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解答题 多模块综合考查
根据近几年的高考情况，解三角形、概率统计、立体几何、平面解析几何、导数等专题是高考中经常出现的解答题类型，在考试中经常出现相互交汇的情况，本专题通过对高考中经常出现的几种交汇类型进行总结。
题型一：导数与三角函数相交汇
1．（2025·河南·一模）（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若，，证明：；
（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【难度】0.4
【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数证明不等式
【分析】（1）构造，利用导数及分类讨论研究不等式恒成立求参数范围；
（2）构造，利用导数研究其单调性得，即可证；
（3）问题化为，，令，，应用必要性探路得，进而研究其充分性即可得范围.
【详解】（1）令函数，则，，
当时，，函数在上单调递增，则，即成立，
当时，在上单调递增，，
所以，当时，，在上单调递减，
所以对，，不成立.
综上，实数的取值范围为.
（2）令，由（1）知函数在上单调递增，
因为，，所以，因此，即，
即成立；
（3）对，都有成立，即对，，
令，即，
当时，，，则，
要使成立，则，即，
下面证明：当时，成立，由（2）得，
下面证明：，即证明，
令，则，
因此在上单调递增，，即成立，
综上所述，实数的取值范围是.
利用三角函数的性质，在利用导数解决问题时，构建相关的模型 利用导数恒成立思想或能成立思想进行求解
1．（2025·陕西榆林·一模）已知函数，．
(1)证明：在上单调递减；
(2)记的最小值为，最大值为，数列的前项积为．
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）证明：．
【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ），；（ⅱ）证明见解析
【难度】0.15
【知识点】利用导数证明不等式、求等比数列前n项和、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）求导，结合三角函数性质分析可知，即可得单调性；
（2）（i）利用诱导公式分析可知的对称轴和周期性，结合单调性可得和；（ⅱ）可得，构造函数，利用导数结合单调性可得，进而分析证明.
【详解】（1）因为，
当时，则，，可得，
且，则，即，
可得，所以函数在上单调递减.
（2）（ⅰ）若，则，即；
若，由（1）可知：在上单调递减，
且，可知是一个周期为的周期函数，
又因为，可知关于对称，
则在处取到最小值，在或处取到最大值，
可得，
综上所述：，．
（ⅱ）若，由（i）可知：，
且符合上式，所以，则，
可得，
要证明，即证，只需证，
构造，则，
当时，，可知函数在上递增，
则，即，可得，，所以，
而是一个首项为1，公比为的等比数列的前项和，
根据等比数列求和公式可得．
可得，且对数函数是单调递增函数，所以．
2．（2025·广东肇庆·一模）已知函数.
(1)当，时，求证：；
(2)当时，
（ⅰ）求在上的所有极大值点之和；
（ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系.
【答案】(1)证明见解析；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【难度】0.4
【知识点】利用导数证明不等式、求已知函数的极值点、利用导数研究双变量问题
【分析】（1）将所证不等式转化为证明，构造函数，利用导数法研究单调性即可证明.
（2）（ⅰ）求出导函数，利用导数求出单调区间，然后求出所有极大值点，即可得解；
（ⅱ）根据是周期为的奇函数，结合单调性求得是的极小值点，设，则，，要证，只需证，令，利用导数法证得，即可证明.
【详解】（1）当，时，，要证，即证：.
设，则，∴在上单调递减，
∵，∴，即，∴得证.
（2）（ⅰ）当时，，
.
当时，由得或，
解得，，，，或，
当，，，时，，
∴在，，，上单调递增；
当，，时，，
∴在，，上单调递减.
∴当时，的极大值点为，，，所以极大值点的和为.
（ⅱ），证明如下：
∵的定义域为，且，∴为奇函数，由（ⅰ）知是周期为的周期函数，
∴易知在上单调递减，在上单调递增，∴是的极小值点.
设，∴，，∴，
要证，只需证，即证，
∴，∴只需证.
令，其中，
∴
，
∵，∴，，∴，，∴，
∴在上单调递增，
∵，∴，∴，
∴，所以得证.
题型二：导数与概率统计相交汇
1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.
②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.
(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；
(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.
(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.
（参考数据：）
【答案】(1)；(2)分布列见解析；(3)
【难度】0.4
【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）利用排列数及古典概型计算公式求解即可；
（2）每组化验的次数可能是1或6，记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，求出，根据二项分布的计算公式求出概率，列出分布列即可；
（3）由期望公式求出，代入，可得，两边取对数可得，构造函数，利用导数分析单调性即可求解.
【详解】（1）记事件“恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来”，则，
故恰好化验两次就把全部阳性样本检查出来的概率为.
（2）每组化验的次数可能是1或6，
记事件“每组化验次数为1”，则事件“每组化验次数为6”，
则，
可知，
；，，
所以的分布列为：
7 12
（3），
，所以，
令，则，即，
当时，，两边取以为底的对数，得到，
设函数，则，
当时；当时，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
又因为，所以的最大值为.
利用统计概率的相关性质列出式子 利用导数的性质求出单调性，从而求出最值
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量.
(1)若，求和；
(2)若，且，求的最小值；
(3)若，求证：且.
【答案】(1)，；(2)2；(3)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、有放回与无放回问题的概率
【分析】（1）根据组合数和独立事件乘法公式即可得到答案；
（2）先计算，根据期望公式得
，结合，的单调性，计算的到的最小值；
（3）由题先计算，根据期望公式得，利用导数确定单调性证明得到结论.
【详解】（1）；
（2），
∴，
令，得，
又在上单调递减，
且，，，
且对所有，都有，故的最小值为2.
（3），
∴，
设，
当时，；当时，，
∴，设，
，∴，∴，
当时，，
，等号成立；∴.
【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键点时得到，结合导数确定函数的单调性，从而得结论.
题型三：导数与数列相交汇
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，；
（2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知.
（i）证明：；
（ii）求，其中表示不超过的最大整数.
【答案】（1）证明见解析；（2）（i）证明见解析 （ii）
【难度】0.15
【知识点】利用导数证明不等式、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数列不等式恒成立问题、由递推数列研究数列的有关性质
【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，从而得到当时，的最大值为0，即可证得当时，；
（2）根据导数的几何意义，分析相应切线的斜率，构造新函数，分析新函数的单调性及最值，从而获得，证得.构造新函数，得数列的性质，进而得到关于其前n项和的不等式，进而得到求即可.
