资源简介

第三章　数列
课时作业14　数列的概念
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a4等于 (　　)
A．7　　　　　　　　　 B．8
C．9 D．17
解析：∵Sn＝n2－1，∴a4＝S4－S3＝16－1－(9－1)＝7.
答案：A
2．数列{an}中，an＝－2n2＋29n＋3，则此数列最大项的值是 (　　)
A．107 B．108
C．108 D．109
解析：an＝－2n2＋29n＋3＝－2(n2－n)＋3
＝－2(n－)2＋3＋.
当n＝7时，an最大且等于108.
答案：B
3．在数列{an}中，a1＝，对所有n∈N*都有a1a2…an＝n2，则a3＋a5等于 (　　)
A. B.
C. D.
解析：?an＋1＝()2?a3＝，a5＝，∴a3＋a5＝.
答案：D
4．(2009·湖北黄冈质检)已知数列{an}的通项公式an＝n2＋kn＋2，若对于n∈N*，都有an＋1>an成立，则实数k的取值范围是 (　　)
A．k>0 B．k>－1
C．k>－2 D．k>－3
解析：∵an＋1>an，∴an＋1－an>0.
又an＝n2＋kn＋2，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋2－(n2＋kn＋2)>0.
∴k>－2n－1.又－2n－1(n∈N*)的最大值为－3，
∴k>－3.
答案：D
5．(2009·江西中学一模)数列{an}中，a1＝1，a2＝2，当n∈N*时，an＋2等于anan＋1的个位数，若数列{an}的前k项和为243，则k等于 (　　)
A．61 B．62
C．63 D．64
解析：∵a1＝1，a2＝2，
∴a3＝2，a4＝4，a5＝8，a6＝2，a7＝6，a8＝2，a9＝2，….
∴数列{an}是从第2项起周期为6的数列，并且a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝24.
又Sk＝243，∴k＝62.
答案：B
6．已知数列1，，，，，，，，，，…，则是此数列中的 (　　)
A．第48项 B．第49项
C．第50项 D．第51项
解析：将数列分为第1组1个，第2组2个，…，第n组n个，()，(，)，(，，)，…，(，，…，)，则第n组中每个数分子分母的和为n＋1，则为第10组中的第5个，其项数为(1＋2＋3＋…＋9)＋5＝50.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知数列{an}的前n项和为Sn＝，则a5＋a6＝__________.
解析：∵Sn＝，∴a5＋a6＝S6－S4＝－＝.
答案：
8．已知数列{an}满足a1＝1，当n≥2时，a－(n＋2)an－1·an＋2na＝0，则an＝__________.(写出你认为正确的一个答案即可)
解析：a－(n＋2)an－1·an＋2na＝0，
有(an－2an－1)(an－nan－1)＝0，
∴＝2.由a1＝1知an＝2n－1.
答案：2n－1
9．(2009·重庆高考)设a1＝2，an＋1＝，bn＝，n∈N*，则数列{bn}的通项公式bn＝________.
解析：∵bn＋1＝＝＝＝＝2bn，∴bn＋1＝2bn，又b1＝4，∴bn＝4·2n－1＝2n＋1.
答案：2n＋1
10．(2010·青岛模拟)数列{an}满足：a1＝2，an＝1－(n＝2,3,4，…)，则a4＝________；若{an}有一个形如an＝Asin(ωn＋φ)＋B的通项公式，其中A，B，ω，φ均为实数，且A>0，ω>0，|φ|<，则此通项公式可以为an＝________(写出一个即可)．
解析：∵数列{an}满足a1＝2，an＝1－，∴a2＝1－＝，a3＝1－2＝－1，a4＝1＋1＝2；若{an}有一个形如an＝Asin(ωn＋φ)＋B的通项公式，因为周期为3，所以3＝，ω＝，所以解得A＝，
B＝，φ＝－，所以an＝sin(n－)＋.
答案：2　sin(n－)＋
三、解答题(共50分)
11．(15分)数列{an}的前n项和Sn＝n2－13n－1，求数列
{|an|}的前20项的和T20.
