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第二章　函数
课时作业4　函数的概念及其表示

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列图象中，不可能是函数图象的是 (　　)
解析：从选项D中图象可以看出x取很多值都对应着两个不同的y值，所以不满足函数的定义．
答案：D
2．下列各组函数中表示同一函数的是 (　　)
A．y＝与y＝
B．y＝lnex与y＝elnx
C．y＝x＋3与y＝
D．y＝x0与y＝
解析：选项D中两个函数都表示y＝1(x≠0)这一函数．
选项A中两个函数对应法则不同，分别是：y＝x和y＝|x|.
选项B中两个函数的定义域不同，前者x∈R，而后者x∈(0，＋∞)．
选项C中两个函数的定义域不同，前者x∈R，而后者x∈{x|x∈R且x≠1}．
答案：D
3．g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f等于 (　　)
A．1　　　　　　　　　　　 B．3
C．15 D．30
解析：令g(x)＝，得x＝，
∴f＝＝15.
答案：C
4．(2009·成都诊断性检测)若函数f(x)的定义域为{x|x>}，则函数f()的定义域为(　　)
A．{x|x>} 　 B．{x|x<且x≠0}
C．{x|x>2}∪{x|x<0} 　 D．{x|0解析：由已知得，>?2x(x－2)<0?0答案：D
5．已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点(－，0)对称，且满足f(x)＝－f(x＋)，f(－1)＝1，f(0)＝－2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)的值为 (　　)
A．－2 B．－1
C．0 D．1
解析：∵f(x)的图象关于点(－，0)对称，
∴f(x)＝－f(－x－)．
又f(x)＝－f(x＋)，∴f(x)为偶函数．
f(x＋3)＝f(x＋＋)＝－f(x＋)＝f(x)，
∴f(x)是以3为周期的周期函数．
∴f(1)＝f(－1)＝1，f(0)＝－2＝f(3)，f(2)＝f(－1)＝1.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＝0.
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2005)＝f(2005)＝f(1)＝1.
答案：D
6．(2010·黄冈质检)平面向量的集合A到A的映射f由f(x)＝x－2(x·a)a确定，其中a为常向量．若映射f满足f(x)·f(y)＝x·y对任意x、y∈A恒成立，则a的坐标可能是 (　　)
A．(，－) B．(，)
C．(，) D．(－，)
解析：由题意得f(x)·f(y)＝[x－2(x·a)a]·[y－2(y·a)a]＝x·y－4(x·a)·(y·a)＋4(x·a)·(y·a)·a2＝x·y，即4(x·a)·(y·a)·(a2－1)＝0对于任意x，y∈A恒成立，又x·a与y·a都恒不为零，因此有a2－1＝0，|a|＝1，结合各选项知，选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y＝f(x)的图象如图1所示．那么，f(x)的定义域是__________；值域是__________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是__________．
图1
解析：由图象知，函数y＝f(x)的图象包括两部分，一部分是以点(－3,2)和(0,4)为两个端点的一条曲线段，一部分是以(2,1)为起点到(3,5)结束的曲线段，故其定义域是[－3,0]∪[2,3]，值域为[1,5]，只与x的一个值对应的y值的取值范围是[1,2)∪(4,5]．
答案：[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]
8．(2009·河南调研)已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]＝__________.
x
1
2
3
f(x)
2
1
3
g(x)
3
2
1
解析：f[g(1)]＝f(3)＝3.
答案：3
9．对于实数x、y，定义新运算x*y＝ax＋by＋1，其中a、b是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算，若　　　　　
解析：
答案：-11
10．(2009·湖北八校联考)定义映射f：n→f(n)(n∈N?)如下表：
n
1
2
3
4
…
n
f(n)
2
4
7
11
…
f(n)
若f(n)＝4951，则n＝________.
解析：由f(2)＝f(1)＋2，f(3)＝f(2)＋3，f(4)＝f(3)＋4，归纳可知，f(n)＝f(n－1)＋n，累加可知f(n)＝2＋2＋3＋…＋n＝＋1＝4951，得n(n＋1)＝9900，又n∈N?得n＝99.
答案：99
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)．
解：求函数解析式的方法有很多种，其中待定系数法是一种常用的方法．
设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋b＋5a＝2x＋17，∴a＝2，b＝7，∴f(x)＝2x＋7.
