】
【答案】4
【14题答案】
【答案】或
【15题答案】
【答案】①③④
三、解答题（一）．（本大题3小题，每小题7分，共21分）
【16题答案】
【答案】（1）4；不等号的方向没有改变；
（2）不等式②的解集：；不等式组的解集：
【17题答案】
【答案】
【18题答案】
【答案】此时两条水柱相遇点距地面米
四、解答题（二）．（本大题3小题，每小题9分，共27分）
【19题答案】
【答案】（1）略 （2）1
【20题答案】
【答案】（1）7.5；8；
（2）
八年级的学生对宪法法治知识的掌握情况更好，因为八年级的学生成绩的中位数和众数都高于七年级．
【21题答案】
【答案】（1）渔船在航行过程中到灯塔的最短距离为海里
（2）不改变航行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头
五、解答题（三）．（本大题2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
【22题答案】
【答案】（1）③；（2）当且时，为任意实数；当时，；（3）；（4）该函数是“不动点函数”，不动点表达的实际意义为：在这段时间内，当销售单价为8元或9元时，销售总利润与销售单价相等．
【23题答案】
【答案】（1）
（2）解：作出的垂直平分线如解图．
证明：∵是的垂直平分线，
∴是的中点，是的中点，，
∴，
∵ ，
∴四边形是矩形，
由（1）得四边形是“标准矩形”，设，
∴ ，
∴，
∴，
∴四边形是“标准矩形”，
∴小宇的猜想正确； （3）米

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