【详解】（1）因为，所以.
令，则.
当时，.
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递减.
因为，所以，即. 所以在上单调递减，所以当时， .
由此当时，. 所以在上单调递减，.
故当时，.
（2）（i）令，则.所以在上单调递减.
因为，所以当时，.
令，则，所以在上单调递增.
因为，所以当时，. 所以.
所以，，即，.
若，则；
若，则；
若，则.
若，则；
若，则；
若，则.
由，知；由，知.
所以在点处的切线斜率为.由题可知，所以.
在点处的切线斜率为，因为，所以.
所以.
所以，. 所以，即.
（ii）由（i）知，化简得.
令，则.
当时，，所以在上单调递减；
当时，，所以在上单调递增.
所以当时，取得最大值，最大值为.
所以当时，，即.
所以，即.
因为，所以.
令，则.
所以当时，单调递减，且，即.
所以，所以，
因为，所以.
所以.
因为，所以，所以.
因为，所以，.
所以累乘得，当时，，即.
因为，且时，.
所以.
所以.
根据数列的性质得到相关通项 根据导数的性质对其进行分析，得到相关性质进行求解
1．若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”．
(1)若，，证明：为有界数列；
(2)设，对，均有，求实数的取值；
(3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值．
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).
【难度】0.4
【知识点】数列新定义、利用导数证明不等式、函数不等式恒成立问题
【分析】（1）通过证明时，可完成证明；
（2）注意到，然后分，，
，四种情况，结合正负性讨论可得答案.
（3）由题，为得到最大值，应让中出现尽量多的或，据此可得答案.
【详解】（1）因，则，对于函数，
，则在上单调递增，，从而.
则，即为有界数列；
（2）. 因，又，均有，
则，，
因函数在上单调递减，则， 又满足题意，则；
，.
当时，为任意实数满足题意；
当时，，因函数在上单调递减，
则，又满足题意，则此时；
当时，，因函数在上单调递减，
则，则此时.
综上可得：
（3）由题可得，因，为使最大，
应让中出现尽量多的或.
则容易想到可让中有个，个，和个，
此时中包含个，1个，.
2．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
(1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和；
(2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有；
(3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)不存在，理由见解析.
【难度】0.4
【知识点】由定义判定等比数列、求等差数列前n项和、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）写出，再利用等差数列求和公式即可得到答案.
（2）确定，构造，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明.
（3）确定，，根据得到，确定，再假设存在得到，整理得到，无解，得到答案.
【详解】（1），，.
（2），，故，
构造函数，，则，
函数在上单调递增，，
故在恒成立，单调递增，
故，即，，
当时，，
综上所述：恒成立，即.
（3），则，，
设，即，则，
设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应，
即数列中每一项，都有中的项与之相等，单调递增，故，
假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，，
故，整理得到，无正整数解.
故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列.
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质．
(1)当，且数列具有性质时，
①写出一个满足，项数为6的数列；
②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等．
(2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由．
（参考数据：）
【答案】(1)①；②证明见解析 (2)存在项数为的数列具有性质，理由见解析
【难度】0.65
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、数列新定义、求等差数列前n项和、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）①只需满足即可；②由题意得或，分析得当时，，故存在，使得，结合抽屉原理即可得证.
（2）只需证明存在项数为的递减数列或项数为的递增数列即可.
【详解】（1）①解：．（答案不唯一，只需满足.可）
②证明：因为，即，所以或，
显然当时，．
又当时，，当时，，
则当时，．
因为数列从第二项起每一项都有两种可能，所以共有种不同的数列．
因为，
所以至多有种不同的取值．
令，则．
令，则，所以在上单调递增．
因为，所以，即，所以在上单调递增．
因为，所以当时，恒成立，
即当时，，故存在，使得，
由抽屉原理可知，此时至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等．
（2）从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，
存在项数为的数列具有性质．
记“满足，且数列是递增数列的最长数列的项数”，
假设，即，都有，其中，
则，使得至少有个取，
即，其中．
若，当时，，
则将与以为首项的递增数列合成一个以为首项，项数为的新的数列；
若，当时，都有，
则，即存在一个项数为的数列是递减数列．
综上，从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列中，总是存在项数为的递减数列或项数为的递增数列．
因为递增数列或递减数列都满足性质，所以存在项数为的数列具有性质．
题型四：导数与二项式相交汇
1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求；
(2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.
（i）求，；
（ii）若，，.证明：.
【答案】(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析
【难度】0.15
【知识点】利用导数证明不等式、二项展开式各项的系数和、判断或证明函数的对称性
【分析】（1）根据二项式定理求出，，和，求出，得出，令得出答案；
（2）（i）分奇偶两种情况讨论：当时，关于对称，得到，求导得到，令得；当时，关于点对称，得到，多次求导得到，令得
，，代入求出，同理得到；
（ii）由（i）和得到，，利用放缩得到，再利用裂项相消法证明即可.
【详解】（1），
，，，，，则，，，，，
，.
又，
，，
（2）（i）当时，关于对称，则①，
对①式两边分别求导得②，
对②式两边分别求导得③，
……
，
令，代入上式得，即.
当时，关于点对称，则①，
对①式两边求导得②，
对②式两边求导得③，
……
，
令，代入上式得，即.
又，，
同理可得.
（ii）由（i）知，，.
又，，，.
所以.
所以.
1..求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． 2.求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 3.根据导数的性质对二项式进行分析
题型五：数列与平面几何相交汇
1．（2025·湖南永州·模拟预测）抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）.
【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)
【难度】0.4
【知识点】求等比数列前n项和、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、根据抛物线上的点求标准方程、直线与抛物线交点相关问题
【分析】（1）利用抛物线定义，结合已知点纵坐标，建立关于的方程，求解即可得；
（2）设过焦点的直线方程，代入抛物线方程，得到关于的一元二次方程，再利用韦达定理计算即可得；
（3）先借助导数的几何意义计算出点、为切点的两条切线方程，从而求出，再借助两点间距离公式与等比数列求和公式计算即可得.