12．(15分)设函数f(x)的定义域为R，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)．
(1)求f(0)与f(1)的值；
(2)求证：f()＝－f(x)；
(3)若f(2)＝p，f(3)＝q(p，q都是常数)，求f(36)的值．
解：这里的函数f(x)没有给出具体的解析式，(1)中要求f(0)与f(1)的值，就需要对已知条件中的x、y进行恰当的赋值．
(1)令x＝y＝0得f(0)＝f(0)＋f(0)，解得f(0)＝0；
令x＝1，y＝0得f(0)＝f(1)＋f(0)，解得f(1)＝0.
(2)证明：令y＝，得f(1)＝f()＋f(x)，
则f()＝－f(x)．
(3)令x＝y＝2得f(4)＝f(2)＋f(2)＝2p，令x＝y＝3得f(9)＝f(3)＋f(3)＝2q，令x＝4，y＝9得f(36)＝f(4)＋f(9)＝2p＋2q.
13．(20分)(2010·宜昌模拟)已知函数f(x)是定义域为R的偶函数，且f(x)＝f(x＋2)，当x∈[0,1]时，f(x)＝x.
(1)求x∈[2k－1,2k](k∈Z)时，f(x)的表达式；
(2)若A，B是f(x)图象上纵坐标相等的两点，且A，B两点的横坐标在[0,2]内，点C(1,0)，求△ABC面积的最大值．
解：(1)设x∈[2k－1,2k]，k∈Z，
则2k－x∈[0,1]，那么f(2k－x)＝2k－x.
又f(x)＝f(－x)＝f(－x＋2)
＝f(－x＋2k)＝2k－x，
∴x∈[2k－1,2k](k∈Z)时，f(x)＝2k－x.
(2)由(1)当x∈[1,2]时，f(x)＝2－x，
函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．
设A(1－t,1－t)，B(1＋t,1－t)，其中0则AB＝2t，S△ABC＝·2t·(1－t)≤.
即△ABC面积的最大值是.
课时作业5　函数的值域与最值

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若函数y＝2x的定义域是P＝{1,2,3}，则该函数的值域是 (　　)
A．{2,4,6}　　　　　　　　 B．{2,4,8}
C．{1,2，log32} D．{1,2，log23}
解析：由题意得，当x＝1时，2x＝2，当x＝2时，2x＝4，当x＝3时，2x＝8，即函数的值域为{2,4,8}，故应选B.
答案：B
2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为 (　　)
A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]
C．[a－1，b－1] D．无法确定
解析：∵函数y＝f(x＋1)的图象是由函数y＝f(x)的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，∴其值域仍为
[a，b]，故应选A.
答案：A
3．函数y＝(x>0)的值域是 (　　)
A．(0，＋∞) B．(0，)
C．(0，] D．[，＋∞)
解析：由y＝(x>0)得0(0，]，选C.
答案：C
4．函数y＝x2－2x＋3在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是(　　)
A．[1，＋∞) B．[0,2]
C．(－∞，2] D．[1,2]
解析：x＝1时，y取最小值2；令y＝3，得x＝0或x＝2.故1≤m≤2.
答案：D
5．若函数y＝f(x)的值域是[，3]，则函数F(x)＝f(x)＋的值域是(　　)
A．[，3] B．[2，]
C．[，] D．[3，]
图1
解析：令t＝f(x)，则t∈[，3]，F(t)＝t＋，根据其图象可知：
当t＝1时，F(x)min＝F(t)min＝F(1)＝2；
当t＝3时，F(x)max＝F(t)max＝F(3)＝，
故其值域为[2，]．
答案：B
6．(2009·海南/宁夏高考)用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值．设f(x)＝min{2x，x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为 (　　)
A．4 B．5
C．6 D．7
图2
解析：令2x＝x＋2?x1<0(舍)或x2＝2，
令2x＝10－x即2x＋x＝10，则2则可知f(x)的大致图象如图2所示．
故f(x)≤6，即选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y＝的值域是{y|y≤0或y≥4}，则此函数的定义域为__________．
解析：y＝＝2＋，
即≤－2或≥2，
由≤－2?≤x<3，
由≥2?3答案：[，3)∪(3，]
8．已知f(x)的值域是[，]，g(x)＝f(x)＋，则y＝g(x)的值域是__________．
解析：∵f(x)∈[，]，则2f(x)∈[，]，
1－2f(x)∈[，]．
令t＝∈[，]，
则f(x)＝，g(x)＝＋t，
即g(x)＝，对称轴t＝1，
g(x)在t∈[，]上单调递增，g(x)∈[，]．
答案：[，]
9．函数f(x)＝＋2的最小值为__________．
解析：由?