解：可求an＝，
令2n－14≤0，得n≤7.
∴{an}中，由a1至a6是负值，a7＝0，而a8及以后各项为正值．
S7＝72－13×7－1＝－43，
S20＝202－13×20－1＝139，
∴数列{|an|}的前20项的和
T20＝S20－2S7＝139－2×(－43)＝225.
12．(15分)已知数列{an}的通项an＝(n＋1)·n(n∈N*)，试问该数列{an}有没有最大项？若有，求最大项的项数；若没有，说明理由．
解：易知a1不是数列{an}中的最大项，
∴an若取最大值应满足(n≥2)，由已知an＝(n＋1)·n，则有
an－an＋1＝(n＋1)·n－(n＋2)·n＋1
＝n·＝n·.
由an－an＋1≥0，即n·≥0，
解不等式，得n≥8.
an－an－1＝(n＋1)·n－(n－1＋1)·n－1
＝n－1·＝n－1·，
由an－an－1≥0，即n－1·≥0，
解不等式，得n≤9.
∴同时满足不等式组的正整数n的取值只能是8、9.
又a8＝9×8，a9＝10×9，即a8＝a9＝.
∴当n＝8或n＝9时，a8，a9两项都是数列{an}中的最大项．
13．(20分)已知一次函数y＝f(x)的图象关于直线y＝x对称的图象为C，且f(1)＝0，若点A(n，)(n∈N*)在C上，a1＝1，当n≥2时，－＝1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn＝＋＋＋…＋，求Sn.
解：(1)依题意C过点(0,1)，所以设C方程为y＝kx＋1，因为点A(n，)(n∈N*)在C上，所以＝kn＋1，
代入－＝1，得k＝1，所以＝n＋1，
∴＝n，＝n－1，…，＝2，且a1＝1，
各式相乘得an＝n！.
(2)∵＝＝＝－，
∴Sn＝－＋－＋…＋－＝－，即Sn＝.
课时作业15　等差数列
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·福建高考)等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝4，则公差d等于(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B.
C．2 D．3
解析：∵S3＝＝6，而a3＝4，
∴a1＝0，∴d＝＝2.
答案：C
2．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7等于 (　　)
A．12 B．13
C．14 D．15
解析：25＝S5＝×5，∴a4＝7.
∴2d＝a4－a2＝4.∴a7＝a4＋3d＝13.
答案：B
3．设{an}是等差数列，若a2＝3，a7＝13，则数列{an}前8项的和为 (　　)
A．128 B．80
C．64 D．56
解析：∵{an}是等差数列，
∴a2＋a7＝a3＋a6＝a4＋a5＝a1＋a8.
∴S8＝a1＋a2＋a3＋…＋a8＝4(a2＋a7)＝4×16＝64.
答案：C
4．(2009·唐山二模)等差数列{an}的前n项和为Sn，若S7>S8>S6，则下列结论：
①a7＝0 ②a8<0
③S13>0 ④S14<0
其中正确结论是 (　　)
A．②③ B．①③
C．①④ D．②④
解析：∵S7>S8>S6，∴a7>0，a7＋a8>0
∴S14＝＝7(a7＋a8)>0，∴①④错误，故选A.
答案：A
5．(2009·安徽高考)已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99.以Sn表示{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 (　　)
A．21 B．20
C．19 D．18
解析：∵{an}为等差数列，
∴a1＋a3＋a5＝105?a3＝35，
a2＋a4＋a6＝99?a4＝33，
d＝a4－a3＝33－35＝－2，
∴{an}是递减数列．
an＝a3＋(n－3)d＝35＋(n－3)×(－2)＝－2n＋41，
an≥0，－2n＋41≥0，n≤，
∴当n≤20时，an>0，
∴n＝20时，Sn最大，故选B.
答案：B
6．设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，则a11＋a12＋a13＝ (　　)
A．120 B．105
C．90 D．75
解析：设公差为d且d>0.
