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第1章　集合与简易逻辑
课时作业1　集合的概念及运算

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·浙江高考)设U＝R，A＝{x|x>0}，B＝{x|x>1}，则A∩?UB＝ (　　)
A．{x|0≤x<1}　　　　 B．{x|0C．{x|x<0} D．{x|x>1}
解析：?UB＝{x|x≤1}，∴A∩?UB＝{x|0图1
答案：B
2．(2009·广东高考)已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的韦恩(Venn)图如图1所示，则阴影部分所示的集合的元素共有 (　　)
A．2个 B．3个
C．1个 D．无穷多个
解析：M＝{x|－1≤x≤3}，N＝{x|x＝2k－1，k∈N*}，
∴M∩N＝{1,3}．故选A.
答案：A
3．已知全集U＝R，且A＝{x||x－1|>2}，B＝{x|x2－6x＋8<0}，则(?UA)∩B等于(　　)
A．[－1,4) B．(2,3)
C．(2,3] D．(－1,4)
解析：|x－1|>2?x>3或x<－1，
即A＝{x|x>3或x<－1}，
∴?UA＝{x|－1≤x≤3}．
x2－6x＋8<0?2即B＝{x|2∴(?UA)∩B＝{x|2答案：C
4．已知A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax＝1}，若B?A，则实数a的值构成的集合M是(　　)
A．{－1,0，} B．{－1,0}
C．{－1，} D．{，0}
解析：A＝{－1,3}，a＝0时，B＝?，
此时B?A；a≠0时，B＝{x|x＝}，
则＝－1或＝3，
∴a＝－1或a＝.
此时B?A，故M＝{－1,0，}．
答案：A
5．设I＝{1,2,3,4}，A与B是I的子集，若A∩B＝{1,2}，则称(A，B)为一个“理想配集”，那么符合此条件的“理想配集”的个数是(规定(A，B)与(B，A)是两个不同的“理想配集”) (　　)
A．4 B．8
C．9 D．16
解析：由A与B是集合I的子集，且A∩B＝{1,2}，得A、B应为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}中的一个．由定义知，若A＝{1,2}，则B可以取4个中的任何一个，共有4种不同的情形；
若A＝{1,2,3}，则B可以为{1,2}，{1,2,4}中的任何一个，有2种不同的情形；
若A＝{1,2,4}，则B可以为{1,2}，{1,2,3}中的任何一个，有2种不同的情形；
若A＝{1,2,3,4}，则B只可以为{1,2}这一种情形．
综上可知，适合题意的情形共有4＋2＋2＋1＝9种．
答案：C
6．(2009·湖北高考)已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q＝ (　　)
A．{(1,1)} B．{(－1,1)}
C．{(1,0)} D．{(0,1)}
解析：∵P＝{a|a＝(1，m)，m∈R}，Q＝{b|b＝
(1－n,1＋n)，n∈R}，P∩Q＝{b|b＝a}，令a＝b，
∴?
∴a＝b＝(1,1)，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·上海高考)已知集合A＝{x|x≤1}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：A为(－∞，1]，B为[a，＋∞)，要使A∪B＝R，只需a≤1.
答案：a≤1
8．已知集合A＝{1,0,2}，B＝{x||x|∈A}，则B＝__________.
解析：∵|x|∈A，
∴|x|＝1?x＝±1，
或|x|＝0?x＝0，
或|x|＝2?x＝±2，
∴B＝{x|x＝±1或x＝0或x＝±2}
＝{－1,1,0，－2,2}．
答案：{－1,1,0，－2,2}．
9．设集合A＝{(x，y)|2x＋y＝1，x，y∈R}，B＝{(x，y)|a2x＋2y＝a，x，y∈R}，若A∩B＝?，则a的值为__________．
解析：集合A，B的元素都是点，A∩B的元素是两直线的公共点．A∩B＝?，则两直线无交点，即方程组无解．
列方程组，解得(4－a2)x＝2－a，
则，即a＝－2.
答案：－2
10．(2010·湖北八校联考)设A＝{(x，y)|y≤－|x－3|}，B＝{(x，y)|y≥2|x|＋b，b为常数}，A∩B≠?.
(1)b的取值范围是________；
(2)设P(x，y)∈A∩B，点T的坐标为(1，)，若在方向上投影的最小值为－5，则b的值为__________．
图2
解析：(1)作出点集所表示的区域，结合图形可知b≤－3；
(2)有－5≤＝，令x＋y＝z，即y＝＋，结合图形可知，当动直线y＝＋经过点(0，b)时，z有最小值－10，即－10＝b?b＝－10.