【详解】（1）设该点坐标为，则，且，则
则，化简得，
解得或，又，则，即；
（2），设直线的方程为，
联立，则有，恒成立，则，即得证；
（3）由在第一象限，则在第四象限，则点在函数上，，
则抛物线上以为切点的切线为，
又，则，点在函数上，，
则抛物线上以为切点的切线为，又，则，
令，解得，即，
由、，则，，即，
则，
故
.
利用平面解析几何的性质列出相关式子： 联立 韦达定理找到相交点的关系 列出相关式子 2.利用数列的相关性质进行求解
1．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．
(1)求C的方程；
(2)设数列的前n项和为，证明：；
(3)求的面积．
【答案】(1)或；；(2)证明见解析；；(3).
【难度】0.4
【知识点】数量积的坐标表示、数列不等式恒成立问题、直线与抛物线交点相关问题、求抛物线的轨迹方程
【分析】（1）讨论在轴左侧或右侧，分别求出对应轨迹方程即可；
（2）由题设得，，结合斜率求得，根据等差数列的定义写出通项公式得，应用裂项相消法求，即可证；
（3）由（2）得，再由，结合向量模长、数量积的坐标表示化简求值即可.
【详解】（1）当在轴左侧时，在轴的非正半轴上，的方程为；
当在轴右侧时，的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，方程为，
综上，C的方程为或；
（2）因为在上，所以，可得，
依题意，则，
所以，故数列是首项为2，公差为4的等差数列，
所以，则，
，
所以，
显然关于单调递减，则；
（3）由（2）得，
所以，而，
所以
.
2．（2024·云南·模拟预测）如图，已知点列与满足，且，其中，．

(1)求；
(2)求与的关系式；
(3)证明：．
【答案】(1)；(2)
(3)证明见解析
【难度】0.4
【知识点】利用向量垂直求参数、数列不等式恒成立问题、递推数列的实际应用、坐标计算向量的模
【分析】（1）由垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案.
（2）根据垂直向量的坐标表示和模长公式列出方程组，解方程即可得出答案.
（3）要证等价于证明，先证明，再由累加法即可证明.
【详解】（1）因为，，
，，
所以，
得，所以.
（2）由，，
①，
又，则②，
将①代入②得:
；即.
（3）要证等价于证明，
当时，
，
因为，
所以
，
，．
【点睛】关键点点睛：本题（3）的关键点在于将题意转化为证明，先由放缩法证明，再由累加法即可证明.
题型六：统计概率与数列相交汇
1．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立.
(1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率；
(2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值.
①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式.
②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，）
③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同.
【答案】(1)；(2)
【难度】0.15
【知识点】独立重复试验的概率问题、求等比数列前n项和、求离散型随机变量的均值、求某点处的导数值
【分析】（1）对于求比赛中得10分的概率，列举出情况，计算求解再求和即可.
（2）求投篮次数的均值，有三种方法: 马尔科夫链方法:根据当前连续命中球数的不同状态，建立关于达到连续命中3球所需平均投篮次数的递推关系，联立方程求解，概率母函数方法:根据投篮的不同情况确定概率，构建率母函数，通过求函数在特定点的导数值得到投篮次数的均值，鞅的停时定理方法:利用游戏“公平性”，根据不同资本状态下投篮的结果建立关于投篮次数期望的方程，联立求解.
【详解】（1）根据题中的连续投中得分公式，得.
总得分为10，只能从连续投中4次、3次、2次、1次中选择组合.将总得分10的可能情况分类求解如下；
①连续投中4次得分，其余6次均不中，并且这样的选择有7种．其发生的概率为.
②连续投中1个3次得分分.
要总得分为10分，在10次投篮中出现一个连续投中3次、一个连续投中2次，一个投中1次，
它的得分为6分+3分+1分分.用捆绑法和插空法：，
可得这样的不同投法有种，该情况下发生的概率为．
③连续投中一个2次得分分，要总得分为10分，可以3个连续2次投中，1个1次投中，总得分为分+1分分，
用捆绑法和插空法：，选择投中1次的位置有种.
该情况下发生的概率为，
另外，如果由2个连续投中2次，4个投中1次，可得总分分+4分分，
但是2个连续2次中间至少要有一次不中，这需要至少5次，4个1次要间隔，
中间至少有3次失败，一共至少需要次，所以该情况不满足题意，其它亦如此.
根据概率加法公式，总得分为10分的概率为，
所以总概率为．
（2）①马尔科夫链法：已知，
化简可得，
同理，当已经连续命中1球时候，若下一次命中，
只需要再投个球回家，若未命中，则需要投个球回家，则.
当已经连续命中2球时候，若下一次命中就能回家（投篮次数为0），
若未命中，则需要再投个球回家，则.
联立求解可得，即小宇投篮次数的均值是14.
②概率母函数法：小宇投篮的情况可以分为四种：（i）未命中；（ii）命中，未命中：
（iii）命中，命中，未命中;（iv）命中，命中，命中. 这四种情况概率分别为.
则小宇投篮次数的均值恰为函数在处的导数值.
先对当,时，,
则，
故，，即小宇投篮次数的均值是14.
③鞅的停时定理：
设小宇的投篮次数为，因为游戏是“公平的”，小宇开始时资本为0，
设为第次后的投篮的资本，根据停时定理，
每次投篮的命中概率，未命中的概率为.
当资本为0时，，
（表示资本为0开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望，
表示资本为2开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望），化简得.
当资本为2时，（表示资本为4开始到连续命中3球所需要的投篮次数期望）.
当资本为4时，.
联立求解,即小宇投篮次数的均值是14.
根据统计概率的相关性质得到数列的通项公式进行 熟练掌握马尔科夫链 全概率公式是新高考考查内容，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者 （）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 3.利用相关性质进行求解
1．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品．
(1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望；
(2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值．
①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值．
②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值．
【答案】(1)；(2)① ；②
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、二项分布的均值、求离散型随机变量的均值
【分析】（1）根据二项分布的期望公式即可得到答案；
（2）①记合格品的数量为X，则，设，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案；
②．两边同时取自然对数并整理得：令，求导，根据导数研究单调性和最值，即可得到答案.
