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课时作业13　函数的应用

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB(1 MB＝210 KB)内存需经过的时间为 (　　)
A．15分钟　　　　　　　　 B．30分钟
C．45分钟 D．60分钟
解析：64 MB＝26×210 KB＝216 KB，所以需要复制15次，每复制一次3分钟，共需要45分钟，故选C.
答案：C
2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06×(0.5×[m]＋1)确定，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.8]＝4，[3.1]＝4)，若从甲地到乙地一次通话时间为5.5分钟，则电话费为 (　　)
A．3.71元 B．3.97元
C．4.24元 D．4.77元
解析：由题设知，f(5.5)＝1.06×(0.5×[5.5]＋1)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24，故选C.
答案：C
3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 (　　)
A．45.606 B．45.6
C．45.56 D．45.51
解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，
∴总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)
＝－0.15x2＋3.06x＋30(x≥0)．
∴当x＝10时，Smax＝45.6(万元)．故选B.
答案：B
4．(2009·山东日照一模)某工厂第三年的产量比第一年的产量增长44%，若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是 (　　)
A．x>22%
B．x<22%
C．x＝22%
D．x的大小由第一年的产量确定
解析：设第一年的产量为A，则第三年的产量为A(1＋x)2，由题意知：A(1＋x)2＝A(1＋44%)，即(1＋x)2＝1＋44%>1＋2x，
∴x<22%，故选B.
答案：B
5．一个体户有一种货，如果月初售出可获利100元，再将本利都存入银行，已知银行月息为2.4%.如果月末售出，可获利120元，但要付保管费5元，这个个体户为获利最大，这种货 (　　)
A．月初售出好 B．月末售出好
C．月初或月末售出一样 D．由成本费的大小确定
解析：设成本费为x元，则月初售出(100＋x)(1＋2.4%)＝102.4＋1.024x，
月末售出x＋120－5＝x＋115，
要比较102.4＋1.024x与x＋115的大小需由x决定．
要由成本费的大小确定．
答案：D
6．直角梯形ABCD如图1(1)，动点P从B点出发，沿B→C→D→A运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．如果函数y＝f(x)的图象如图1(2)所示，则△ABC的面积为 (　　)
图1
A．10 B．16
C．18 D．32
解析：由y＝f(x)的图象可知，当x由0→4时，f(x)由0变成最大，说明BC＝4.
由x从4→9时f(x)不变，说明此时P点在DC上，即CD＝5.
∴AD＝14－9＝5，过D作DG⊥AB，则DG＝BC＝4.
∴AG＝3，由此可求出AB＝3＋5＝8。
S△ABC＝AB·BC＝×8×4＝16，故应选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知镭经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩量为y，则x、y之间的函数关系式为__________．
答案：y＝0.9576
8．从盛满64升纯酒精的容器里倒出16升，然后用水填满；再倒出16升混合溶液，用水填满，这样继续下去，一共倒了三次，这时容器里还有纯酒精________升．
解析：每按题目要求进行一次，纯酒精会成为原来的，故3次后，剩余纯酒精为64×()3＝27升．
答案：27
9．(2010·福建质检)为缓解南方部分地区电力用煤紧张的局面，某运输公司提出五种运输方案．据预测，这五种方案均能在规定时间T完成预期的运输任务Q0，各种方案的运煤总量Q与时间t的函数关系如图2所示．在这五种方案中，运煤效率(单位时间的运煤量)逐步提高的是________．(填写所有正确的图象的编号)
图2
解析：题目所要求的图象是增得越来越快的，即切线斜率越来越大的，显然②符合题意．
答案：②
10．(2009·浙江高考)某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：
高峰时间段用电价格表
高峰月用电量
(单位：千瓦时)
高峰电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.568
超过50至200的部分
0.598
超过200的部分
0.668
低谷时间段用电价格表
低谷月用电量
(单位：千瓦时)
低谷电价
(单位：元/千瓦时)
50及以下的部分
0.288
超过50至200的部分
0.318
超过200的部分
0.388
若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元(用数字作答)．
解析：A＝50×0.568＋150×0.598＋50×0.288＋50×0.318＝148.4.