答案：(1)b≤－3　(2)－10
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知A＝{x|x2≥9}，B＝，C＝
{x||x－2|<4}．
(1)求A∩B及A∪C；
(2)若U＝R，求A∩?U(B∩C)．
解：由x2≥9，得x≥3或x≤－3，
∴A＝{x|x≥3或x≤－3}．
又由不等式≤0，得－1∴B＝{x|－1又由|x－2|<4，得－2∴C＝{x|－2(1)A∩B＝{x|3≤x≤7}，如图3(1)所示．A∪C＝
{x|x≤－3或x>－2}，如图3(2)所示．
图3
(2)∵U＝R，B∩C＝{x|－1∴?U(B∩C)＝{x|x≤－1或x≥6}，
∴A∩?U(B∩C)＝{x|x≥6或x≤－3}．
图4
12．(15分)(2010·南京一调)某学校有篮球队、羽毛球队、乒乓球队员，某些队员不止参加了一支球队，具体情况如图4所示，现从中随机抽取一名队员，求：
(1)该队员只属于一支球队的概率；
(2)该队员最多属于两支球队的概率．
解：(1)设“该队员只属于一支球队”为事件A，则事件A的概率P(A)＝＝.
(2)设“该队员最多属于两支球队”为事件B，则事件B的概率为P(A)＝1－＝.
答：(1)该队员只属于一支球队的概率为；
(2)该队员最多属于两支球队的概率为.
13．(20分)(2009·上海宝山模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，不等式f(x)<0的解集为A.
(1)求集合A；
(2)设集合B＝{x||x＋4|解：(1)二次函数f(x)＝ax2＋x有最小值，∴a>0.
∴解不等式f(x)＝ax2＋x<0，得集合A＝(－，0)．
(2)解得B＝(－a－4，a－4)，因为集合B是集合A的子集，所以－≤－a－4≤0且－≤a－4≤0，且a>0，解得0
课时作业2　含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·全国卷Ⅰ)不等式<1的解集为 (　　)
A．{x|01}
B．{x|0C．{x|－1D．{x|x<0}
解析：解法1(特值法)：显然x＝－1是不等式的解，故选D.
解法2：不等式等价于|x＋1|<|x－1|，即(x＋1)2<(x－1)2，解得x<0.故选D.
答案：D
2．设集合P＝{m|－1(　　)
A．PQ　　　　　　　 B．QP
C．P＝Q D．P∩Q＝?
解析：由mx2＋4mx－4<0对任意实数x恒成立，得Δ＝16m2＋16m<0且m<0或m＝0，
所以－1所以Q＝{m|－1答案：A
3．(2009·株洲质检二)不等式(|x|＋2)(1－x2)≤0的解集是 (　　)
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)
C．(－1,1)
D．[－1,1]
解析：(|x|＋2)(x＋1)(x－1)≥0等价于

或，解得x≤－1或x≥1.故选B.
答案：B
4．若关于x的不等式－x2＋2x>mx的解集为{x|0A．1 B．－2
C．－3 D．3
解析：x2－4x＋2mx<0，即x2＋(2m－4)x<0，∴0,2为x2＋(2m－4)x＝0的两根，∴4－2m＝2，∴m＝1.故选A.
答案：A
5．(2010·青岛模拟)若关于x的不等式|x－1|＋|x－2|>a2＋a＋1(x∈R)恒成立，则实数a的取值范围为 (　　)
A．(0,1) B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1,0)
解析：由绝对值的几何意义知
|x－1|＋|x－2|≥1，
∴a2＋a＋1<1恒成立，
即a2＋a<0，∴－1答案：D
6．(2009·天津高考)设0(ax)2的解集中的整数恰有3个，则 (　　)
A．－1C．1解析：原不等式转化为：[(1－a)x－b][(1＋a)x－b]>0.
(1)a≤1，结合不等式解集形式知不符合题意．
(2)a>1.此时－知－3≤－<－2.整理得：2a－2结合题意b<1＋a，有2a－2<1＋a.
∴a<3，从而有1答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·山东高考)不等式|2x－1|－|x－2|＜0的解集为________．
解析：|2x－1|－|x－2|<0?|2x－1|<|x－2|?(2x－1)2<(x－2)2?4x2－4x＋1答案：(－1,1)
8．(2009·广东高考)不等式≥1的实数解为________．
解析：≥1?
?
即
解得x≤－且x≠－2.