由已知，
得.
解得a1＝2，d＝3(∵d>0)．
∴a11＋a12＋a13＝3a12＝3(a1＋11d)＝105.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知等差数列{an}共有2008项，所有项的和为2010，所有偶数项的和为2，则a1004＝__________.
解析：依题意得＝2010，a1＋a2008＝，＝2，a2＋a2008＝，故a2－a1＝－＝d，
又a2＋a2008＝2a1005＝，∴a1005＝，
a1004＝a1005－d＝＋＝2.
答案：2
8．(2009·全国卷Ⅱ)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝5a3，则＝__________.
解析：＝＝·＝×5＝9.
答案：9
9．(2008·山东高考)已知f(3x)＝4xlog23＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于__________．
解析：∵f(3x)＝4xlog23＋233，
∴f(3x)＝4log23x＋233.
∴f(x)＝4log2x＋233.而f(2n)＝4log22n＋233＝4n＋233，
∴f(2)＋f(4)＋…＋f(28)＝(4×1＋233)＋(4×2＋233)＋…＋(4×8＋233)＝4×(1＋2＋…＋8)＋233×8＝2008.
答案：2008
10．把49个数排成如下图所示的数表，若表中每行的7个数自左向右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下依次也都成等差数列，且正中间的数a44＝1，则表中所有数的和为__________．
a11
a12
…
a17
a21
a22
…
a27
…
…
…
…
a71
a72
…
a77
解析：解法1：a11＋a12＋…＋a17＝7a14，
同理a21＋a22＋…＋a27＝7a24，
…
a71＋a72＋…＋a77＝7a74，
而a14＋a24＋…＋a74＝7a44，
故所有数的和为7(a14＋a24＋…＋a74)＝49a44＝49.
解法2：由题意分析，不妨设各个格中的数都为1，则符合题意要求，所以表中所有数的之和为49.
答案：49
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知{an}是等差数列，a2＝5，a5＝14，
(1)求{an}的通项公式；
(2)当{an}的前n项和Sn＝155，求n的值．
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，首项为a1.
则a1＋d＝5，a1＋4d＝14，
解得a1＝2，d＝3.
所以数列{an}的通项为an＝a1＋(n－1)d＝3n－1.
(2)数列{an}的前n项和Sn＝＝n2＋n.
由n2＋n＝155，化简得3n2＋n－310＝0.
即(3n＋31)(n－10)＝0；
所以n＝10.
12．(15分)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)设bn＝，证明数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)证明：an＋1＝2an＋2n，＝＋1，
bn＋1＝bn＋1，
又b1＝a1＝1，因此{bn}是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)由(1)知＝n，即an＝n·2n－1，Sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
2Sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n.
两式相减，得Sn＝n·2n－20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1＝(n－1)2n＋1.
13．(20分)(2010·福建厦门一模)已知数列{an}，a1＝1，an＝λan－1＋λ－2(n≥2)．
(1)当λ为何值时，数列{an}可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式；
(2)若λ＝3，令bn＝an＋，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)a2＝λa1＋λ－2＝2λ－2；
a3＝λa2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.
∵a1＋a3＝2a2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)．
∴2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝.
当λ＝时，a2＝2×－2＝1，a1＝a2不合题意，舍去；
当λ＝1时，代入an＝λan－1＋λ－2，可得an－an－1＝－1.
∴数列{an}构成以a1＝1为首项，公差为－1的等差数列．
∴an＝－n＋2.
(2)由λ＝3可得，an＝3an－1＋3－2，即an＝3an－1＋1.
∴an＋＝3an－1＋.
∴an＋＝3(an－1＋)，即bn＝3bn－1(n≥2)．
又b1＝a1＋＝，
∴数列{bn}构成以b1＝为首项，公比为3的等比数列．
∴Sn＝＝(3n－1)．

课时作业16　等比数列
时间：45分钟　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为(　　)
A．63 B．64
C．127 D．128
解析：∵公比q4＝＝16，且q>0，
∴q＝2，∴S7＝＝127，故选C.