答案：148.4
三、解答题(共50分)
11．(15分)某公司拟投资100万元，有两种获利的方式可供选择：一种是年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；另一种是年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪一种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少元？
解：本金100万元，年利率10%，按单利计算，5年后的本息和是100×(1＋10%×5)＝150(万元)．
本金100万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5年后的本息和是100×(1＋9%)5＝153.86(万元)．
由此可见，按年利率9%每年复利一次计算的要比年利率10%单利计算的更有利，5年后可多得利息3.86万元．
12．(15分)某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件，如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低值x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，一星期多卖出24件．
(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；
(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？
解：(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期的获利为f(x)，则依题意有f(x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)．
又由已知条件，24＝k·22，于是有k＝6，所以f(x)＝－6x3＋126x2－432x＋9072，x∈[0,21]．
(2)根据(1)，我们有f′(x)＝－18x2＋252x－432
＝－18(x－2)(x－12)，
故x＝12时，f(x)达到极大值，因为f(0)＝9072，f(12)＝11664，所以定价为30－12＝18元能使一个星期的商品销售利润最大．
13．(20分)(2009·江苏高考)按照某学者的理论，假设一个人生产某产品的单件成本为a元，如果他卖出该产品的单价为m元，则他的满意度为；如果他买进该产品的单价为n元，则他的满意度为.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为h1和h2，则他对这两种交易的综合满意度为.
现假设甲生产A，B两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A，B两种产品的单件成本分别为3元和20元．设产品A、B的单价分别为mA元和mB元，甲买进A与卖出B的综合满意度为h甲，乙卖出A与买进B的综合满意度为h乙．
(1)求h甲和h乙关于mA、mB的表达式；当mA＝mB时，求证：h甲＝h乙；
(2)设mA＝mB，当mA、mB分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为h0，试问能否适当选取mA、mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立？试说明理由．
解：设mA＝x，mB＝y.
(1)甲买进产品A的满意度：h1甲＝；甲卖出产品B的满意度：h2甲＝；
甲买进产品A和卖出产品B的综合满意度：
h甲＝；
同理，乙卖出产品A和买进产品B的综合满意度：
h乙＝.
当x＝y时，h甲＝＝＝，h乙＝＝＝，
故h甲＝h乙．
(2)当x＝y时，由(1)知h甲＝h乙＝，
因为＝≤，且等号成立当且仅当y＝10.
当y＝10时，x＝6.
因此，当mA＝6，mB＝10时，甲、乙两人的综合满意度均最大，且最大的综合满意度为.
(3)由(2)知h0＝.
因为h甲h乙＝
＝≤，
所以，当h甲≥，h乙≥时，有h甲＝h乙＝.
因此，不能取到mA，mB的值，使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立，但等号不同时成立．

课时作业9　二次函数

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝ax2＋bx＋6满足条件f(－1)＝f(3)，则f(2)的值为 (　　)
A．5　　　　　　　　　 B．6
C．8 D．与a、b值有关
解析：由f(－1)＝f(3)知，对称轴x＝－＝1，∴b＝－2a.∴f(2)＝4a＋2b＋6＝4a＋2×(－2a)＋6＝6.
答案：B
2．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过一、二、四象限，则直线y＝ax＋b不经过第________象限． (　　)
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：由题意知∴
∴直线y＝ax＋b不经过第二象限．
答案：B
3．已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是(　　)
A．f(1)≥25 B．f(1)＝25
C．f(1)≤25 D．f(1)>25
解析：y＝f(x)的对称轴是x＝，可知f(x)在[，＋∞)上递增，由题设只需≤－2?m≤－16，
∴f(1)＝9－m≥25.
答案：A
4．不等式f(x)＝ax2－x－c>0的解集为{x|－2解析：由解得
∴f(x)＝－x2－x＋2，∴f(－x)＝－x2＋x＋2，由图象知选C.
答案：C
5．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图象是下图中的(　　)
解析：首先注意到a＋b＋c＝0即是令解析式中x＝1得到的，即当x＝1时y＝0，也就是抛物线必过(1,0)点，因而D显然不对，又a＋b＋c＝0，a>b>c，可得a>0，c<0，由a>0可知C不对；由c<0可知B不对，故应选A.