【详解】（1）估计合格率，则，；
（2）①从这批产品中抽取100件产品，记合格品的数量为X，则，
所以，设，
，
因为，当时，在上位单调递增函数；
当时，在上位单调递减函数，
所以当时，有最大值，即p的极大似然估计值为．
②，则，，2，3，…，m
设：．
两边同时取自然对数并整理得：
，
令，
，
，时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，．
所以时，最大，此时取得最大值．
因此，p的极大似然估计值为．
2．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为．
(1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病．
（i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望；
（ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望；
(2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值.
【答案】(1)（i）；（ii）；(2)20
【难度】0.4
【知识点】求离散型随机变量的均值、用导数判断或证明已知函数的单调性
【分析】（1）（i）求出可以取的值及对应的概率，代入期望公式求解即可；（ii）求出可以取的值，结合组合数求出对应的概率，代入期望公式求解即可；
（2）先确定的可能取值并求出对应的概率，求出期望，由及组合数的性质得，两边取自然对数得，设，利用导数研究函数的单调性，根据零点存在性的判定方法求解的最大值.
【详解】（1）（i）根据题意知可以取的值有1，2，3，4，
∴，，，，
∴；
（ii）根据题意知可以取的值有2，3，
∵当时可以分两类，
第一类：混检的3人中有一人患病，并且在第2次就检测出患病人员；
第二类：混检3人均没有患病，并且在第2次就检测出患病人员或未患病人员：
∴，，
∴；
（2）由题知将20000份血样随机地按份一组平均分成组，
则的可能取值为，，， ，，
其中每一组检测结果为阴性的概率为，检测结果为阳性的概率为，
∵，
∴，
又∵，
∴
，
∴，
可得，两边取自然对数，化简得，
不妨设，则，
令，，
∴在单调递增，，
∴在单调递增．
由题知是20000的正因数且，，
∵，
，
∴的最大值为20．
3.（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球 羽毛球 篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球 羽毛球 篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换.
(1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；
(2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）；
(3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值.
【答案】(1)；(2)；(3)
【难度】0.4
【知识点】独立事件的乘法公式、写出等比数列的通项公式、利用全概率公式求概率、由定义判定等比数列
【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式和互斥事件的概率加法公式即可求解；
（2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式；
（3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值.
【详解】（1）记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况：
①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1；
第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为；
第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为；
所以第一种情况的概率为；
②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1；
第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为；
第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为；
所以第二种情况的概率为；
所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为.
（2）记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为，
则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物，
另一种是3枚徽章中有1枚不同动物，
记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件，
则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即，
在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即，
再根据全概率公式可得：
，
所以，则是等比数列，即，
所以；
（3）又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动”概率为，则，
第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，
另一种是不包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，
①甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，
此时发生的概率为；
②甲的徽章不包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章，
当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后，
甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动，此时发生的概率为；
再根据全概率公式可得：，所以有，
即是等比数列，即，
当为奇数时，，且，
当为偶数时，，
所以当时，取到最大值.
题型七：平面解析几何与导数相交汇
1．（2025·湖南长沙·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为 .
(1)求的方程；
(2)过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点.
（i）证明: ；
（ii）若点是的外心，求面积的最大值.
【答案】(1)；(2)（i）证明见解析；（ii）
【难度】0.4
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据离心率求椭圆的标准方程、根据韦达定理求参数、求椭圆中的最值问题
【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可.
（2）（i）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式推理得证；
（ii）结合（i）求出点的坐标，进而求出三角形面积表达式，再利用导数求出最大值.
【详解】（1）依题意，，解得，则，所以椭圆方程为 ;
（2）（i）设直线的方程为，，
由，整理得，由，得，
，，
若轴，由，解得，则，
此时的斜率，即，不合题意，则，的斜率均存在，
因此，
所以.
（ii） 设的中点为，则，
点，线段的垂直平分线为，
由（i）知，点关于轴对称，令，得，则，
于是的面积，
令，设，
求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，取得最大值，所以面积的最大值为.
根据平面几何性质列出相关式子 利用导数对其进行求解
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．

(1)证明曲线C的方程为；
(2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点.
①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值.
②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析；(2)①；②存在，2条
【难度】0.4
【知识点】求椭圆中的最值问题、椭圆中三角形（四边形）的面积、轨迹问题——椭圆
【分析】（1）设，分别表示出直线的方程和直线的方程，两式相乘化简即可得出答案.
（2）①先明确曲线顶点、焦点，设直线方程并联立椭圆方程，利用韦达定理结合斜率条件确定直线过定点Z，点W的轨迹是以OZ为直径的圆，进而计算得出面积表达式；②设过焦点的直线方程，联立椭圆方程后用韦达定理，将四边形面积转化为三角形面积作差，通过换元、函数单调性分析，结合面积值判断直线条数.
【详解】（1）显然，设，
因为，，所以，，
当时，则直线的方程为①，
直线的方程为②
①×②得：即.
当时，交点也满足此方程，故曲线方程为，得证.
（2）①由，设直线：，，，
直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，联立，得.
，
，，，
即，
化简可得：，解得：，则直线过.
得直线PQ过定点，而点W是坐标原点O在直线l上的射影，
所以点W的轨迹是以OZ为直径的圆（除去与x轴的交点）.
因为该圆的圆心为，半径，所以面积的最大值为．
②满足题意的直线条数有两条，证明如下：
由题意可知直线PQ的斜率不为0，设，，，不妨令，，
联立，可得

因为四边形OFQN的面积为，
所以，
因为，代入①可得，，
代入②可得，
所以，即或，
令，则，
令因为恒成立，所以，即在上单调递增，
因为，由零点存在性定理可知：所以在上有唯一零点，
综上所述，满足题意的直线l有两条.
题型八：数列与排列组合相结合
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．
【答案】(1)与为“2级相邻数列”；理由见解析；(2)；(3)3470
【难度】0.4
【知识点】数列新定义、利用函数单调性求最值或值域、利用an与sn关系求通项或项、实际问题中的组合计数问题
【分析】（1）根据数列通项公式的关系，先求出时的表达式，再检验时是否满足该表达式，从而确定的通项公式.利用累加法，得到的通项公式，同样检验时是否满足.最后根据“2级相邻数列”的定义，计算的表达式，通过分析该表达式与的大小关系，判断与是否为“2级相邻数列”.
