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2026年春季学期恩施部分高中期末联考高二年级数学试卷
一、单选题
1．一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，其中，中位数为22，则（ ）
A．21 B．15 C．22 D．35
2．已知向量不共线，，且三点共线，则的值为（ ）
A．3 B． C．2 D．
3．角的终边过点，则（ ）
A． B． C． D．
4．对于三次函数给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.给定函数，请你根据上面探究结果，计算（ ）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
5．已知抛物线的焦点为，准线为，一圆以为圆心且与相切，若该圆与抛物线交于点，则的值为（ ）
A．或 B．或2 C． D．
6．已知函数在内有最小值，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．已知等差数列满足，，则的最大值为（ ）
A．14 B．13 C．12 D．11
8．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个数的数学期望是（ ）
A．1.2 B．1 C．1.3 D．0.6
二、多选题
9．若复数，则（ ）
A．的实部是 B．
C． D．在复平面内对应的点位于第四象限
10．已知正方体的棱长为3，棱的中点分别为，点在底面正方形内（含边界），且平面∥平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若存在实数使得，则
B．若，则∥平面
C．三棱锥体积的最大值为
D．二面角的正切值为
11．已知直线l1：x+y﹣4＝0与圆心为M（0，1）且半径为3的圆相交于A，B两点，直线l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0与圆M交于C，D两点，则四边形ACBD的面积的值可以是（ ）
A． B． C． D．9（）
三、填空题
12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，点A在C上，点B在y轴上，，且，则C的离心率为________．
13．设，函数.若在上单调递增，且函数与的图象有三个交点，则的取值范围是________.
14．对于，将n表示为，当时，.当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，，故，）.若，则______.
四、解答题
15．如图，在四棱锥中，平面，为等腰三角形，，，，点分别为棱的中点．
(1)求证：直线平面；
(2)求直线到平面的距离；
(3)试判断棱上是否存在一点G，使平面与平面夹角的余弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
16．如图所示，在中，，，，，．
(1)求的值．
(2)线段上是否存在一点，使得 若存在，求的值；若不存在，说明理由．
(3)若是内一点，且满足，求的最小值．
17．在扔硬币猜正反游戏中，当硬币出现正面时，猜是正面的概率为.猜是反面的概率为；当硬币出现反面时，猜是反面的概率为，猜是正面的概率为.假设每次扔硬币相互独立.
(1)若两次扔硬币分别为“正反”，设猜测全部正确与猜测全部错误的概率分别为，试比较的大小；
(2)若不管扔硬币是正面还是反面猜对的概率都大于猜错的概率，
（i）从下面①②③④中选出一定错误的结论：
①；②；③，④
（ii）从（i）中选出一个可能正确的结论作为条件.用表示猜测的正反文字串，将中正面的个数记为，如“正反正反”，则，若扔四次硬币分别为“正正反反”，求的取值范围.
18．已知椭圆的左 右焦点分别为，离心率为，点为该椭圆的上顶点，且满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，若的面积为，求直线的方程.
19．（1）函数是R上的奇函数，且在上是增函数，求证在上是增函数；
（2）奇函数是定义在上的减函数，若，求x范围.
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A A B C B B A A AD ABD
题号 11
答案 BC
1．A
【知识点】计算几个数的中位数
【分析】利用中位数定义直接求解．
【详解】一个样本数据从小到大的顺序排列为12，15，20，x，23，28，30，50，
其中，中位数为22，
，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查实数值的求法，考查中位数定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．A
【知识点】利用平面向量基本定理求参数、平面向量的混合运算
【分析】由三点共线可设，通过向量运算，结合平面向量基本定理得到方程组：，通过解方程组求得.
【详解】，
又三点共线，可设,
则有，不共线，
，解得：
故选：A
【点睛】本题主要考查了平面向量的基本定理，共线向量定理，平面向量的线性运算，属于基础题.