答案：A
6．(2009·宁夏银川一模)二次函数y＝a(a＋1)x2－(2a＋1)x＋1，当a＝1,2,3，…，n，…时，其图象在x轴上截得的弦长依次为d1，d2，…，dn，…，则d1＋d2＋…＋dn为 (　　)
A. B.
C. D.
解析：令a(a＋1)x2－(2a＋1)x＋1＝0，
解得x＝或x＝，
∴函数图象与x轴的两交点的横坐标自左至右分别为和，
∴d1＋d2＋…＋dn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．若f(x)＝g(x)＝x2－x(x∈R)，则方程f[g(x)]＝x的解为__________．
解析：当g(x)＝x2－x≥2，即x≤－1或x≥2时，方程f[g(x)]＝x可变为x2－x－1＝x，解得x＝1＋.
当g(x)＝x2－x<2，即－1所以方程f[g(x)]＝x的解为x＝1或x＝1＋.
答案：x＝1或x＝1＋
8．已知A＝[1，b](b>1)，对于f(x)＝(x－1)2＋1，当x∈A时，f(x)∈A，则b的值是__________．
解析：x∈[1，b]时，f(x)是增函数，故x＝b时，f(x)取最大值，即f(b)＝b，得(b－1)2＋1＝b，解得b＝3或b＝1(舍去)．
答案：3
9．若关于x的方程3x2－5x＋a＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，则a的取值范围是________．
图1
解析：设f(x)＝3x2－5x＋a(如图1所示)，则f(x)＝0的两根分别在(－2,0)、(1,3)内的充要条件是
解之，得－12答案：(－12,0)
10．(2008·浙江高考)已知t为常数，函数y＝|x2－2x－t|在区间[0,3]上的最大值为2，则t＝________.
解析：令m＝x2－2x∈[－1,3]，y＝|m－t|的最大值在m＝－1或m＝3时取得，|－1－t|2－|3－t|2＝8(t－1)，当t≥1时，ymax＝|t＋1|＝t＋1＝2，∴t＝1.
当t<1时，ymax＝|3－t|＝3－t＝2，t＝1(舍去)，综合分析得t＝1.
答案：1
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知二次函数f(x)的二次项系数为a，且不等式f(x)>－2x的解集为(1,3)．
(1)若方程f(x)＋6a＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式；
(2)若f(x)的最大值为正数，求实数a的取值范围．
解：本题主要考查二次函数、方程的根与系数关系，考查运用数学知识解决问题的能力．
(1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)．
∴f(x)＋2x＝a(x－1)(x－3)，且a<0，因而
f(x)＝a(x－1)(x－3)－2x＝ax2－(2＋4a)x＋3a. ①
由方程f(x)＋6a＝0，得ax2－(2＋4a)x＋9a＝0.②
∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a－1＝0.解得a＝1或a＝－.
由于a<0，舍去a＝1，将a＝－代入①得
f(x)的解析式为f(x)＝－x2－x－.
(2)由f(x)＝ax2－2(1＋2a)x＋3a
＝a2－
及a<0，可得f(x)的最大值为－.
由
解得a<－2－或－2＋故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是
(－∞，－2－)∪(－2＋，0)．
12．(15分)设f(x)＝x2＋ax＋3－a，若f(x)在闭区间[－2,2]上恒为非负数，求实数a的取值范围．
解：f(x)＝x2＋ax＋3－a＝2＋3－a－.
f(x)≥0在x∈[－2,2]上恒成立，即f(x)在[－2,2]上的最小值非负．
(1)当－<－2，即a>4时，ymin＝f(－2)＝7－3a，由7－3a≥0，得a≤，这与a>4矛盾，此时a不存在；
(2)当－2≤－≤2，即－4≤a≤4时，ymin＝f＝3－a－，由3－a－≥0，得－6≤a≤2，此时－4≤a≤2；
(3)当－>2，即a<－4时，ymin＝f(2)＝7＋a，由7＋a≥0，得a≥－7，此时－7≤a<－4.
综上，所求a的范围是[－7,2]．
13．(20分)(2010·吉林检测)已知函数f(x)＝ax2＋4x＋b(a<0，a，b∈R)，设关于x的方程f(x)＝0的两实根为x1、x2，方程f(x)＝x的两实根为α，β.
(1)若|α－β|＝1，求a、b的关系式；
(2)若α<1<β<2，求证(x1＋1)(x2＋1)<7.