（2）由，通过移项得到关于的不等式.设，通过分析与的大小关系判断的单调性，进而求出的最值，
由此得到的取值范围和的取值范围，从而确定的取值范围.
（3）根据条件集合有，，，，，共6种不同的情况，每种情况下考虑数列的不同情况，并对应研究数列的不同情况数，利用计数原理，结合组合数计算满足条件的数列的组数.
【详解】（1）当时，，
当时，，
当时，也成立，所以，
所以，
所以，
所以，所以与是“2级相邻数列”
（2）已知，化简可得.
设，则.
因为，所以，（当时取等号），
所以单调递减，所以的最大值为，所以，
所以，，
所以，即的取值范围为.
（3）已知，
由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，
因为与为“1级相邻数列”，所以，
当时，有2种不同选择；时，，有3种不同选择；
时，有3种不同选择，时，有2中不同选择．
由数列的所有项组成的集合中恰好有2个元素，
所以有，，，，，共6种不同的情况．
当时，数列可能是1个1、3个2的排列（有4种不同的排列）；
也可能是2个1、2个2的排列（有种不同的排列）；
还可能是3个1、1个2的排列（有4种不同的排列）．
1个1、3个2的每一种排列，2个1、2个2的每一种排列，
3个1、1个2的每一种排列对应的数列分别有，，种不同的清况，
总共个不同的数列；
同样，，时也各贡献528个不同的数列；
时也分是1个2、3个3的排列（有4种不同的排列）；
也可能是2个2、2个3的排列（有种不同的排列）；
还可能是3个2、1个3的排列（有4种不同的排列），
总共个不同的数列；
时，总共个不同的数列；
共计有个不同的数列组；
即满足条件的数列组的个数为3470．
利用排列组合的性质得到相关式子 和数列相结合进行求解
1．（2025·浙江·三模）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处.
(1)求粒子在第2秒末移动到点的概率；
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）已知 求 以及；
（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.
【答案】(1)；(2)（i），，；（ii）证明见解析
【难度】0.15
【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、计算古典概型问题的概率、组合数的性质及应用
【分析】（1）由古典概率模型概率计算公式即可求解；
（2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故；粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑，再由古典概率公式求解即可；第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，向下移动步，表示出，由组合数公式化简即可得出答案；
（ii）利用题目条件可证明，再令可证得，进一步可得，即可得出答案.
【详解】（1）粒子在第2秒末，每一步分别是四个不同方向，共有16种方法，
粒子在第2秒可能运动到点有2种方法，
分别为先向右移动一个单位，再向下移动一个单位，或先向下移动一个单位，再向右移动一个单位，
故；
（2）（i）粒子奇数秒不可能回到原点，故，
粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：
每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；
每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形；
于是，
第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，
向下移动步，故
.
故.
（ii）利用可知：
，
于是，
令，，故在上单调递增，
则，于是，从而有，
即为不超过的最大整数，则对任意常数，
当时，，于是,
综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的.
题型九：导数与解三角形相交汇
1．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
【答案】(1)；(2)；(3)
【难度】0.65
【知识点】二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理边角互化的应用
【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值；
（2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案；
（3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围.
【详解】（1）利用余弦定理化简，得，
在斜中，得，，
故上式可化为，
，可得，利用二倍角公式可得，
，，即，.
（2）为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，，
，得，
由（1）可知，即，，
由余弦定理得，解得，
的面积为
（3），在中，由正弦定理可得，，即，
在中，由正弦定理可得，，即，
四边形的内角和为，且，，
在中，由余弦定理可得，
，
即，，
，在中,，，
，故的取值范围为.
1．记斜的内角的对边分别为，已知，且.
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)；(3)
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、用和、差角的正弦公式化简、求值
【分析】（1）根据余弦定理可得化简后，故求；
（2）根据中线向量求模后结合余弦定理可求，故可求面积；
（3）由正弦定理得，由余弦定理可得，结合导数可求周长的取值范围.
【详解】（1）由可得，，
而，故，
因为为斜三角形，故，故，而，故即.
（2）因为的中线，所以.
两边同时平方，得，即.
在中，，由余弦定理可得，解得，所以.
（3）在中，由正弦定理可得即.
在中，由正弦定理可得即.
因为四边形的内角和为，且，所以.
在中，
，
所以，则，
.
因为在中，所以，则在上单调递增.
因为，所以的取值范围为.
2．（2025·湖北黄冈·二模）如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
【答案】(1)；(2)
【难度】0.65
【知识点】正弦定理解三角形、正余弦定理与三角函数性质的结合应用
【分析】（1）根据题意，由正弦定理和三角恒等变换的公式，化简得到，进而得到，即可求解；
（2）由正弦定理，得到，化简，根据锐角三角形，求得，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为，可得，
可得，
所以，可得，
又因为，可得，所以，因为，所以.
解：因为，可得且，由正弦定理得，
可得，
则，
在锐角三角形中，可得 ，可得，可得，
所以，所以，所以，
所以的取值范围为.
题型十：导数与平面向量相交汇
1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，．
(1)若曲线和有两个公共点，求a的取值范围；
(2)已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E．
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值．
【答案】(1)；(2)（ⅰ）；（ⅱ）
【难度】0.15
【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用、特殊角的三角函数值、利用导数研究函数的零点、求平面轨迹方程
【分析】（1）将曲线和有两个公共点转化为与直线有两个交点问题，通过讨论的单调性和最值即可得解；
（2）（ⅰ）利用已知条件中的与点的坐标之间的关系，即可写出E的方程；（ⅱ）将E的内接等腰直角三角形面积的最小值转化为曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值的问题，写出面积，再利用导数即可求出最小值.