3．B
【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的余弦公式
【分析】化简得，再利用三角函数的坐标定义求出即得解.
【详解】解：，
由题得，所以.
故选：B
4．C
【知识点】导数的加减法
【分析】由题设对求二阶导并确定零点，进而可得对称中心，利用求目标式的值即可.
【详解】因为，所以，
令，则，
令，即，解得，
又，
由题中给出的结论，可知函数的对称中心为，
所以，即，
故所求式子的各项可配对，有，共对，
所求式子的中间项为，
所以.
5．B
【知识点】根据抛物线方程求焦点或准线、求两曲线的交点
【分析】首先根据条件求出圆的方程，再与抛物线方程联立，求出点的坐标，即可求出的值.
【详解】因为抛物线的焦点为，准线的方程为，所以圆.
联立方程得，消元得，即，所以，所以或(不合题意，舍去)，即，所以，所以点的坐标为或，所以或2.
故选：B.
6．B
【知识点】已知函数最值求参数
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极小值点，从而得到关于的不等式组，解得即可.
【详解】函数的定义域为，
，
令可得或（舍），
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，即最小值，
又因为函数在内有最小值，故，解得，
所以的取值范围是.
故选：B
7．A
【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列的单调性
【分析】设，等差数列的公差为，不妨设，则，且，即，根据，得到即有，再令等差数列的前n项和公式，求得，从而得出，即可求解.
【详解】由题意，等差数列满足
，
可得等差数列不是常数列，且中的项一定满足或，且项数为偶数，
设，等差数列的公差为，不妨设，
则，且，即，
由，则，即，
即有，
则
，
可得，解得，
即有的最大值为，的最大值为.
故选：A.
【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和前n项和公式的应用，以及绝对值的意义，着重考查了推理与运算能力，属于难题.
8．A
【知识点】求离散型随机变量的均值
【分析】先明确随机变量的可能取值，再列出分布列求解.
【详解】设为取出的2个球中红球的个数，则分布列为：
0 1 2
∴
∴，
故选：A.
【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望，还考查了理解辨析运算求解的能力，属于中档题.
9．AD
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、共轭复数的概念及计算
【分析】由复数的四则运算得到，进而逐项判断即可.
【详解】，
则，
所以的实部是，，
，
在复平面内对应的点坐标为，第四象限，
所以AD正确，BC错误，
故选：AD
10．ABD
【知识点】判断线面平行、证明线面垂直、求二面角、锥体体积的有关计算
【分析】做辅助线，根据面面平行分析可知由面面平行的性质可知点线段.对于A：根据向量的线性关系分析判断；对于B：根据面面平行的性质可得∥，即可得结果；对于C：根据垂直分析可知以为底面的三棱锥的体积最大值为，进而可得结果；对于D：根据平行的性质可知二面角等于二面角，结合二面角的定义运算求解.
【详解】分别取的中点，连接，
可知∥，∥，因为∥，则∥，
同理可得∥，∥，可知六点共面，平面即为平面，
又因为∥，平面，平面，得∥平面，同理∥平面，
且，平面，所以平面∥平面，
又因为点在底面正方形内（含边界），由面面平行的性质可知点线段.
对于A：若存在实数使得，可知三点共线，则点即为点，为的中点，所以，正确；
对于B：若，可知点即为点，
因为平面∥平面，且平面平面，平面平面，得∥，
又平面，平面，所以∥平面，即∥平面，正确；
对于C：因为平面，平面，则，又为正方形，则，
且，平面，可得平面，
由平面，可得，同理，
且，平面，可得平面，
结合正方体的对称性可知：正方体中点到平面的距离最大，
可知在正方体内，以为底面的三棱锥的体积最大值为，
可得，
所以三棱锥体积的最大值不为，错误；
对于D：设，连接，
因为平面∥平面，可知二面角等于二面角，
因为，且为的中点，则，
可知二面角的平面角为，
因为，则，
所以二面角的正切值为，正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点点睛：对于选项D，立体几何求角度问题，常常利用平行的性质进行转化，把复杂的线面关系转化为简单的线面关系，进而求解.