(1)解：由f(x)＝x得ax2＋3x＋b＝0(a<0，a，b∈R)有两个不等实根为α、β，
∴Δ＝9－4ab>0，α＋β＝－，α·β＝
由|α－β|＝1得(α－β)2＝1，
即(α＋β)2－4αβ＝－＝1，
∴9－4ab＝a2，即a2＋4ab＝9(a<0，a，b∈R)
(2)证明：∵α＋β＝－，α·β＝，x1＋x2＝－，
x1·x2＝，
∴x1＋x2＝(α＋β)，x1·x2＝αβ
则(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋x1＋x2＋1＝αβ＋(α＋β)＋1
又由α<1<β<2
∴α＋β<3∴αβ<2，∴(α＋β)<4.
∴αβ＋(α＋β)＋1<7.综上所述，(x1＋1)(x2＋1)<7.
课时作业10　指数与指数函数

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2010·北京海淀模拟)函数f(x)＝2x＋1的反函数y＝f－1(x)的图象是 (　　)
解析：y＝f－1(x)＝log2x－1，故选A.
答案：A
2．设y1＝40.9，y2＝80.44，y3＝()－1.5，则 (　　)
A．y3>y1>y2　　　　　 B．y2>y1>y3
C．y1>y2>y3 D．y1>y3>y2
解析：要比较y1，y2，y3的大小，必须先将y1，y2，y3化成底数相同的指数，然后才能比较．
∵y1＝40.9＝21.8，y2＝80.44＝21.32，
y3＝()－1.5＝21.5,1.8>1.5>1.32，
∴根据指数函数的性质可得y1>y3>y2.
答案：D
3．已知函数f(x)＝a－|x|(a>0，a≠1)，且f(3)＝8，则 (　　)
A．f(2)>f(－2) B．f(－3)>f(－2)
C．f(1)>f(2) D．f(－3)>f(－4)
解析：由f(3)＝a－3＝8得a＝，
∴f(x)＝()－|x|＝2|x|，
即当x≥0时，函数f(x)单调递增；
当x≤0时，函数f(x)单调递减．
∴f(－3)>f(－2)．
答案：B
4．函数f(x)＝a|x＋1|(a>0，a≠1)的值域为[1，＋∞)，则
f(－4)与f(1)的关系是 (　　)
A．f(－4)>f(1) B．f(－4)＝f(1)
C．f(－4)解析：易知a>1，则f(－4)＝a3，f(1)＝a2，
∴f(－4)>f(1)．
答案：A
5．(2008·山东高考)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是
(　　)
A．[1,3] B．[2，]
C．[2,9] D．[，9]
解析：画出可行域如图1

由得交点A(1,9)，由
得交点B(3,8)，
当y＝ax的图象过点A(1,9)时，a＝9，
当y＝ax的图象过点B(3,8)时，a＝2，
∴2≤a≤9.故选C.
答案：C
6．(2009·山东高考)函数y＝的图象大致为 (　　)
解析：∵f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数，排除D.
又∵y＝＝＝＝1＋在(－∞，0)、(0，＋∞)上都是减函数，排除B、C.故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·江苏高考)已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m、n满足f(m)>f(n)，则m、n的大小关系为________．
解析：∵a＝∈(0,1)，故am>an?m答案：m8．若函数f(x)＝为奇函数，则a＝__________.
解析：∵f(0)＝0，∴＝0，得a＝.
答案：
9．已知函数f(x)＝若f(x0)≥2，则x0的取值范围是__________．
解析：当x0≤0时，
f(x0)≥2化为()x0≥2，∴x0≤－1；
当x0>0时，f(x0)≥2化为log2(x0＋2)≥2，∴x0＋2≥4，x0≥2.
∴x0的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[2，＋∞)
10．若x1、x2为方程2x＝()－＋1的两个实数解，则x1＋x2＝__________.
解析：由2x＝()－＋1可得2x＝2－1，∴x＝－1，即
x2＋x－1＝0，∴x1＋x2＝－1.