【详解】（1），，曲线和有两个公共点，
即有两个不同的正根，即有两个不同的正根，
令，则函数与直线有两个交点，
，令，解得，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
在处取得极小值，也是最小值，且，
当时，；当时，，
当时，直线与函数的图象有两个交点，
综上a的取值范围是；
（2）（ⅰ）解：设，，
则
则，，，
又B为曲线上一点，，，故E的方程为；
（ⅱ）由（ⅰ）知E的内接等腰直角三角形面积的最小值等于曲线的内接等腰直角三角形面积的最小值．
设为直角顶点，，，则AB斜率，AC斜率
，，即（1）
，，化简得：，
化简得：，即：，
显然，所以（2）
由（1）得，代入（2）得，去分母，得到，看成关于b的一元二次方程，得到，
因式分解得，或，
，令，得到关于的函数，，
则，
令，得或，令，得或，
所以在上递减，递增，递减，递增，
又，，，，
所以曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值为.
题型十一：数列与三角函数相交汇
1．（24-25高三上·山西·期末）已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求和的值；
(3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式.
【答案】(1)函数不具有性质，理由见解析；(2)或
(3)
【难度】0.65
【知识点】三角恒等变换的化简问题、由递推关系证明等比数列、函数新定义
【分析】（1）根据题意可得存在实常数及，使得，进而可判断；
（2）由题意化简得对任意的都成立，再根据对应系数均为0求解即可；
（3）由题意，再构造可得，进而可得通项公式.
【详解】（1）若函数具有性质，则存在实常数及，
使得对任意的都成立，即，
所以，，不合题意，舍去.所以函数不具有性质.
（2）由题意存在实常数及，使得对任意的都成立，
即，
化简得对任意的都成立，所以解得或
所以或
（3）由函数不存在零点，且具有性质得，对任意的，，都有，
即，所以，所以，
又，，所以，所以，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.
1．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)证明：．(切线不等式)
【答案】(1)；(2)；(3)证明见解析
【难度】0.15
【知识点】写出等比数列的通项公式、错位相减法求和、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、数列不等式恒成立问题
【分析】（1）先求切线方程，代入坐标可得，，即，构造等比数列即可求解；
（2）由，利用错位相减法和分组求和即可求解；
（3）由，得，利用分组求和即可证，又，利用切线不等式，故，即可得证.
【详解】（1），，记，，，
切线，有，
代入坐标可得，，即，可得，
故为公比为2的等比数列，由于，，故，得；
（2）由，
记，有，
作差有，有，有，
故；
因为，由于，故，
故，右边证毕；
因为，故，故，又根据切线不等式，故，故有，
综上所述：．
题型十二：立体几何与三角函数相交汇
1．（2025·甘肃白银·三模）圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.
(1)证明：平面；
(2)若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围；
(3)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)
【难度】0.15
【知识点】锥体体积的有关计算、由导数求函数的最值（不含参）、证明线面平行、求二面角
【分析】（1）连接，，由几何关系结合线面平行的判定定理证明可得；
（2）设，利用两点间距离公式表示出，，利用三角函数定义和两角和的正切表示出，再构造函数，求导分析单调性可得；
（3）利用三棱锥的体积公式和组合体积得到当且仅当最大时，三棱锥的体积最大，设，代入圆，利用韦达定理、弦长公式、对勾函数的单调性求出，再求二面角可得.
【详解】（1）证明：因为底面圆的方程为，，点，
所以，为的中点，所以四边形是正方形，所以.
如图①，连接，，
因为，，所以四边形为平行四边形，所以.
当为的中点时，则，所以，又平面，平面，所以平面.
（2）由题知，，，
设，，，且，
所以，，
如图②，因为，所以，，
则.
设，，
则
.
当时，，此时单调递减；
当时，，此时单调递增，
所以，
又，，所以，
即的取值范围为.
（3）由题知，，
，
所以当且仅当最大时，三棱锥的体积最大.
如图②，在平面直角坐标系中，圆的方程为，
设，代入圆，
整理得，且，
所以，，
所以，
令，则，则，
由对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在上单调递减，
所以，即，
所以当，即，即时，三棱锥的体积最大，
此时，且，所以，所以即平面与平面所成角，
所以，即平面与平面所成角的余弦值为.
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②．
(1)若，证明：；
(2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【难度】0.65
【知识点】余弦定理解三角形、证明线面垂直、面面角的向量求法
【分析】（1）设，则，连接,交于点，连接,利用余弦定理求得，同理求得，再由勾股定理逆定理即可证得；
（2）取的中点，连接,证明为二面角的平面角，由余弦定理求得，过点作直线的垂线段,交于点
，证明平面,利用条件写出相关点的坐标，求出两平面的法向量坐标，利用空间夹角的坐标公式求解即得.
【详解】（1）设,因则,
因为线段的中点，则,如图②，连接,交于点，连接,
易得菱形,则,因，则,且，
在中，由余弦定理，,则,
在中，由余弦定理，,
由,可得.
（2）由题意，与均为边长是2的正三角形，取的中点，连接,
则,即为二面角的平面角，等于，
在中，由余弦定理，，即，
过点作直线的垂线段,交于点，因，
平面,故平面,又平面，故,
因,平面，故平面.
分别以所在直线为轴，以过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.
因,则，.
则, 则,
设平面的法向量为，则，故可取，
设平面的法向量为,则，故可取，
则，
设平面与平面夹角为，
则
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解答题 多模块综合考查
根据近几年的高考情况，解三角形、概率统计、立体几何、平面解析几何、导数等专题是高考中经常出现的解答题类型，在考试中经常出现相互交汇的情况，本专题通过对高考中经常出现的几种交汇类型进行总结。
题型一：导数与三角函数相交汇
1．（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围；
（2）若，，证明：；
（3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围.
利用三角函数的性质，在利用导数解决问题时，构建相关的模型 利用导数恒成立思想或能成立思想进行求解
1．（2025·陕西榆林·一模）已知函数，．
(1)证明：在上单调递减；
(2)记的最小值为，最大值为，数列的前项积为．
（ⅰ）求的通项公式；
（ⅱ）证明：．
2．（2025·广东肇庆·一模）已知函数.
(1)当，时，求证：；
(2)当时，
（ⅰ）求在上的所有极大值点之和；
（ⅱ）若在上有两个实根，，比较与的大小关系.
题型二：导数与概率统计相交汇
1．（2025·广东广州·模拟预测）某检测中心在化验血液时有两种化验方法：
①逐份化验法：将血液样本逐份进行化验，则份血液样本共需要化验次.