答案：C
2．设等比数列{an}的公比q＝2，前n项和为Sn，则＝
(　　)
A．2 B．4
C. D.
解析：本题主要考查等比数列的通项公式及前n项和的公式．
设等比数列{an}的首项为a1，
则S4＝15a1，a2＝2a1，＝，故选C.
答案：C
3．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝
(　　)
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C.(1－4－n) D.(1－2－n)
解析：∵q3＝＝，∴q＝，a1＝4，数列{an·an＋1}是以8为首项，为公比的等比数列，不难得出答案为C.
答案：C
4．(2009·辽宁高考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于
(　　)
A．2 B.
C. D．3
解析：设其公比为q.
由已知可得＝＝＝1＋q3＝3，
∴q3＝2.＝＝＝.
另解：可知S3，S6－S3，S9－S6成等比数列，
则可设S6＝3，S3＝1，则(S6－S3)2＝S3×(S9－S6)，解得S9＝7，故＝.
答案：B
5．(2009·广东高考)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝
(　　)
A．n(2n－1) B．(n＋1)2
C．n2 D．(n－1)2
解析：由{an}为等比数列，则a5·a2n－5＝a1·a2n－1＝22n，
则(a1·a3·a5·…·a2n－1)2＝(22n)n?a1·a3·…·a2n－1＝2n2，故log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝log2(a1·a3·…·a2n－1)＝n2.
答案：C
6．已知等比数列{an}中a2＝1，则其前3项的和S3的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，0)∪(1，＋∞)
C．[3，＋∞) D．(－∞，－1]∪[3，＋∞)
解析：∵{an}是等比数列，a2＝1，
S3＝a1＋a2＋a3＝a1＋a3＋1.
当q>0时，a1、a3>0，a1＋a3≥2＝2＝2，∴S3≥3.
当q<0时，a1、a3<0，a1＋a3＝－[(－a1)＋(－a3)]≤－2＝－2，∴S3≤－1.
综上可知，S3的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S1,2S2,3S3成等差数列，则{an}的公比为________．
解析：由题意知4S2＝S1＋3S3.
①当q＝1时，4×2a1＝a1＋3×3a1，
即8a1＝10a1，a1＝0，不符合题意，所以q≠1.
②当q≠1时，应有
4×＝a1＋3×，
化简得3q2－q＝0，得q＝或0(舍去)．
答案：
8．(2009·浙江高考)设等比数列{an}的公比q＝，前n项和为Sn，则＝________.
解析：由S4＝，a4＝a1·q3，
则＝＝15.
答案：15
9．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2006＋2007＝__________.
解析：解方程4x2－8x＋3＝0，得x＝或.
又q>1，∴a2004＝，a2005＝.∴q＝＝3.
∴a2006＋a2007＝(a2004＋a2005)·q2＝2×32＝18.
答案：18
10．(2010·浙江猜题卷)等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件a1>1，a99a100－1>0，<0.给出下列结论：①01成立的最大自然数n等于198.其中正确的结论是__________．
解析：①中??q＝∈(0,1)，∴①正确．
②中?a99·a101<1，∴②正确．
③中?T100④中T198＝a1a2…a198＝(a1·a198)(a2·a197)…(a99·a100)＝(a99·a100)99>1，
T199＝a1a2…a198·a199＝(a1a199)…(a99·a101)·a100＝a<1，∴④正确．
答案：①②④
三、解答题(共50分)
11．(15分)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝4，a4a5a6＝212.
(1)求首项a1和公比q的值；
(2)若Sn＝210－1，求n的值．
解：(1)设等比数列{an}的公比为q(q>0)，则由题设有a4a5a6＝a＝212?a5＝24＝16，
∴＝q2＝4?q＝2，代入a3＝a1q2＝4，解得a1＝1.
(2)由Sn＝210－1，得Sn＝＝2n－1＝210－1，∴2n＝210，∴n＝10.