∴x≥4或x≤0.
又x∈[4，＋∞)时，f(x)单调递增?f(x)≥f(4)＝1＋2；而x∈(－∞，0]时，f(x)单调递减?f(x)≥f(0)＝0＋4＝4.
故最小值为1＋2.
答案：1＋2
10．(2009·泉州质检)在实数的运算法则中，我们补充定义一种新运算“?”如下：当a≥b时，a?b＝a；当a解析：
课时作业6　函数的单调性

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·福建高考)下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)”的是 (　　)
A．f(x)＝　　　　　　 B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)
解析：∵对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1f(x2)，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选A.
答案：A
2．(2009·辽宁高考)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)A. B.
C. D.
解析：f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在
[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)答案：A
3．函数y＝loga(x2＋2x－3)，当x＝2时y>0，则此函数的单调递减区间是 (　　)
A．(－∞，－3) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－1，＋∞)
解析：当x＝2时，y＝loga5>0，
∴a>1，
由x2＋2x－3>0?x<－3或x>1，
易见函数t＝x2＋2x－3在(－∞，－3)上递减，
故函数y＝loga(x2＋2x－3)(其中a>1)也在(－∞，－3)上递减．
答案：A
4．已知f(x)＝loga[(3－a)x－a]是其定义域上的增函数，那么a的取值范围是(　　)
A．(0,1) B．(1,3)
C．(0,1)∪(1,3) D．(3，＋∞)
解析：由题知，或，解得1答案：B
5．设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数，已知x∈(0,1)时，，则函数f(x)在(1,2)上
(　　)
A．是增函数，且f(x)<0 B．是增函数，且f(x)>0
C．是减函数，且f(x)<0 D．是减函数，且f(x)>0
解析：
答案：D
6．(2010·河南六市一模)奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，f(2)＝0，则不等式(x－1)f(x＋1)>0的解集为 (　　)
A．(－2，－1)∪(1,2) B．(－3,1)∪(2，＋∞)
C．(－3，－1) D．(－2,0)∪(2，＋∞)
解析：奇函数f(x)在区间(－∞，0)上单调递减，在区间
(0，＋∞)上单调递减，由f(2)＝0得f(－2)＝0，则不等式
(x－1)f(x＋1)>0，即
或
其解集为(－3，－1)，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y＝ln的单调递增区间是__________．
解析：本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝>0.故函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间即为原函数的递增区间．
答案：(－1,1)
8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是__________．
解析：y＝－(x－3)|x|＝
图1
作出该函数的图象，观察图象知递增区间为.
答案：
9．若函数f(x)＝loga(2x2＋x)(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为__________．
解析：当x∈(0，)时，0<2x2＋x<1，又f(x)>0，则0由2x2＋x>0，解得：x<－或x>0，则f(x)的递增区间为(－∞，－)．
答案：(－∞，－)
10．(2008·湖南高考)已知函数f(x)＝(a≠1)．
(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；
(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)∵a>0且a≠1，要使f(x)有意义，只需3－ax≥0，即x≤.
∴x∈；
(2)若a＝0，f(x)＝－不合题意；
若a<0，y＝是(0,1]上的增函数，且a－1<0，
∴f(x)是(0,1]上的减函数；
若a>0，∵y＝是(0,1]上的减函数，故需a－1>0，∴a>1，另一方面，f(x)的定义域为，
∴≥1，∴a≤3，∴a∈(1,3]．
综上知a∈(－∞，0)∪(1,3]．
答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3]
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知函数f(x)＝(x∈R)，求f(x)的单调区间，并加以证明．
解：解法1：由函数的单调区间(增区间，减区间)的定义入手分析，取x1∵f(x)＝(x∈R)是奇函数，
∴只需研究(0，＋∞)上f(x)的单调区间即可．
任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1f(x1)－f(x2)＝－＝.