②混合化验法：将份血液样本分别取样混合在一起化验.若化验结果呈阴性，则这份血液均为阴性，此时共化验1次；若化验结果呈阳性，为了确定阳性血液，就需要再采取逐份化验，故此时共需要化验次.
(1)现有5份血液样本，其中有2份为阳性血液，现采取逐份化验法进行化验，求恰好化验2次就把全部阳性样本检测出来的概率；
(2)现有10份血液样本，每份呈阳性的概率为，采用5份为一组的混合化验法进行化验，记这10份血液样本需要化验的总次数为，求随机变量的分布列；.
(3)现有份血液样本，每份呈阳性的概率为，记采用逐份化验法时需要化验的次数为，采用份为一组的混合化验法时需要化验的总次数为，当时，求的最大值.
（参考数据：）
利用统计概率的相关性质列出式子 利用导数的性质求出单调性，从而求出最值
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）不透明的口袋中装有编号分别为的个小球，小球除编号外完全相同.现从中有放回地任取次，每次取1个球，记取出的个球的最小编号为随机变量.
(1)若，求和；
(2)若，且，求的最小值；
(3)若，求证：且.
题型三：导数与数列相交汇
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）（1）已知，函数.证明：当时，；
（2）设函数与的图象分别为，.点在上，且，在点处的切线交于点，.在点处的切线交于，由此构造出点列，.已知.
（i）证明：；
（ii）求，其中表示不超过的最大整数.
根据数列的性质得到相关通项 根据导数的性质对其进行分析，得到相关性质进行求解
1．（2025·陕西西安·模拟预测）若数列满足，为给定的正数，则称为“有界数列”．
(1)若，，证明：为有界数列；
(2)设，对，均有，求实数的取值；
(3)设数列是2－有界数列，，且，求的最大可能值．
2．（2025·上海静安·模拟预测）定义函数，对于数列，若，则称 为函数的“生成数列”，为函数的一个“源数列”．
(1)已知，为函数的“生成数列”，求数列的前n项和；
(2)已知，为函数的“源数列”，求证：对任意正整数n，均有；
(3)已知，为函数的“生成数列”，为函数的“源数列”，与的公共项按从小到大的顺序构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由．
3．（2025·甘肃甘南·模拟预测）抽屉原理也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出并用来证明数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．其内容为：如果把个物体放进个抽屉里，那么至少有一个抽屉要放进个或更多个物体．已知数列与数列满足，若数列是递增数列，则称数列具有性质．
(1)当，且数列具有性质时，
①写出一个满足，项数为6的数列；
②若，数列的前项和为，证明：当时，至少存在两个不同的数列，使得这两个数列的前项和相等．
(2)从项数为的数列中选取一部分元素构成新的数列，判断是否存在项数为的数列具有性质，并说明理由．
（参考数据：）
题型四：导数与二项式相交汇
1．（2025·全国·模拟预测）已知函数，.
(1)若，求；
(2)已知函数的图象关于直线对称，函数的图象关于直线对称.
（i）求，；
（ii）若，，.证明：.
1..求二项式系数的最大值，则依据(a＋b)n中n的奇偶及二项式系数的性质求解． 2.求展开式中项的系数的最大值，由于展开式中项的系数是离散型变量，设展开式各项的系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，因此在系数均为正值的前提下，求展开式中项的系数的最大值只需解不等式组即得结果． 3.根据导数的性质对二项式进行分析
题型五：数列与平面几何相交汇
1．（2025·湖南永州·模拟预测）抛物线的焦点为，上纵坐标为的点到的距离为.对每个正整数，是上的点且在第一象限，过焦点的直线交于另一点.
(1)求抛物线的方程；
(2)求证：；
(3)取，并记为上分别以与为切点的两条切线的交点，求的值（用含的式子表示）.
利用平面解析几何的性质列出相关式子： 联立 韦达定理找到相交点的关系 列出相关式子 2.利用数列的相关性质进行求解
1．（2025·江西赣州·二模）已知点M到点的距离比到y轴的距离大1，M的轨迹为C．点在C上，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，过作斜率为的直线交C于另一点，设与关于x轴对称，……，以此类推，设．
(1)求C的方程；
(2)设数列的前n项和为，证明：；
(3)求的面积．
2．（2024·云南·模拟预测）如图，已知点列与满足，且，其中，．

(1)求；
(2)求与的关系式；
(3)证明：．
题型六：统计概率与数列相交汇
1．（2024·河北·模拟预测）为增强学生身体素质，提高学生健康水平，促进学生的全面发展，更好地推进“一核四翼”高质量发展，丰富全校师生的校园文化生活，某学校开展了为期两天的秋季运动会，运动会设置了多个项目，小宇参加了“定点投篮”的比赛，规定：一场比赛总共投篮10次，若未命中不得分，单独命中1球得1分，连续命中2球得3分，连续命中3球得6分，连续命中4球得10分，以此类推，连续命中球得分，假设小字每次投篮命中率为，且每次投篮之间相互独立.
(1)求小宇在一场比赛中最终得分为10分的概率；
(2)小宇在赛前进行了大量练习，在一次训练中，小宇决定只要连续命中3球就回家，在以下三种方法中选择一种，求解小宇投篮次数的均值.
①马尔科夫链：以代表当小宇已经连续命中球时，最终达到连续命中3球状态所需的平均投篮次数，那么当小宇一开始投篮时，若他下一次投篮将球命中，他只需要再投中个球就能回家，若下次投篮未命中，则需要再投中个球才能回家.由此我们得出，若将来的状态仅与当下的状态有关，与过去的状态无关，根据下图，推导其余关系式.
②概率母函数：小明投篮的情况可划分为四种，（i）未命中；（ii）命中，未命中；（iii）命中，命中，未命中；（iv）命中，命中，命中，概率分别为，则小宇投篮次数的均值恰好为函数在处的导数值；（当时，）
③鞅的停时定理：试想小宇在和球场管理员玩一个赌博游戏，每次投篮都要下注，当小宇下注为元时，若命中就会赢得元，未命中就会输掉元，小宇一开始没有钱，小华决定每次投篮前都会借给小宇1元钱，而小宇每次都会将自己所有的钱全部押为下一次投篮的赌注，已知此游戏是“公平的”，也就是小宇停止时的赌本的期望值和他开始时的赌本相同.
