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2026-2027学年高中数学人教A版必修一课时作业 4.5 函数的应用（二）
一、选择题
1．已知的三边长为a,b,c,则方程的根的情况是( )
A.无实根 B.有两个相等实根 C.有两个相异实根 D.不能确定
2．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
3．函数存在3个零点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4．函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
5．已知函数有两个零点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
6．在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降.当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）( )
A.24 B.35 C.47 D.100
7．集合的子集个数是( )
A.8 B.16 C.32 D.无数个
8．若方程恰有三个不相等的实根,则k的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．设函数,若关于x的方程有四个实根,,,,则下列结论正确的是( )
A. B.
C. D.的最小值为16
10．设函数,,若有四个零点,,,（）,则( )
A.的最小值为 B.
C. D.m的取值范围是
11．已知函数，若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a可能的取值有( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．若，且“，”为假命题，则__________.
13．设m是不为0的实数,已知函数.若函数有7个零点,则m的取值范围是______.
14．函数的零点为__________.
四、解答题
15．某地高山上温度从山脚起每升高降低.已知山顶的温度是，山脚的温度是.问：此山有多高？
16．某店从水果批发市场购得椰子两筐，连同运费总共花了300元，回来后发现有12个是坏的，不能将它们出售，余下的椰子按每个高出成本价1元售出，售完后共赚得78元.问：这两筐椰子原来共有多少个？
17．已知镭经过100年剩留原来的，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y的函数关系是怎样的？试写出.
18．利用计算器或计算机，计算下表中与x的值对应的函数与的值（精确到0.0001）：
x 10 20 100 365 730


19．利用计算器，求下列方程的近似解（精确度为0.1）：
（1）；
（2）；
（3）.
参考答案
1．答案：A
解析：由
,
由两边之和大于第三边知：,,,且,
所以,故方程无实根.
故选：A.
2．答案：A
解析：因为函数在定义域内单调递增,函数在定义域内单调递增,
所以函数在定义域内单调递增,
因为,
由零点存在性定理可知,函数在区间有唯一零点,
所以函数的零点所在区间是.
3．答案：C
解析：,则,
当时,则恒成立,函数单调递增,至多一个零点,不合题意;
若要存在3个零点,则要存在极大值和极小值,则,
令,解得或,
且当时,,当,,
所以,在,上单调递增,在上单调递减,
故的极大值为,极小值为,
若要存在3个零点,则,即,解得,
故选:C.
4．答案：C
解析：因为函数和函数在上都单调递增,
所以函数为增函数,
又,,,,
由零点存在性定理可得函数的零点所在的区间是.
故选:C.
5．答案：C
解析：显然该函数的定义域为全体正实数，
由，设，
，
当时，，所以函数在上单调递增，
当时，，所以函数在上单调递减，
则有，
问题函数有两个零点，转化为直线与曲线有两个不同的交点，如下图所示：
由数形结合思想可知：当时，直线与曲线有两个不同的交点，
即函数有两个零点，
所以实数a的取值范围为.
6．答案：C
解析：因为，所以当时，，
即，解得，即，
所以，所以，
所以，解得，
所以训练到第47轮就要对模型调整.
7．答案：A
解析：由，得，即，
解得，所以，
所以集合A的子集个数是.
8．答案：A
解析：由可得,
记,则,
当或时,,当时,,故
在上单调递减,在上单调递增,
故在取得极小值,,在处取得极大值,,
而时,恒有成立,
方程恰有三个不相等的实根,即曲线与直线恰有三个不相等的交点,
与直线图象如下,
由图知,当时,曲线与直线恰有三个不相等的实根；
故选：A
9．答案：ABD
解析：作出函数的图象,如图所示:
由图象知:,
由二次函数的对称性可得,
令或,
所以,,
因为方程有四个实根,所以,
又,则,
即,则,
所以,
所以,
,
当且仅当,即时,等号成立,
故选:ABD
10．答案：ACD
解析：作出函数的草图如下：
结合函数图象,可得：
当时,方程只有1解；
当或时,方程有2解；
当时,方程有3解；
当时,方程有4解.
所以有四个零点,则,故D正确；
因为有四个零点,,,（）,由图可知：
当时,,,因为,所以,因为,所以,
当时,,所以的最小值为,故A正确；
当时,,,所以,故B错误；
因为,
所以,故C正确.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：当时，，则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
作出的图象，如图所示，
令，则，
令，由题意得方程有两个不同的根：
①有两个不同的根，，且，，
则有，解得.
②有两个不同的根，，且，，
则有，则，
方程为，得，，满足条件.
③有两个不同的根，，且，，
因为，则，
方程为，得，，不符合题意，舍去.
综上所述，实数.
故选：BCD.
12．答案：
解析：由题得函数与函数有相同的零点，
而在的零点为，，
所以，也是的两个根，
即：，
13．答案：.
解析：作出函数的大致图象,如图所示.
由,得或.
当时,有3个零点;
要使函数有7个零点,
则当,即时,曲线与直线有4个交点,
结合图象可得,解得,
即m的取值范围为.
故答案为:.
14．答案：
解析：设,令,去分母,得,
整理得,即,
,,即,
.
15．答案：
解析：设山高为，
则，即山高为.
16．答案：120个
解析：设这两筐椰子原来共有x个，
由题意得，
解得（舍负），
所以两筐椰子原来共有120个.
17．答案：
解析：设衰变率为a，则，
所以.所以，
关系式为.
18．答案：答案见解析
解析：
x 10 20 100 365 730
0.9044 0.8179 0.3660 0.0255 0.0007
1.1046 1.2202 2.7048 37.7834 1427.5879
19．答案：（1）
（2），
（3）0.8
解析：（1）设.结合图象知只有一解，设为x.
，，
.
.下面用二分法求.
区间中点 中点处函数值的符号 取区间
0.75
0.875
0.8125
，，
，即所求方程的近似解为.
（2）设，结合与的图象（图略），可知方程有两解，设为、.
，，
.
，，
.
下面用二分法求、.
先求，列表如下：
区间中点 中点处函数值的符号 取区间
1.5
1.75
1.625
1.5625
1.53125
1.
1.
，精确到0.1的近似值都是1.6，
.
说明：当计算到第3次时，所得区间长度为，它的一半为，已满足精确度，
此时区间中点已符合要求，用此法可以减少运算次数，但有时近似程度不高.
再求，列表如下：
区间中点 中点处函数值的符号 取区间
，精确到0.1的近似值都为，
.
综上，所求方程的近似解为，.
（3）先画出与的图象（图略），设，
由图象可知，只有一个解，设为，
，，
.
下面用二分法求.
区间中点 中点处函数值的符号 取区间
0.5
0.75
0.875
0.8125
0.84375
和0.84375精确到0.1的近似值均为0.8，
所求方程的近似解为0.8.
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