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2026-2027学年高中数学人教A版必修一课时作业 4.3 对数
一、选择题
1．已知,,则( )
A. B. C.25 D.5
2．测量地震级别的里氏震级M的计算公式为：，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，常数是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，而此次地震的里氏震级恰好为6级，那么里氏9级地震的最大的振幅是里氏5级地震最大振幅的( )倍.
A.10 B.100 C.1000 D.10000
3．生态系统的物种丰富度指数用于评估森林生态系统的健康程度，其中S代表乔木层的物种数，N代表乔木层的个体总数，指数I越大表示生态系统越稳定.某林场在实施生态修复工程前后，乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，则( )
A. B. C. D.
4．已知，，则( )
A. B. C. D.
5．已知,,,则实数的值为( )
A. B. C. D.
6．已知实数，，若，，则( )
A. B. C. D.1
7．已知正实数a，b满足，则( )
A.2 B.1 C.-1 D.0
二、多项选择题
8．下列关于对数运算正确的是( )
A.设均为正实数,且,则
B.若方程的两根为,则
C.已知,则
D.
9．科学记数法是将一个正数表示成,,的计数方法,显然,其中叫做的首数,记为,叫做的尾数,记为,则( )
A. B.
C. D.
10．已知a,b,c均为大于1的实数,若,则的大小关系可能为( )
A. B.
C. D.
三、填空题
11．，，则用a和b表示的结果为______
12．直线l与抛物线交于A，B两点，若，则中点M到x轴距离的最小值是____________.
13．______.
四、解答题
14．利用计算器，计算下列各式的值（结果保留4位小数）：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
15．证明：.
16．利用对数的换底公式，计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
17．设，，试用a，b表示下列各对数：
（1）；
（2）.
18．利用对数的换底公式，计算.
参考答案
1．答案：A
解析：由,,
可得,
则.
故选:A.
2．答案：D
解析：由条件可知：，
设里氏9级地震的最大的振幅为，里氏5级地震最大振幅为，
所以，，所以，
故选：D
3．答案：D
解析：因为乔木层的物种数S保持不变，而个体总数从变为，丰富度指数由5提升至7，
所以有
.
4．答案：D
解析：由，，
得
5．答案：C
解析：设,
则,,,
所以,
又,,则,所以.
故选：C.
6．答案：C
解析：，故，，
，故，所以，
因为，所以，，
所以.
7．答案：C
解析：，，
由基本不等式得，，即，
；；
又因为恒成立，所以，
故，即，所以.
8．答案：AD
解析：对于A,设,则,,,
,A正确；
对于B,,
或,或,,B错误；
对于C,,
,即,
,整理可得：,
或,C错误；
对于D,
,D正确.
故选：AD.
9．答案：AB
解析：因为,所以用科学记数法表示为,
所以,所以,故A正确；
因为,所以,即,所以,即,故B正确；
令,,则,因为,,
所以,故C错误；
令,,,因为,,所以,故D错误.
故选：AB.
10．答案：ABC
解析：设,,由均为大于1的实数,故,
因为,
因为,所以,同理,,原不等式转换为,
两边同时乘以,则,
得,整理得,
即,得到.
当时,则,即,因为,解得;
则,即,因为,解得;
同理,即,解得;当,解得;
同理,即,解得;当,解得;
要使得成立,故必须满足三个因式都是正数,或者两负一正,
所以有以下四种情况:
（1）三个因式都是正数
即整理得.
（2）三个因式中两负一正时
即无解.
即整理得.
即整理得.
所以的大小关系为或者或者这三种情况.
对于A项,当的大小关系为时,有成立,
即可能成立,故A正确;
对于B项,不妨设,满足且,
所以这种情况可能成立,故B正确;
对于C项,不妨设,满足且,
所以这种情况可能成立,故C正确;
对于D项,所有对应的值,一定会有,故D错误.
11．答案：
解析：由，得，而，
所以.
故答案为：
12．答案：2
解析：
如图，由抛物线得焦点，准线方程为，
过A，B，M分别作的垂线，交于，
连接，则，当且仅当过点F时取等，
显然是梯形的中位线，
又由中位线定理知，
则，故M到x轴距离的最小值为2.
故答案为：2
13．答案：
解析：原式化为
.
14．答案：（1）3.0209
（2）0.1464
（3）1.1610
（4）0.6309
解析：（1）；
（3）.
15．答案：证明见解析
解析：证明：因为，，
所以.
16．答案：（1）2
（2）3
解析：（1）.
（2）
.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）.
（2）.
18．答案：
解析：
.
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