答案：(－∞，－2)∪
9．(2010·合肥质检二)若不等式|2x－3|>4与不等式x2＋px＋q>0的解集相同，则p＋q＝__________.
解析：解|2x－3|>4得x>或x<－，由它与x2＋px＋q>0同解，可知方程x2＋px＋q＝0的根是x1＝，x2＝
－，由根与系数的关系可知p＝－3，q＝－，∴p＋q＝－.
答案：－
10．已知关于x的不等式3ax＋b>0的解集为{x|x>1}，则不等式(a＋b)x＋(2a－b)<0的解集为__________．
解析：由题意得不等式3ax＋b>0的解为
x>－且3a>0，
－＝1，所以b＝－3a(a>0)，
所以不等式(a＋b)x＋(2a－b)<0
可化为－2ax＋5a<0，
即2ax>5a，因为a>0，所以x>，
即不等式(a＋b)x＋(2a－b)<0的解集为{x|x>}．
答案：{x|x>}
三、解答题(共50分)
11．(15分)解关于x的不等式：ax2－(a＋1)x＋1<0.
解：(1)当a＝0时，原不等式化为－x＋1<0，
∴原不等式的解集为{x|x>1}．
(2)当a≠0时，原不等式可化为a(x－1)(x－)<0.
当a<0时，有(x－1)(x－)>0，
∵<1，∴原不等式的解集为{x|x<或x>1}．
当a>0时，原不等式可化为(x－1)(x－)<0.
①当<1即a>1时，
不等式的解集为{x|②当＝1，即a＝1时，
不等式即为(x－1)2<0，解集为?.
③当>1，即0不等式的解集为{x|1综上所述，原不等式的解集为
当a<0时，{x|x<或x>1}；
当a＝0时，{x|x>1}；
当0当a＝1时，解集为?；
当a>1时，{x|12．(15分)(2009·辽宁高考)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|.
(1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；
(2)如果任意x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．
解：(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|，由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3.
①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3.
不等式组的解集为.
②当－1不等式组的解集为?.
③当x>1时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3.
不等式组的解集为.
综上得，f(x)≥3的解集为∪.
(2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件．
若a<1，f(x)＝
f(x)的最小值为1－a.
若a>1，f(x)＝
f(x)的最小值为a－1.
所以任意x∈R，f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．
13．(20分)(2010·大庆模拟)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若在区间[－1,1]上，不等式f(x)>2x＋m恒成立，求实数m的范围．
解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝1得c＝1，故f(x)＝ax2＋bx＋1.
∵f(x＋1)－f(x)＝2x，
∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x.
即2ax＋a＋b＝2x，
所以，∴，
∴f(x)＝x2－x＋1.
(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1,1]上恒成立，即x2－3x＋1－m>0在[－1,1]上恒成立．
设g(x)＝x2－3x＋1－m，
其图象的对称轴为直线x＝，
所以g(x)在[－1,1]上单调递减．
因此只需g(1)>0，即12－3×1＋1－m>0，
解得m<－1.
故实数m的范围为(－∞，－1)．

课时作业3　简易逻辑

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·宝鸡一中模拟)下列命题为真的是 (　　)
A．所有的素数都是奇数
B．对每一个无理数x，x2也是无理数
C．存在一个实数x，使x2＋2x＋3＝0
D．有些整数只有两个正因数
解析：选项A可以通过举反例“2”说明其为假命题，选项B显然为假命题，选项C中方程在实数范围内无解，选项D为真命题．
答案：D
2．(2010·大庆模拟)若命题p：x∈M∪N，则?p是 (　　)
A．x?M?N　　　　　 B．x?M或x?N
C．x?M且x?N D．x∈M∩N
解析：x∈M∪N，即x∈M或x∈N，∴?p：x?M且x?N.