答案：－1
三、解答题(共50分)
11．(15分)(2009·宁夏银川一模)若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0且a≠1)在x∈[－1,1]上的最大值为14.求a的值．
解：令ax＝t，∴t>0，则y＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2，其对称轴为t＝－1.该二次函数在[－1，＋∞)上是增函数．
①若a>1，∵x∈[－1,1]，∴t＝ax∈[，a]，故当t＝a，即x＝1时，ymax＝a2＋2a－1＝14，解得a＝3(a＝－5舍去)．
②若0∴t＝ax∈[a，]，故当t＝，即x＝－1时，
ymax＝(＋1)2－2＝14，∴a＝或－(舍去)．
综上可得a＝3或.
12．(15分)(2009·山东临沂模拟)已知对任意x∈R，不等式>()2x2－mx＋m＋4恒成立，求实数m的取值范围．
解：由题知：不等式()x2＋x>()2x2－mx＋m＋4对x∈R恒成立．
∴x2＋x<2x2－mx＋m＋4对x∈R恒成立．
∴x2－(m＋1)x＋m＋4>0对x∈R恒成立．
∴Δ＝(m＋1)2－4(m＋4)<0.
∴m2－2m－15<0.∴－3∴实数m的取值范围为(－3,5)．
13．(20分)(2009·江西高考)设函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若k>0，求不等式f′(x)＋k(1－x)f(x)>0的解集．
解：(1)f′(x)＝－ex＋ex＝·ex，由f′(x)＝0，得x＝1.
因为当x<0时，f′(x)<0；当01时，f′(x)>0；
所以f(x)的单调增区间是[1，＋∞)；单调减区间是
(－∞，0)，(0,1]．
(2)由f′(x)＋k(1－x)f(x)＝ex＝ex>0，得(x－1)(kx－1)<0.
故当0当k＝1时，解集是?；
当k>1时，解集是.
课时作业11　对数与对数函数

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若函数y＝f(x)的图象与函数y＝log2－1的图象关于直线y＝x对称，则f(x－1)＝(　　)
A．4x　　　　　　　　　 B．4x＋1
C．2x D．2x＋1
图1
解析：函数y＝log2－1的反函数为y＝f(x)＝4x＋1，则f(x－1)＝4x，故选A.
答案：A
2．(2010·深圳调研)若函数f(x)＝loga(x＋b)的图象如图1，其中a，b为常数，则函数g(x)＝ax＋b的大致图象是 (　　)
由题意得0答案：D
3．(2009·北京高考)为了得到函数y＝lg的图象，只需把函数y＝lgx的图象上所有的点 (　　)
A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度
C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度
解析：由y＝lg得y＝lg(x＋3)－1，由y＝lgx图象向左平移3个单位，得y＝lg(x＋3)的图象，再向下平移一个单位得y＝lg(x＋3)－1的图象．故选C.
答案：C
4．(2009·全国卷Ⅱ)设a＝log3π，b＝log2，c＝log3，则 (　　)
A．a>b>c B．a>c>b
C．b>a>c D．b>c>a
解析：a＝log3π>1，b＝log2＝log23∈，c＝log3＝log32∈，故有a>b>c.
答案：A
5．(2009·湖南高考)若log2a<0，()b>1，则(　　)
A．a>1，b>0 B．a>1，b<0
C．00 D．0解析：由log2a<0?01?b<0，故选D.
答案：D
6．函数f(x)＝loga(x2－ax＋2)在区间(1，＋∞)上恒为正值，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1,2) B．(1,2]
C．(0,1)∪(1,2) D．(1，)
解析：当a>1时，x2－ax＋2>1，即x2－ax＋1>0在x∈(1，＋∞)上恒成立∴1－a＋1≥0∴a≤2.∴10且x2－ax＋1≤0在x∈(1，＋∞)上恒成立，无解．综上，1答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．方程log3(x2－10)＝1＋log3x的解是__________．
解析：log3(x2－10)＝log33x，
∴，解得x＝5或x＝－2(舍去)．
答案：x＝5
8．设a>0，a≠1，函数f(x)＝loga(x2－2x＋3)有最小值，则不等式loga(x－1)>0的解集为__________．
解析：∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0恒成立．
y＝x2－2x＋3开口向上有最小值．
∴a>1，∴loga(x－1)>loga1，
等价于，∴x>2.
∴不等式的解集{x|x>2}．
答案：{x|x>2}
9．已知x满足2x≤256，且log2x≥，则函数f(x)＝log2·log的最大值和最小值分别为________、__________.