12．(15分)设数列{an}的前n项和为Sn，且(3－m)Sn＋2man＝m＋3(n∈N*)．其中m为常数，m≠－3，且m≠0.
(1)求证：{an}是等比数列；
(2)若数列{an}的公比满足q＝f(m)且b1＝a1，
bn＝f(bn－1)(n∈N*，n≥2)，求证：{}为等差数列，并求bn.
解：(1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，
得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3.
两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)．
∴＝(m≠－3)．
从而可以知道，数列{an}是等比数列．
(2)当n＝1时，(3－m)a1＋2ma1＝m＋3，a1＝＝1，
∴b1＝a1＝1，又q＝f(m)＝，
∴bn＝f(bn－1)＝·(n∈N*且n≥2)．
得bnbn－1＋3bn＝3bn－1?－＝.
∴{}是以1为首项，为公差的等差数列．
∴＝1＋＝，故bn＝.
13．(20分)(2010·潮州模拟)已知数列{an}、{bn}分别是等差数列、等比数列，a3＝8，a6＝17，b1＝2，b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)．
(1)分别求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝log3bn，求证：数列{cn}是等差数列，并求出其公差和首项；
(3)设Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2，其中n＝1,2，…，求Un的值．
解：(1)设等差数列{an}的首项为a1、公差为d，等比数列{bn}的公比为q.
由a3＝8，a6＝17得a1＋2d＝8①
a1＋5d＝17②
由①②解得a1＝2，d＝3，
由b1b2b3＝9(a2＋a3＋a4)，得8q3＝9×24，解得q＝3.
所以数列{an}和{bn}的通项公式分别为
an＝2＋(n－1)×3＝3n－1，bn＝2·3n－1.
(2)cn＝log3bn＝log32·3n－1＝log32＋(n－1)，
cn＋1－cn＝(log32＋n)－(log32＋n－1)＝1，
∴数列{cn}是首项为log32，公差为1的等差数列．
(3)由等比数列的性质知数列{b3n－2}是首项为2，公比为27的等比数列，
所以Un＝b1＋b4＋b7＋…＋b3n－2
＝＝(27n－1)．

课时作业17　数列求和
时间：45分钟　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝－2n＋1，则数列{}的前11项和为
(　　)
A．－45 B．－50
C．－55 D．－66
解析：Sn＝＝－n2，即＝－n，则数列{}的前11项和为－1－2－3－4－…－11＝－66.
答案：D
2．若Sn＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n－1n，则S17＋S33＋S50等于
(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．－1
C．0 D．2
解析：S2n＝－n，S2n＋1＝S2n＋a2n＋1＝－n＋2n＋1＝n＋1，
∴S17＋S33＋S50＝9＋17－25＝1.
答案：A
3．数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是
(　　)
A．7 B．8
C．9 D．10
解析：an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，
∴Sn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.
Sn>1020　即2n＋1－2－n>1020.
∵210＝1024,1024－2－9＝1013<1020.
故nmin＝10.
答案：D
4．已知数列{}的前n项和为Sn，则Sn等于
(　　)
A．0 B．1
C. D．2
解析：∵＝＝－
∴Sn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＋(－)＋(－)
＝1＋－－.
∴Sn＝ (1＋－－)＝.
答案：C
5．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S10>0且S11＝0，若Sn≤Sk对n∈N*恒成立，则正整数k的构成集合为
(　　)
A．{5} B．{6}
C．{5,6} D．{7}
解析：由S10>0，且S11＝0得
S10＝>0?a1＋a10＝a5＋a6>0
S11＝＝0?a1＋a11＝2a6＝0，故可知{an}为递减数列且a6＝0，所以S5＝S6≥Sn，即k＝5或6.