答案：C
3．(2009·北京东城模拟)已知命题p，q，若p且q为真命题，则必有 (　　)
A．p真q真 B．p假q假
C．p真q假 D．p假q真
答案：A
4．若命题甲：a，b，c为等差数列，命题乙：ma＋p，mb＋p，mc＋p成等差数列，其中m，p为常数，则甲是乙的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：本题考查等差数列概念及充分必要条件；由命题甲知2b＝a＋c；由命题乙可知2(mb＋p)＝(ma＋p)＋(mc＋p)?m＝0或2b＝a＋c，故命题甲是命题乙的充分但不必要条件．
答案：A
5．若p：a2＋b2>2ab，q：|a＋b|<|a|＋|b|，则p是q的 (　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：a2＋b2>2ab?a≠b?ab<0?|a＋b|<|a|＋|b|，∴p是q的必要非充分条件．
答案：B
6．设a1、b1、c1、a2、b2、c2均为非零实数，不等式a1x2＋b1x＋c1>0和a2x2＋b2x＋c2>0的解集分别为集合M与N，那么“＝＝”是“M＝N”的 (　　)
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
解析：不等式2x2－x＋1>0，－2x2＋x－1>0对应系数成比例但解集不等；
不等式x2＋x＋1>0与x2＋x＋2>0的解集相等，但对应系数不成比例．
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·湖北模拟)命题P：若x2<2，则－答案：若x2≥2，则x≤－或x≥　若x2<2，则x≤
－或x≥
8．已知命题p：不等式|x|＋|x－1|>m解集为R，命题q：f(x)＝－(5－2m)x是减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，则m的取值范围为__________．
解析：|x|＋|x－1|>m的解集为R，
∴m<(|x|＋|x－1|)min，
而|x|＋|x－1|≥|x－(x－1)|＝1，∴m<1.
由已知y＝(5－2m)x为增函数，∴5－2m>1，m<2，
由p或q为真，p且q为假可知，p，q中一真一假，
∴或∴1≤m<2.
答案：1≤m<2
9．已知p：<1，q：(x＋1)(x－m)(x－3)>0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是__________．
解析：p：－13时，q：－1m.符合题意；当m＝3时，q：x>－1且x≠3.符合题意；当－13，若p?q，则m≥1，当m≤－1时，不符合题意．综上分析m的取值范围是m≥1.
答案：m≥1
10．(2009·江西高考)设直线系M：xcosθ＋(y－2)sinθ＝1(0≤θ≤2π)，对于下列四个命题：
A．M中所有直线均经过一个定点
B．存在定点P不在M中的任一条直线上
C．对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上
D．M中的直线所能围成的正三角形面积都相等
其中真命题的代号是________(写出所有真命题的代号)．
解析：因为xcosθ＋(y－2)sinθ＝1，所以点P(0,2)到M中每条直线的距离d＝＝1，即M为圆C：x2＋(y－2)2＝1的全体切线组成的集合，从而M中存在两条平行直线，所以A错误；又因为(0,2)点不在M的任何直线上，所以B正确；对任意n≥3，存在正n边形使其内切圆为圆C，故C正确．M中的边能组成两个大小不同的正三角形ABC和AEF，故D错误．故命题中正确的序号是B、C.
答案：B、C
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知函数f(x)是在(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．
(1)写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论；
(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．
解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
则a＋b≥0，真命题．
用反证法证明：假设a＋b<0，
则a<－b，b<－a，
∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
则f(a)∴f(a)＋f(b)(2)逆否命题：若f(a)＋f(b)则a＋b<0为真命题．
因为一个命题?它的逆否命题，所以可证明原命题为真命题．
∵a＋b≥0，∴a≥－b，b≥－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，
∴f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，
所以逆否命题为真．
12．(15分)(2010·山东临沂模拟)已知集合A＝{y|y＝x2－x＋1，x∈[，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}；命题p：x∈A，命题q：x∈B，并且命题p是命题q的充分条件，求实数m的取值范围．
解：化简集合A，由y＝x2－x＋1，
配方得y＝(x－)2＋.
∵x∈[，2]，∴ymin＝，ymax＝2.
∴y∈[，2]．∴A＝{y|≤y≤2}．
化简集合B，由x＋m2≥1，∴x≥1－m2，B＝{x|x≥1－m2}．
∵命题p是命题q的充分条件，∴A?B.
∴1－m2≤，解之，得m≥或m≤－.
∴实数m的取值范围是(－∞，－]或[，＋∞)．
13．(20分)(2009·常州模拟)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立；命题q：只有一个实数x满足不等式x2＋2ax＋11a≤0，若命题p是假命题，命题q是真命题，求a的取值范围．
解：(1)p：x1和x2是x2－mx－2＝0的两根，
所以
?|x1－x2|＝＝
又m∈[－1,1]，则有|x1－x2|∈[2，3]．因为不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1,1]恒成立，所以a2－5a－3≥|x1－x2|max＝3，所以a2－5a－3≥3
?a∈(－∞，－1]∪[6，＋∞)
q：由题意有Δ＝(2a)2－4×11a＝0?a＝0或a＝.
由命题p是假命题，命题q是真命题，所以a∈{}．

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