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2026-2027学年高中数学人教A版必修一课时作业 5.4 三角函数的图象与性质
一、选择题
1．已知函数，则的一个对称中心为( )
A. B. C. D.
2．若在是减函数,则a的最大值是( )
A. B. C. D.
3．已知函数,且的最小值为,则( )
A.1 B.2 C.3 D.4
4．已知函数的最小正周期为T，若，且，则ω的最小值是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5．已知点是函数的图象的一个对称中心，则ω的最小值为( )
A. B. C. D.
6．已知函数的最小正周期为，则的对称中心为( )
A. B.
C. D.
7．已知,函数在上单调递减,则ω的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
8．已知函数在区间上单调递减,则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．已知函数有最大值，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.
10．已知函数的最小正周期为，则( )
A. B.
C.的图象关于点对称 D.在上的最小值为
11．下图是函数的部分图像，则( )
A. B. C. D.
三、填空题
12．已知函数的图象关于直线对称,则可以为____________.（写出一个符合条件的即可）
13．设常数a使方程在闭区间上恰有三个解，，，则________
14．函数在一个周期内的图象经过、、三点.写出一个符合条件的函数的解析式______.
四、解答题
15．已知函数满足条件：的最小正周期为，且
(1)求的单调减区间；
(2)当时，求函数的最小值和最大值.
16．已知函数的最小正周期为,且过点.
(1)求的值；
(2)求函数在上的值域.
17．已知函数,
（1）求的最小正周期;
（2）求的单调递增区间;
（3）求在区间上的值域.
18．已知函数.
(1)求的单调递增区间；
(2)求在上的值域.
19．已知函数.
（1）求的最小正周期和单调递增区间;
（2）求在区间上的最大值和最小值.
参考答案
1．答案：A
解析：令，，得，；
当时，，此时对称中心为；
的一个对称中心为.
2．答案：A
解析：因为,
所以由得
因此,,从而a的最大值为,
故选：A.
3．答案：B
解析：因,
则的一个对称中心为,一条对称轴为,
又最小值为,则相邻对称中心与对称轴距离,即最小正周期的为,
则最小正周期为,则.
故选:B
4．答案：D
解析：因为函数的最小正周期为T，所以，
所以，因为，所以，
因为，所以，
所以，因为，
所以ω的最小值是4.
5．答案：C
解析：令，解得.
点是函数的图象的一个对称中心，
，解得.
，
，解得；
，
符合条件的k的最小值为1；
.
6．答案：D
解析：对于正切型函数，最小正周期公式为，
已知最小正周期，代入得，解得，
因此函数为.
正切函数的对称中心为，，
令整体，解得，即，
因此的对称中心为.
7．答案：C
解析：因为,当时,,
因为函数在上单调递减,
所以,
所以,解得,
由可得,
又因为,所以可得,即,
又因为,所以,故,所以ω的取值范围是.
8．答案：A
解析：由,可得,
要使得函数在区间上单调递减,
则满足,解得,
因为,当时,,即实数的取值范围为.
9．答案：A
解析：因为当时，，
要使有最大值，则时，函数值的范围不超过1
可得
解得.
故选：A.
10．答案：ACD
解析：，由于最小正周期为，故，故，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，， 故，当时，取上的最小值为，故D正确.
11．答案：BC
解析：由函数图像可知：，则，所以不选A，
不妨令，
当时，，，
解得：，
即函数的解析式为：
.
而
故选：BC.
12．答案：.（答案不唯一）
解析：函数的图象关于直线对称,
则只要的图象关于直线对称即可,
所以,所以,
如令,可以取.
故答案为：.
13．答案：
解析：的根为函数与函数的交点横坐标，根据函数图像可知要满足有三个交点，需，此时，，，
14．答案：（或）
解析：由题意可知,函数的最小正周期为或,
①若,则,所以,
因为,所以,即,
又因为,所以,即,
又因为,解得,
此时;
②若,则,所以,
因为,所以,即,
又因为,所以,即,
又因为,解得.
此时.
综上所述,或.
15．答案：(1)
(2)的最小值为，最大值为.
解析：（1）由题意可知，，，得，
且由可知，函数关于对称，
则，得，
且，所以，
所以，
令，解得：，
所以函数的单调递减区间是；
（2）时，，
当，即时，取得最大值，
当，即时，取得最小值，
所以的最小值为，最大值为.
16．答案：(1),
(2)
解析：(1)由题意得的最小正周期,解得,
由题知过点,故,可得,
结合,求得；
(2)由(1)得,,可得,
根据正弦函数图象可知,
所以在上的值域为.
17．答案：（1）最小正周期,
（2）单调递增区间为
（3）
解析：（1）的最小正周期.
（2）由,
所以函数单调递增区间为.
（3）因为,所以,所以
所以在区间上的值域为.
18．答案：(1)
(2)
解析：(1)令,
解得,
则的单调递增区间为.
(2)因为,所以.
当,即时,
取得最小值；
当,即时,
取得最大值.
故在上的值域为.
19．答案：（1）最小正周期,单调递增区间为
（2）最大值为,最小值为1
解析：（1）的最小正周期.
由,
所以函数单调递增区间为.
（2）因为,所以,所以
所以在区间上的最大值为,最小值为1.
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