∵x＋1>0，x＋1>0，x2－x1>0，
而x1，x2∈(0,1)时，x1x2－1<0；
x1，x2∈[1，＋∞)时，x1x2－1≥0，
∴当x1，x2∈(0,1)时，f(x1)－f(x2)<0，函数f(x)是增函数；
当x1，x2∈[1，＋∞)时，f(x1)－f(x2)≥0，函数f(x)是减函数．
又f(x)是奇函数，∴f(x)在(－1,0)上是增函数，在
(－∞，－1]上是减函数．
又x∈[0,1)，u∈(－1,0]上恒有f(x)≥f(u)，等号只在x＝u＝0时取到，故f(x)在(－1,1)上是增函数．
综上知，函数f(x)在(－1,1)上是增函数，在(－∞，－1]和[1，＋∞)上是减函数．
解法2：f′(x)＝()′＝，
f′(x)>0?x∈(－1,1)，即在(－1,1)上函数单调递增．
f′(x)≤0?x∈[1，＋∞)∪(－∞，－1]即在(－∞，－1]和[1，＋∞)上函数单调递减．
综上知，函数f(x)的单调增区间为(－1,1)，单调减区间为(－∞，－1]和[1，＋∞)．
12．(15分)函数f(x)的定义域为D＝{x|x>0}，且满足：对于任意m，n∈D，都有f(m·n)＝f(m)＋f(n)．
(1)求f(1)的值；
(2)如果f(2)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2，且f(x)在
(0，＋∞)上是单调增函数，求x的取值范围．
解：(1)令m＝n＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.
(2)f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)＝2，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤2?f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)．
因为f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f(3x＋1)＋f(2x－6)≤f(4)?
?313．(20分)已知函数f(x)＝lnx－.
(Ⅰ)判定函数f(x)的单调性；
(Ⅱ)设a>1，证明：<.
解：(Ⅰ)∵f′(x)＝－
＝－＝－
＝＝－.
又∵函数f(x)的定义域为x>0，
∴≤0，
而在(0，＋∞)上，只有当x＝1时，f′(x)＝0，
∴f(x)是定义域上的减函数．
(Ⅱ)由(Ⅰ)f(x)是定义域上的减函数，
∴当a>1时，f(a)即lna－<0，即lna<，
又∵a－1>0，∴<成立．
课时作业7　函数的奇偶性与周期性

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列函数中是偶函数的是 (　　)
①f(x)＝lg(1＋x2) ②g(x)＝2－|x|
③h(x)＝tan2x ④s(x)＝
A．①② B．①④
C．②④ D．①②④
解析：f(x)，g(x)，h(x)显然为偶、偶、奇函数．
对于s(x)，
当x<－1时，s(x)＝x＋2，s(－x)＝x＋2＝s(x)．
当x>1时，s(x)＝－x＋2，s(－x)＝－x＋2＝s(x)；
|x|≤1时，s(x)＝0，s(－x)＝0＝s(x)．
∴s(x)也为偶函数．
答案：D
2．设f(x)是增函数，则下列结论一定正确的是 (　　)
A．y＝[f(x)]2是增函数　　　 B．y＝是减函数
C．y＝－f(x)是减函数 D．y＝|f(x)|是增函数
解析：根据函数单调性定义判定，设x1则f(x1)－f(x2)，
但[f(x1)]2<[f(x2)]2，>，
|f(x1)|<|f(x2)|，三个关系式不一定成立．
答案：C
3．已知f(x)＝lg(－ax)是一个奇函数，则实数a的值是 (　　)
A．1 B．－1
C．10 D．±1
解析：据题意知：f(x)＋f(－x)＝lg(－ax)＋lg(＋ax)＝0，
即lg[()2－(ax)2]＝lg[(1－a2)x2＋1]＝0，
即(1－a2)x2＝0，而x不恒为0，
则必有1－a2＝0?a＝±1，代入检验，函数定义域均关于原点对称．
答案：D
4．(2008·福建高考)函数f(x)＝x3＋sinx＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为(　　)
A．3 B．0
C．－1 D．－2
解析：∵f(a)＝a3＋sina＋1＝2，
∴a3＋sina＝1，
而f(－a)＝－a3－sina＋1＝－1＋1＝0，故选B.