解析：∵2x≤256，且log2x≥，
∴≤x≤8，∴≤log2x≤3，
∴f(x)＝(log2x－1)(log2x－2)
＝(log2x)2－3log2x＋2
＝(log2x－)2－，
∵≤log2x≤3，而<<3，
∴当log2x＝，即x＝2时，
f(x)取得最小值为－；
当log2x＝3，即x＝8时，f(x)取得最大值为2.
答案：2　－
10．(2009·南昌调研)已知函数y＝f(x)的图象与函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象关于y＝x对称，记g(x)＝f(x)[f(x)＋f(2)－1]．若y＝g(x)在区间[，2]上是增函数，则实数a的取值范围为________．
解析：g(x)变形化归为二次函数在区间上的单调性讨论求解．
由已知条件切入，g(x)＝logax(logax＋loga2－1)＝(logax)2＋(loga2－1)logax.
①当0②当a>1时，y＝u＝logax为增函数，则g(u)＝u2＋(loga2－1)u在[loga，loga2]上也为增函数，于是有－≤loga?a∈?，由①②得a∈(0，]．
答案：(0，]
三、解答题(共50分)
11．(15分)设P：关于x的不等式2|x|解：P：∵2|x|≥1，且不等式2|x|Q：ax2－x＋a>0恒成立．
①若a＝0，则－x>0(不符合题意，舍去)；
②若a≠0，则?a>.
∵P和Q有且仅有一个正确，∴P真Q假或者P假Q真．
若P真Q假，则a≤；
若P假Q真，则a>1.
综上可得，所求a的取值范围为(－∞，]∪(1，＋∞)．
12．(15分)已知函数f(x)＝3x＋k(k为常数)，A(－2k,2)是函数y＝f－1(x)图象上的点．
(1)求实数k的值及函数f－1(x)的解析式；
(2)将y＝f－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)的图象，若2f－1(x＋－3)－g(x)≥1恒成立，试求实数m的取值范围．
解：(1)∵A(－2k,2)是函数y＝f－1(x)图象上的点，
∴B(2，－2k)是函数y＝f(x)上的点．
∴－2k＝32＋k，∴k＝－3，∴f(x)＝3x－3.
∴y＝f－1(x)＝log3(x＋3)(x>－3)．
(2)将y＝f－1(x)的图象按向量a＝(3,0)平移，得到函数y＝g(x)＝log3x(x>0)，
要使2f－1(x＋－3)－g(x)≥1恒成立，
即使2log3(x＋)－log3x≥1恒成立．
∴有x＋＋2≥3在x>0时恒成立，
只要(x＋＋2)min≥3.
又x＋≥2(当且仅当x＝，即x＝时等号成立)，∴(x＋＋2)min＝4，
即4≥3.∵m≥.
∴实数m的取值范围为[，＋∞)．
13．(20分)(2010·衡水模拟)已知集合P＝[，2]，函数y＝log2(ax2－2x＋2)的定义域为Q.
(1)若P∩Q≠?，求实数a的取值范围；
(2)若方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[，2]内有解，求实数a的取值范围．
解：(1)若P∩Q≠?，则在x∈[，2]内，至少有一个值x使得ax2－2x＋2>0成立，
即在x∈[，2]内，至少有一个值x使得a>＋成立．
设μ＝－＋＝－2(－)2＋，
当x∈[，2]时，μ∈[－4，]．∴a>－4.
所以实数a的取值范围是{a|a>－4}．
(2)方程log2(ax2－2x＋2)＝2在[，2]内有解，
则ax2－2x－2＝0在[，2]内有解．
即在x∈[，2]内有值x使得a＝＋成立，
μ＝＋＝2(＋)2－.
当x∈[，2]时，μ∈[，12]，∴a∈[，12]．
所以实数a的取值范围为a∈[，12]．
课时作业12　函数的图象

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．函数f(x)＝ －x的图象关于 (　　)
A．y轴对称　　　　　　 B．直线y＝－x对称
C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称
∵f(x)＝－f(－x)，∴f(x)＝－x是奇函数．
∴f(x)的图象关于坐标原点对称．
答案：C
2．若函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x)＝loga(x＋k)的图象是 (　　)
解析：由函数f(x)＝(k－1)ax－a－x(a>0且a≠1)在R上为奇函数知，k－1＝1，即k＝2.