根据统计概率的相关性质得到数列的通项公式进行 熟练掌握马尔科夫链 全概率公式是新高考考查内容，利用全概率公式，我们既可以构造某些递推关系求解概率，还可以推导经典的一维随机游走模型，即：设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者 （）向左或者向右平移一个单位. 若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 3.利用相关性质进行求解
1．（24-25高二下·广东东莞·期末）现有一批产品，每件产品是否合格相互独立，每件产品合格的概率均为p．在某次抽样中，经统计抽取的100件产品中，恰有98件合格品．
(1)以频率估计概率，若从该批产品中再抽取10件，记合格品的数量为X，求X的期望；
(2)在概率统计中，我们常常通过观测到的实验结果应用极大似然估计法来估计某参数的取值．设X为与未知参数m有关的离散型随机变量，其中m的取值范围为S．若对已知结果，存在，且对任意，有成立，则称为m的一个极大似然估计值．
①请根据此次抽样，求p的极大似然估计值．
②在实际操作中往往采用多次独立抽样来求参数的极大似然估计值，现对该批产品进行m次独立抽样，每次从中抽取n个产品，记录合格品数分别对应为，，…，，请根据这m次独立抽样结果，求p的极大似然估计值．
2．（2024·云南丽江·模拟预测）卫生检疫部门在进行病毒检疫时常采用“逐一检测”或“混采检测”（随机地按人一组平均分成组，然后将各组个人的血样混合再化验．如果混管血样呈阴性，说明这个人全部阴性；如果混管血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次）．已知某种病毒性疾病在某地的患病率（患病率）为．
(1)当时，已知某组混管血样呈阳性，且这5人中只有1人患病．
（i）将该组每个人的血液逐个化验，直到查出患病人员为止．用表示所需化验次数，求的期望；
（ii）先从该组中取3人的血液混在一起化验，若呈阳性，则对这3人的血液再逐个化验，直到查出患病人员；若不呈阳性，则对剩下的2人再逐个化验，直到查出患病人员．用表示所需化验次数，求的期望；
(2)已知某次“混采检测”的血样总数为20000，记检验总数次数为，当时，求的最大值.
3.（2025·黑龙江大庆·一模）2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球 羽毛球 篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球 羽毛球 篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换.
(1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率；
(2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）；
(3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球 羽毛球 篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值.
题型七：平面解析几何与导数相交汇
1．（2025·湖南长沙·三模）已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为 .
(1)求的方程；
(2)过点且不垂直于轴的直线与交于两点，直线与交于另一点.
（i）证明: ；
（ii）若点是的外心，求面积的最大值.
根据平面几何性质列出相关式子 利用导数对其进行求解
1．（2025·江苏盐城·模拟预测）如图，矩形ABCD中，，，，，，分别是矩形四条边的中点，，，，直线与的交点为M．设点M的轨迹为曲线C．

(1)证明曲线C的方程为；
(2)设曲线C的左顶点为E，右焦点为F，动直线l与曲线C交于P，Q两点.
①设直线EP，EQ的斜率分别为，，且满足，若坐标原点O在直线l上的射影为W，求面积的最大值.
②若l过点F，且P，N关于原点对称，是否存在直线l，使得四边形OFQN的面积为 若存在，求出直线l的条数；若不存在，请说明理由.
题型八：数列与排列组合相结合
1．（2025·浙江绍兴·模拟预测）若对，都有，则称与为“级相邻数列”．
(1)设的前n项和，且，试判断与是否为“2级相邻数列”，并说明理由；
(2)若，且为“4级相邻数列”，求k的取值范围；
(3)已知，由数列的所有项组成的集合M中恰好有2个元素，若与为“1级相邻数列”，求满足条件的数列的组数（用数字作答）．
利用排列组合的性质得到相关式子 和数列相结合进行求解
1．（2025·浙江·三模）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处.
(1)求粒子在第2秒末移动到点的概率；
(2)记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）已知 求 以及；
（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知 证明：该粒子是常返的.
题型九：导数与解三角形相交汇
1．（24-25高一下·黑龙江绥化·期末）记斜的内角的对边分别为，已知，且．
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围．
1．记斜的内角的对边分别为，已知，且.
(1)求角；
(2)为边的中点，若，求的面积；
(3)如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围.
2．如图，锐角的内角A ,B , C的对边分别为，直线与的边AB，AC分别相交于点D，E，设，满足.
(1)求角的大小；
(2)若且，求的取值范围.
题型十：导数与平面向量相交汇
1．（2025·江苏泰州·模拟预测）已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．已知，．
(1)若曲线和有两个公共点，求a的取值范围；
(2)已知B为曲线上一点，其中为的导函数，O为坐标原点，把绕着原点O沿顺时针方向旋转后得到点P，记点P的轨迹为E．
（ⅰ）求E的方程；
（ⅱ）求曲线E的内接等腰直角三角形面积的最小值．
题型十一：数列与三角函数相交汇
1．（24-25高三上·山西·期末）已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求和的值；
(3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式.
1．（2025·山西·三模）已知函数，从点作轴的垂线，交的图象于点，过点作曲线的切线交轴于点，再过点作轴的垂线，交的图象于点，重复这一过程，得到两个点列，，，点的坐标记作．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和；
(3)证明：．(切线不等式)
题型十二：立体几何与三角函数相交汇
1．（2025·甘肃白银·三模）圆柱的标准方程可以用下面的形式表示：，，其中，是圆柱任意一点的坐标.已知圆柱的方程为，如图，点，分别为上、下底面圆的圆心，四边形是圆柱的一个轴截面，点，，分别为，，的中点，点，为过点的下底面的一条动弦（不与重合）.
(1)证明：平面；
(2)若点是下底面圆周上的动点，是点在上底面的投影，且，与下底面所成的角分别为，，求的取值范围；
(3)当三棱锥的体积最大时，求平面与平面所成角的余弦值.
1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图①，在梯形中，为线段的中点，将沿折起至，如图②．
(1)若，证明：；
(2)若二面角的大小为，求平面与平面夹角的正弦值．
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