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2026-2027学年高中数学人教A版必修一单元测试 第二章 一元二次函数、方程和不等式
一、选择题
1．已知，且，则的最小值为( )
A.9 B.10 C. D.8
2．若，，且，则xy的最大值为( )
A.9 B.6 C.3 D.
3．已知，，，则的最小值是( )
A.14 B. C.8 D.
4．若，，则m与n的大小关系是( )
A. B. C. D.
5．若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为( )
A. B. C. D.
6．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
7．已知集合,,则( )
A. B. C. D.
8．已知集合,,则( )
A. B.
C. D.R
二、多项选择题
9．若正实数满足,则下列说法正确的是( )
A.有最大值为 B.有最小值为
C.有最小值为 D.有最大值为
10．已知正数x,y满足,则( )
A. B.的最小值为
C.的最大值为 D.的最小值为
11．已知,,且,则下列结论正确的是( )
A.的最小值是4 B.恒成立
C.恒成立 D.的最大值是
三、填空题
12．已知x,y均为非负数,且,则的最小值为_____________.
13．假设在平面内有一个三角形，边长分别为a，b，c，三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式被称为海伦—秦九韶公式.现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为____________________.
14．已知，b为正实数，且，则的最小值为__________________.
四、解答题
15．重新考察不等式.这个不等式的左边可分解因式为.根据实数乘法的符号法则，问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集.
不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，从而不等式的解集为.
试用上述方法解下面的不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
16．解下列不等式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）.
17．设，，且，求的最小值.
18．如图，墙角线互相垂直，长为的木棒AB的两个端点分别在这两墙角线上，如何放置木棒才能使围成区域的面积最大？
19．已知a，b，c，d都是正数，且，，求证：.
参考答案
1．答案：A
解析：，且，
，
当且仅当时取等号，的最小值为9.故选A.
2．答案：B
解析：因为，，且，所以，
当且仅当，即，时等号成立，因此xy的最大值为6，故选B.
3．答案：A
解析：因为，，所以，，由，得，于是，当且仅当，即，时取“=”，所以当，时，取得最小值14.故选A.
4．答案：B
解析：由题意得，则.故选B.
5．答案：C
解析：解不等式，得，
则不等式的解集为，
记使不等式成立的充分不必要条件为集合B，
则集合B为集合A的真子集，
所以集合.
6．答案：A
解析：由集合,,
联立方程组,解得,所以.
7．答案：B
解析：由集合交集的定义可得.
8．答案：D
解析：集合,,则.
故选:D.
9．答案：ABC
解析：对于A：因为,则,当且仅当,即时取等号,故A正确.
对于B,,当且仅当,
即时取等号,故B正确.
或者,由权方和不等式,得.
当且仅当即时取等号.
对于C：因为c,则,
当且仅当即时取等号,故C正确.
或者,由权方和不等式,得,当且仅当即时取等号.
对于D：因为,当且仅当,即,时取等号,
这与均为正实数矛盾,故D错误.
故选ABC.
10．答案：BC
解析：对于A,由,得,
又,,所以,所以,即,A错误.
对于B,由基本不等式得,,所以,当且仅当时等号成立,
所以,即的最小值为,B正确.
对于C,,当且仅当时等号成立,C正确.
对于D,因为,,当且仅当时等号成立,
所以,当且仅当时等号成立,D错误.
11．答案：BCD
解析：对于A,,
当且仅当,即,即等号成立,而,故A错误,
对于B,令,,,
所以在上单调递减,故,则,故B正确,
对于C,因为,,且,所以,
当且仅当时,等号成立,则,故C正确,
对于D,因为,
令,则,
当,即时,取得最大值,故D正确,
故选：BCD.
12．答案：2
解析：由题可得,所以,
由于,当且仅当,即,时取等号,
所以,则的最小值为2
13．答案：
解析：由题意可得，，则.由基本不等式可得，此三角形面积，当且仅当，即时取等号.故此三角形面积的最大值为.
14．答案：
解析：因为，所以.
又，b为正实数，
所以，，
故，
当且仅当，即，时等号成立.
故的最小值为.
15．答案：（1）或
（2）
（3）
（4）或
解析：（1）问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集.
不等式组（1）的解为，不等式组（2）的解为，
从而不等式的解集为或.
（2）问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集.
不等式组（1）的解为，不等式组（2）无解，
从而不等式的解集为.
（3）问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集，
不等式组（1）无解，不等式组（2）的解为，
从而不等式的解集为.
（4）问题可归结为求一元一次不等式组（1）和（2）的两个解集的并集.
不等式组（1）的解为，不等式组（2）的解为，
从而不等式的解集为或.
16．答案：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）R
（6）
解析：（1），
即，
解得或，
故不等式的解集为.
（2），
即，
解得.
（3），
即，
解得，
所以不等式的解为.
（4），
即，
解得或，
所以不等式的解集为.
（5），即，
所以不等式的解为R.
（6）即，解得，
所以不等式的解集为.
17．答案：1
解析：，，且，
，
当且仅当即时，等号成立，
的最小值为1.
18．答案：答案见解析
解析：设，则.
，
当且仅当，
即时，取得最大值，最大值为.
19．答案：证明见解析
解析：证明：
.
，b，c，d均为正数，且，，
，，
，
，
原不等式成立.
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