答案：B
5．(2009·全国卷Ⅰ)函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)与f(x－1)都是奇函数，则(　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)是奇函数
C．f(x)＝f(x＋2) D．f(x＋3)是奇函数
解析：由f(x＋1)为奇函数，可知f(x)关于点(1,0)对称，
f(x－1)为奇函数，可知f(x)关于点(－1,0)对称，
则f(x)为周期函数且T＝4，
则f(x＋3)＝f(x－1)，故选D.
(排除法)若取函数f(x)＝sinπx，g(x)＝cosx，f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，
f(x)＝sinπx左、右分别移1个单位都是奇函数，
g(x)＝cosx左、右分别移1个单位也都是奇函数，所以排除A、B.
又f(x)的周期为2，g(x)的周期为4，所以排除C，故选D.
答案：D
6．(2009·四川高考)已知函数f(x)是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf(x＋1)＝(1＋x)f(x)，则f(f())的值是 (　　)
A．0 B.
C．1 D.
解析：由已知令x＝0，则f(0)＝0，
由已知令x＝－，得－f()＝f(－)＝f()，∴f()＝0.
又令x＝，得f()＝f()，
又∵f()＝0，∴f()＝0.
再令x＝，得f()＝f()，
∵f()＝0，∴f()＝0.
∴f(f())＝f(0)＝0.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·重庆高考)若f(x)＝＋a是奇函数，则a＝________.
解析：∵f(x)是{x|x≠0}上的奇函数，
∴f(－1)＝－f(1)．∴a＝.
答案：
8．(2008·上海高考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数．若当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝lgx，则满足f(x)>0的x的取值范围是__________．
图1
解析：根据题意画出函数f(x)的草图，由图象可知f(x)>0的x的取值范围是－11.
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
9．设周期为4的奇函数f(x)的定义域为R，且当x∈[4,6)时，f(x)＝2－x2，则f(－1)的值为__________．
解析：∵f(－1)＝－f(1)＝－f(1＋4)＝－f(5)＝－(2－52)＝23.
答案：23
10．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，对于x∈R都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，且f(－4)＝－2，当x1，x2∈[0,3]，且x1≠x2时，都有>0.则给出下列命题：
①f(2008)＝－2；
②函数y＝f(x)图像的一条对称轴为x＝－6；
③函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数；
④方程f(x)＝0在[－9,9]上有4个根．
其中所有正确命题的序号为________．
解析：当x＝－3时，f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)＝2f(3)，∴f(3)＝0，∴f(x＋6)＝f(x)，即函数y＝f(x)是周期为6的偶函数，∴x＝－6为其一条对称轴；又f(－4)＝－2，∴f(2008)＝f(334×6＋4)＝f(4)＝f(－4)＝－2；由题意函数y＝f(x)在区间[0,3]上单调递增，又函数y＝f(x)是周期为6的偶函数，∴y＝f(x)在[－9，－6]上单调递减；∵f(3)＝f(9)＝f(－3)＝f(－9)＝0，∴f(x)＝0在区间[－9,9]上有4个根，综上应填①②③④.
答案：①②③④
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知函数y＝f(x)(x∈R且x≠0)，对任意非零实数x1，x2恒有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，试判断函数f(x)的奇偶性．
解：令x1＝－1，x2＝x得：
f(－x)＝f(－1)＋f(x) ①
再令x1＝1，x2＝－1得：
f(－1)＝f(1)＋f(－1)，即f(1)＝0 ②
再取x1＝x2＝－1得：
f(1)＝f(－1)＋f(－1) ③
由②、③得：f(－1)＝0，
代入①得：f(－x)＝f(x)
∴f(x)为偶函数．
12．(15分)设f(x)是周期函数，且最小正周期为2，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时，f(x)＝－x，试求函数f(x)在区间[－1,3]上的表达式．
解：∵f(－x)＝f(2－x)＝f[1＋(1－x)]
＝f[1－(1－x)]＝f(x)，∴f(x)是偶函数．
于是由“当－1≤x≤0时，f(x)＝－x”可知当0≤x≤1时，f(x)＝x；
进而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0?f(x)＝f(x－2)＝－(x－2)＝－x＋2；
当2≤x≤3时，0≤x－2≤1?f(x)＝f(x－2)＝x－2.