11．BC
【知识点】圆的弦长与中点弦
【分析】写出圆的方程，联立直线方程与圆方程，求出A，B的坐标，可知动直线过AB的中点，则当CD与AB垂直时四边形ACBD面积最大，代入四边形ACBD面积公式求解即可．
【详解】根据题意，圆M的圆心为M（0，1）且半径为3，则圆M的方程为x2+（y﹣1）2＝9，即x2+y2﹣2y﹣8＝0，
直线l1：x+y﹣4＝0与圆M相交于A，B两点，
则有，解可得：或，即A、B的坐标分别为（3，1），（0，4），
则|AB|＝＝3，且AB的中点为（，），
直线l2：2mx+2y﹣3m﹣5＝0，变形可得m（2x﹣3）+2y﹣5＝0，直线l2恒过定点（，）
设N（，），
当CD与AB垂直时，四边形ACBD的面积最大，
此时CD的方程为y﹣＝x﹣，变形可得y＝x+1，经过点M（0，1），
则此时|CD|＝6，
故S四边形ACBD的最大值＝S△ACB+S△ADB＝×6×3＝9，
故S四边形ACBD≤9，
故选：BC．
【点睛】关键点点睛：本题关键在于求得AB的中点与直线l2恒过定点是同一点，从而判断当CD与AB垂直时四边形ACBD面积最大．
12．/
【知识点】求双曲线的离心率或离心率的取值范围、双曲线定义的理解
【分析】根据双曲线的定义结合条件求解即可.
【详解】
因为，设，则有
根据双曲线的定义，
因为，所以
在直角三角形与直角三角形，
又因为
由此解得
所以，
故答案为：.
13．.
【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用正弦型函数的单调性求参数
【分析】利用在上单调递增可得，函数与的图象有三个交点，可转化为方程在上有两个不同的实数根可得答案.
【详解】当时，，
因为在上单调递增，
所以，解得，
又函数与的图象有三个交点，
所以在上函数与的图象有两个交点，
即方程在上有两个不同的实数根，
即方程在上有两个不同的实数根，
所以，解得，
当时，令，
由时，，
当时，，
此时，，
结合图象，所以时，函数与的图象只有一个交点，
综上所述，.
故答案为：.

【点睛】关键点点睛：解题的关键点是转化为方程在上有两个不同的实数根.
14．
【知识点】二项式定理与数列求和、求等比数列前n项和、代数中的组合计数问题
【分析】将分为，，，…，等7种情况，由组合数的性质，分析其中的取值情况，与二项式定理结合，可转化为等比数列的前7项和，计算可得答案．
【详解】，
设，且为整数，
则，
中6个数都为0或1，
其中没有一个为1时，有种情况，即有个；
其中有一个为1时，有种情况，即有个；
其中有2个为1时，有种情况，即有个；
…
故，同理可得：，
…
，
,
则.
故答案为:．
【点睛】关键点睛：本题比较综合，难度大，得到是解题的关键.
15．(1)证明见解析
(2)
(3)存在，
【知识点】求直线与平面的距离、已知面面角求其他量、证明线面平行
【分析】（1）根据线面平行的判定定理可求得结果；
（2）根据已知条件建立空间直角坐标，确定各点坐标，计算平面的法向量，再根据线面之间的距离公式可求得结果；
（3）假设存在，设，根据面面夹角的余弦值列得等式，求出值即可.
【详解】（1）连接，如图所示：
，
因为点分别为棱的中点，
所以是的中位线，
所以，
因为平面，平面，
所以平面；
（2）由（1）知直线到平面的距离等于点到平面的距离，
取中点，连接，
因为，
所以四边形为平行四边形，
所以，
因为平面，所以平面，
所以，
因为为中点，
所以，
，
以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
设平面的一个法向量为，
因为，所以，所以，
设，则所以， ，
所以直线到平面的距离；
（3）棱上存在点，使平面与平面夹角的余弦值为
设
设平面的一个法向量为
因为，所以，，
设，则，所以，
，
解得，
所以.