又f(x)为减函数，∴0∴g(x)＝loga(x＋2)(0答案：A
3．如果函数y＝f(x)的图象如图1，那么导函数y＝f′(x)的图象可能是 (　　)
图1
解析：y＝f(x)的单调变化情况为增、减、增、减，
因此y＝f′(x)的符号变化情况为大于零、小于零、大于零、小于零．故选A.
答案：A
图2
4．(2009·广东高考)已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v甲和v乙(如图2所示)．那么对于图中给定的t0和t1，下列判断中一定正确的是 (　　)
A．在t0时刻，两车的位置相同
B．t0时刻后，乙车在甲车前面
C．在t1时刻，甲车在乙车前面
D．t1时刻后，甲车在乙车后面
答案：C
5．(2009·安徽高考)设a解析：当x>b时，y>0，由数轴穿根法可知，从右上向左下穿，奇次穿偶次不穿可知，只有C正确．
答案：C
图3
6．(2009·湖南高考)如图3，当参数λ＝λ1，λ2时，连续函数y＝
(x≥0)的图像分别对应曲线C1和C2，则 (　　)
A．0<λ1<λ2　 B．0<λ2<λ1
C．λ1<λ2<0　 D．λ2<λ1<0
解析：如果λ<0，定义域不可能为[0，＋∞)，排除C、D.
又∵C2的图象在C1的图象的上方，
∴>?<?λ2<λ1.故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(2－x)，那么函数y＝f(x)的图象关于直线x＝__________对称．
解析：f(x)＝f(2－x)?f[1－(1－x)]＝f[1＋(1－x)]?f(1－x)＝f(1＋x)．∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称．
答案：1
8．已知最小正周期为2的函数y＝f(x)，当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y＝f(x)(x∈R)的图象与y＝|log5x|的图象的交点个数为__________．
解析：由图4可知有5个交点．
图4
答案：5个
图5
9．已知f(x)是定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增，当x>0时，f(x)的图象如图5所示：若x·[f(x)－f(－x)]<0，则x的取值范围是__________．
解析：∵f(x)为奇函数，
∴x·[f(x)－f(－x)]＝2x·f(x)<0.
又f(x)在定义域上的图象如题图，
∴取值范围为(－3,0)∪(0,3)．
答案：(－3,0)∪(0,3)
10．若函数f(x)＝log2|ax－1|的图象的对称轴为x＝2，则非零实数a的值是__________．
解析：∵函数f(x)的图象的对称轴为x＝2，∴f(2＋x)＝f(2－x)，即|a(2－x)－1|＝|a(2＋x)－1|，∵a≠0，∴2a－1＝0，∴a＝.
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)分别画出下列函数的图象：
(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝
(2)将y＝2x的图象向左平移2个单位．
图6
(3)y＝
12．(15分)(2009·山东潍坊二模)已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有点
的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象．
(1)求y＝g(x)的解析式及定义域；
(2)求函数F(x)＝f(x－1)－g(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝log2(x＋1)y＝log2(x＋2)y＝2log2(x＋2)，即g(x)＝2log2(x＋2)，∵x＋2>0.
∴x>－2.∴定义域为(－2，＋∞)．
(2)∵F(x)＝f(x－1)－g(x)＝log2x－2log2(x＋2)＝log2(x>0)＝log2＝log2≤log2＝－3，
∴当x＝2时，F(x)max＝－3.
13．(20分)已知函数f(x)＝x＋log3.
(1)求f(x)＋f(4－x)的值；
(2)猜想函数f(x)的图象具有怎样的对称性，并给出证明．
解：(1)f(x)＋f(4－x)＝x＋log3＋4－x＋
log3＝4＋log3＋log3＝4.
(2)关于点P(2,2)对称．
证明：设Q(x，y)为函数f(x)＝x＋log3图象上的任一点，若点Q关于点P的对称点为Q1(x1，y1)，
则?
f(x1)＝x1＋log3＝4－x＋log3＝4－x－
log3＝4－y＝y1，∴函数y＝f(x)的图象关于点P(2,2)对称．

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