答案：C
6．(2009·江西高考)数列{an}的通项an＝n2(cos2－sin2)，其前n项和为Sn，则S30为
(　　)
A．470 B．490
C．495 D．510
解析：an＝n2·cosπ，a1＝12·(－)，a2＝22(－)，a3＝32，a4＝42(－)，
…
S30＝(－)(12＋22－2·32＋42＋52－2·62＋…＋282＋292－2·302)＝(－)(3k－2)2＋(3k－1)2－2·(3k)2]＝(－)(－18k＋5)＝－[－18·＋50]＝470.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．数列{an}的通项公式为an＝n＋2n(n＝1,2,3，…)，则{an}的前n项和Sn＝__________.
解析：由题意得数列{an}的前n项和等于(1＋2＋3＋…＋n)＋(2＋22＋23＋…＋2n)＝＋＝＋2n＋1－2.
答案：＋2n＋1－2
8．数列，，，…的前n项和等于________．
解析：an＝＝
∴Sn＝
＝＝－.
答案：－
9．已知数列{an}的通项公式为an＝2n－1＋1，则a1C＋a2C＋a3C＋…＋an＋1C＝________.
解析：a1C＋a2C＋…＋an＋1C＝(20＋1)C＋(21＋1)C＋(22＋1)C＋…＋(2n＋1)C＝20C＋21C＋22C＋…＋2nC＋C＋C＋…＋C＝(2＋1)n＋2n＝3n＋2n.
答案：2n＋3n
10．(2010·重庆质检二)设数列{an}为等差数列，{bn}为公比大于1的等比数列，且a1＝b1＝2，a2＝b2，＝，令数列{cn}满足cn＝，则数列{cn}的前n项和Sn等于________．
解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q(q>1)，
∵＝，∴a4＝b3，∴2＋3d＝2q2①，由a2＝b2，得：2＋d＝2q②，
由①②得d＝2，q＝2，∴an＝2＋(n－1)·2＝2n，bn＝2·2n－1＝2n.∴cn＝＝n·2n，∴Sn＝c1＋c2＋…＋cn＝1·2＋2·22＋…＋n·2n③
∴2Sn＝1·22＋2·23＋…＋n·2n＋1④，③－④得：－Sn＝2＋(22＋23＋…＋2n)－n·2n＋1＝－n·2n＋1＝(1－n)·2n＋1－2，
∴Sn＝(n－1)2n＋1＋2.
答案：(n－1)2n＋1＋2
三、解答题(共50分)
11．(15分)求和：(1)＋＋…＋.
(2)＋＋＋…＋.
解：(1)∵＝(－)
∴原式＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)＝.
(2)∵＝＝－
∴原式＝－＋－＋…＋－
＝1－.
12．(15分)已知数列{an}，{bn}满足a1＝2,2an＝1＋anan＋1，bn＝an－1，数列{bn}的前n项和为Sn，Tn＝S2n－Sn.
(1)求数列{bn}的通项公式；
(2)求证：Tn＋1>Tn；
解：(1)由bn＝an－1得an＝bn＋1，代入2an＝1＋anan＋1，得2(bn＋1)＝1＋(bn＋1)(bn＋1＋1)，整理，得bnbn＋1＋bn＋1－bn＝0，从而有－＝1，∵b1＝a1－1＝2－1＝1，
∴{}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝n，即bn＝.
(2)∵Sn＝1＋＋…＋，
∴Tn＝S2n－Sn＝＋＋…＋，
Tn＋1＝＋＋…＋＋＋，
Tn＋1－Tn＝＋－>＋－＝0，(∵2n＋1<2n＋2)
∴Tn＋1>Tn.
13．(20分)(2009·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(1＋)an＋.
(1)设bn＝，求数列{bn}的通项公式；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
解：(1)由已知得b1＝a1＝1，且＝＋，
即bn＋1＝bn＋，
从而b2＝b1＋，
b3＝b2＋，
…
bn＝bn－1＋(n≥2)，
于是bn＝b1＋＋＋…＋＝2－(n≥2)．
又b1＝1，故所求数列{bn}的通项公式为bn＝2－.
(2)由(1)知an＝n(2－)＝2n－.
令Tn＝，则2Tn＝，
于是Tn＝2Tn－Tn＝－＝4－.