13．(20分)(2009·湖北模拟)已知函数f(x)＝x|x＋m|＋n，其中m，n∈R.
(Ⅰ)求证：m2＋n2＝0是f(x)是奇函数的充要条件；
(Ⅱ)若常数n＝－4，且f(x)<0对任意x∈[0,1]恒成立，求m的取值范围．
证明：(Ⅰ)充分性：若m2＋n2＝0，则m＝n＝0，
∴f(x)＝x|x|，
又有f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
必要性：若f(x)为奇函数，∵x∈R，∴f(0)＝0，即n＝0，∴f(x)＝x|x＋m|.
由f(1)＝－f(－1)，有|m＋1|＝|m－1|，∴m＝0.
∴f(x)为奇函数，则m＝n＝0，即m2＋n2＝0.
∴m2＋n2＝0是f(x)为奇函数的充要条件．
解：(Ⅱ)若x＝0时，m∈R，f(x)<0恒成立；
若x∈(0,1]时，原不等式可变形为|x＋m|<－.
即－x＋∴只需对x∈(0,1]，满足
对①式f1(x)＝－x＋在(0,1]上单调递减，
∴m对②式，设f2(x)＝－x－，根据单调函数的定义可证明f2(x)在(0,1]上单调递增，
∴f2(x)max＝f(1)，∴m>f2(1)＝－5 ④
由③④知－5课时作业8　反函数

时间：45分钟　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设函数f(x)＝log2x＋3，x∈[1，＋∞)，则f－1(x)的定义域是 (　　)
A．(0,1) B．[1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．R
解析：由x≥1，得log2x≥0，
∴y＝log2x＋3≥3，
∵反函数的定义域就是原函数的值域，
∴f－1(x)的定义域为[3，＋∞)．
答案：C
2．函数f(x)＝2x＋1的反函数的图象大致是 (　　)
解析：由y＝2x＋1得x＋1＝log2y，x＝log2y－1(y>0)，即函数f(x)＝2x＋1的反函数是f－1(x)＝log2x－1(x>0)，注意到函数f－1(x)在(0，＋∞)上是增函数，结合各选项知，选A.
答案：A
3．函数y＝ln，x∈(1，＋∞)的反函数为 (　　)
A．y＝，x∈(0，＋∞)
B．y＝，x∈(0，＋∞)
C．y＝，x∈(－∞，0)
D．y＝，x∈(－∞，0)
解析：由y＝ln得x＝，∵x>1，
∴>1，∴>0，ey>1，∴y>0，
因此y＝ln的反函数为y＝，x∈(0，＋∞)．
答案：B
4．若函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝3x，则f－1(－)的值是(　　)
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：当x>0时，－x<0，∴f(x)＝－f(－x)＝－3－x，令f(x)＝－，可解得x＝2，即f－1(－)＝2.
答案：B
5．(2009·湖北八校联考)已知函数f(x)＝(ex＋ex－2)(x<1)(其中e是自然对数的底数)的反函数为f－1(x)，则有 (　　)
A．f－1()f－1()
C．f－1()f－1(2)
解析：∵函数f(x)＝(ex＋ex－2)＝·ex是一个单调递增函数，∴f－1(x)在(0，＋∞)上也是单调递增函数．
又∵x<1，∴f(x)＝·ex<·e＝.
－2＝＝，
∵2∵2.7∴(e－)2－>0，∴>，∴<<2.
∴在x<1时，函数f(x)＝(ex＋ex－2)的值域为
(0，)，其中<<2，故选A.
答案：A
6．(2010·唐山一模)函数y＝(x≤1且x∈R)的图象与其反函数图象的交点共有(　　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
解析：求其反函数为y＝1－x2(x≥0)，由，判断其解的个数即可．
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y＝(x>1)的反函数是__________．
解析：依题意，由y＝(x>1)得x＝(y>1)，所以函数y＝(x>1)的反函数是y＝(x>1)．
答案：y＝(x>1)
8．(2009·成都一诊)设函数f(x)＝e2(x－1)，y＝f－1(x)为y＝f(x)的反函数，若函数g(x)＝，
则g[g(－1)]＝__________.