16．(1)
(2)存在，
(3)
【知识点】数量积的运算律、向量在几何中的其他应用、垂直关系的向量表示
【分析】（1）应用向量的加减法转化向量的数量积即可；
（2）应用向量的数量积表示向量的垂直计算求参；
（3）由已知得出三点共线，再结合基本不等式求出最小值即可．
【详解】（1），
，
．
（2）设，
，
，
，，
，解得，
∴存在一点，使得，．
（3），
∴，
，
，
，
，
，，三点共线，
，
当且仅当时，即为中点时等号成立，
而，
所以的最小值为．
17．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、利用函数单调性求最值或值域、作差法比较代数式的大小、独立事件的乘法公式
【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式求，作差可得，
分别在条件下确定差的正负，由此可得的大小关系，
（2）（i）由条件证明，由不等式性质可求的范围，由此确定一定错误的结论；
（ii）由条件，结合互斥事件概率加法公式和独立事件概率乘法公式求，
若选①，令，求出的范围，化简，结合二次函数性质求其范围；
若选③，令，结合对勾函数性质求的范围，化简，结合二次函数性质求其范围；
【详解】（1）猜测全部正确的概率为，
猜测全部错误的概率为，
因为，
所以当时，，
当时，，
当时，，
（2）（i）若不管扔硬币是正面还是反面，猜对的概率都大于猜错的概率，
则，解得，
所以，
所以，
因此，②④一定错误，
（ii）若扔四次硬币分别为“正正反反”，事件包含以下三种情况：
两个正都猜对，且两个反都猜对，其概率为；
有且只有一个正猜对，且有且只有一个反猜对，其概率为；
两个正都猜错，且两个反都猜错，其概率为；
所以，
若选择①，
令，则，其中，
所以，
所以，
记，，
由二次函数的性质可知，在区间上单调递增，
所以，
即的取值范围是
若选择③，
此时，又，
所以，所以，
令，则
，，
由对勾函数性质可得函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，
因为 ，，，
所以，，
记，，
由二次函数的性质可知，在区间上单调递减，
所以，即
【点睛】关键点点睛：本题第二小问解决的关键在于结合题意准确理解事件，利用基本事件表示，再结合概率运算公式求其概率表达式.
18．(1)
(2)或.
【知识点】根据a、b、c求椭圆标准方程、根据离心率求椭圆的标准方程、椭圆中三角形（四边形）的面积、求椭圆中的弦长
【分析】（1）根据椭圆特征得到椭圆方程；
（2）设出直线，联立直线与椭圆方程，由弦长公式和面积公式得到方程，求出答案
【详解】（1）由题意得，，所以，则，
又因为离心率为，所以，计算可得，所以，
所以椭圆的方程为.
（2）根据题意，当直线的斜率为0时，无法构成三角形，
所以设直线的方程为，
联立方程组整理得到，
设，则，
所以，
点到直线的距离为，
所以的面积，解得或，
故直线的方程为或.
19．（1）证明见解析；（2）.
【知识点】定义法判断或证明函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、函数奇偶性的应用
【解析】（1）任取，则，可得，利用奇偶性可得即可证明；
（2）利用函数的定义域。奇函数，以及单调性可得，解不等式组即可得的范围.
【详解】（1）任取，则，
因为在上是增函数，所以，
又因为是R上的奇函数，所以，
即，所以在上是增函数；
（2）因为是定义在上的奇函数，所以
有题意可得: ，解得 ，所以，
所以的范围是.
【点睛】本题主要考查了利用定义证明函数的单调性，考查了利用函数的奇偶性和单调性求自变量的范围，属于中档题.

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