解析：依题意得g(－1)＝－1＋2＝1，g[g(－1)]＝g(1)＝f－1(1)．设f－1(1)＝t，则有f(t)＝1，即e2(t－1)＝1，t＝1，所以g[g(－1)]＝1.
答案：1
9．已知函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，则实数a的值为__________．
解析：因为f－1(x)的图象的对称中心是(－1,3)，所以f(x)的图象的对称中心为(3，－1)．又由f(x)＝＝－1－，则f(x)的图象可由g(x)＝－的图象中心(0,0)平移到(3，－1)得到，所以a＋1＝3，即a＝2.
答案：2
10．(2009·重庆二次调研)若函数f(x)＝log2(4x－2)，则方程f－1(x)＝x的解是__________．
解析：由f－1(x)＝x，得x＝f(x)，∴x＝log2(4x－2)，即2x＝4x－2，∴2x＝2.∴x＝1.
答案：x＝1
三、解答题(共50分)
11．(15分)求y＝lg(x－)的反函数．
解：由x－>0，得x>，
∴　∴x≥2.
∴lg(x－)＝lg≤lg＝lg2.
由y＝lg(x－)．得
x－＝10y，＝x－10y.
∴x2－4＝x2－2·10yx＋102y.
∴x＝(4·10－y＋10y)．
故f－1(x)＝(10x＋4·10－x)，x∈(－∞，lg2]．
12．(15分)设函数f(x)＝2x－1有反函数f－1(x)，g(x)＝log4(3x＋1)，
(1)若f－1(x)≤g(x)，求x的取值范围D；
(2)设H(x)＝g(x)－f－1(x)，当x∈D时，求函数H(x)的值域及它的反函数H－1(x)．
解：(1)∵f(x)＝2x－1的定义域是R，值域是(－1，＋∞)．由y＝2x－1解得x＝log2(y＋1)(y>－1)，
∴f－1(x)＝log2(x＋1)(x>－1)，于是f－1(x)≤g(x)即为log2(x＋1)≤log4(3x＋1)，即
∴0≤x≤1，即D＝[0,1]．
(2)H(x)＝g(x)－f－1(x)＝log4(3x＋1)－log2(x＋1)
＝log2＝log2(3－)．
∵0≤x≤1，∴1≤3－≤2.
∴0≤log2(3－)≤.
∴H(x)的值域为[0，]．
由y＝log2(3－)得3－＝22y，
∴＝3－4y，x＋1＝，x＝，y∈[0，]．
∴H－1(x)＝(x∈[0，])．
13．(20分)(2009·上海高考)已知函数y＝f－1(x)是y＝f(x)的反函数．定义：若对给定的实数a(a≠0)，函数y＝f(x＋a)与y＝f－1(x＋a)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a和性质”；若函数y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数，则称y＝f(x)满足“a积性质”．
(1)判断函数g(x)＝x2＋1(x>0)是否满足“1和性质”，并说明理由；
(2)求所有满足“2和性质”的一次函数；
(3)设函数y＝f(x)(x>0)对任何a>0，满足“a积性质”．求y＝f(x)的表达式．
解：(1)函数g(x)＝x2＋1(x>0)的反函数是g－1(x)＝(x>1)，∴g－1(x＋1)＝(x>0)，
而g(x＋1)＝(x＋1)2＋1(x>－1)，其反函数为y＝－1(x>1)，
故函数g(x)＝x2＋1(x>0)不满足“1和性质”．
(2)设函数f(x)＝kx＋b(x∈R)满足“2和性质”，k≠0.
∴f－1(x)＝(x∈R)，∴f－1(x＋2)＝，
而f(x＋2)＝k(x＋2)＋b(x∈R)，得反函数为y＝，由“2和性质”定义可知＝对x∈R恒成立，∴k＝－1，b∈R，即所求一次函数为f(x)＝－x＋b(b∈R)．
(3)设a>0，x0>0，且点(x0，y0)在y＝f(ax)图象上，则(y0，x0)在函数y＝f－1(ax)图象上，故可得ay0＝f(x0)＝af(ax0)．令ax0＝x，则a＝，∴f(x0)＝f(x)，即f(x)＝.
综上所述，f(x)＝(k≠0)，此时f(ax)＝，其反函数就是y＝，而f－1(ax)＝，故y＝f(ax)与y＝f－1(ax)互为反函数．

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