又(2k)＝n(n＋1)，所以Sn＝n(n＋1)＋－4.

课时作业18　数列的综合应用

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，则此数列的奇数项的前n项和是
(　　)
A.(2n＋1－1) B.(2n＋1－2)
C.(22n－1) D.(22n－2)
解析：由Sn＝2n－1，得an＝2n－1，
∴数列{an}是以1为首项，2为公比的等比数列．
∴此数列的奇数项的前n项和为＝＝(22n－1)．
答案：C
2．已知a，b，a＋b成等差数列，a，b，ab成等比数列，且0(　　)
A．(0,1) B．(1，＋∞)
C．(0,8) D．(8，＋∞)
解析：∵a，b，a＋b成等差数列，
∴2b＝2a＋b，b＝2a.①
∵a，b，ab成等比数列，
∴a≠0，b≠0，且b2＝a2b，b＝a2.②
由①②知a2＝2a，a＝2，b＝4，ab＝8.
∵08.
答案：D
3．一套共7册的书计划每两年出一册，若出完全部，各册书公元年代之和为13958，则出齐这套书的年份是
(　　)
A．1994 B．1996
C．1998 D．2000
解析：设出齐这套书的年份是x，
则(x－12)＋(x－10)＋(x－8)＋…＋x＝13958，
∴7x－＝13958，
x＝2000.
答案：D
4．(2009·宁夏银川一模)已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7·a14的最大值为
(　　)
A．25 B．50
C．100 D．不存在
解析：由S20＝100得a1＋a20＝10，∴a7＋a14＝10.
又a7>0，a14>0，
∴a7·a14≤()2＝25.
答案：A
5．(2009·河南郑州一模)数列{an}中，a1＝1，an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，则数列{bn}的前n项和Sn等于
(　　)
A. B.
C. D.
解析：∵an，an＋1是方程x2－(2n＋1)x＋＝0的两个根，
∴an＋an＋1＝2n＋1，an·an＋1＝.
∴bn＝.
又a1＝1，∴a2＝2，a3＝3，…，an＝n.
∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋
＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
答案：B
6．已知数列{an}的通项公式an＝3n2－(9＋a)n＋6＋2a(其中a为常数)，若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值，则实数a的取值范围是
(　　)
A．[24,36]
B．[27,33]
C．{a|27≤a≤33，a∈N*}
D．{a|24≤a≤36，a∈N*}
解析：设f(x)＝3x2－(9＋a)x＋6＋2a，其对称轴为x＝，当≤≤时，即24≤a≤36时，a6与a7至少有一项是an的最小值．
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．有这样一首诗：“有个学生资性好，一部《孟子》三日了，每日添增一倍多，问君每日读多少？”(注：《孟子》全书共34685字，“一倍多”指一倍)，由此诗知该君第二日读的字数为__________．
解析：设第一日读的字数为a，由“每日添增一倍多”得此数列是以a为首项，2为公比的等比数列，可求得三日共读的字数为＝7a＝34685，解得a＝4955，∴2a＝9910，即该君第二日读的字数为9910.
答案：9910
8．在等差数列{an}中，满足3a4＝7a7，且a1>0，Sn是数列{an}前n项的和，若Sn取得最大值，则n＝__________.
解析：设公差d，由题设3(a1＋3d)＝7(a1＋6d)，
所以d＝－a1<0.
解不等式an>0，即a1＋(n－1)(－a1)>0，所以n<，则n≤9，
当n≤9时，an>0，同理可得n≥10时，an<0.
故当n＝9时，Sn取得最大值．
答案：9
9．已知数列{an}满足＝(n∈N*)，且a1＝1，则an＝__________.
解析：本题考查利用递推公式确定数列通项公式．据已知有：n≥2时利用累乘法得：an＝a1···…·＝1····…··＝，又验证知a1＝1也适合，故an＝.
答案：
10．设函数f(x)定义如下表，数列{xn}满足x0＝5，且对任意自然数均有xn＋1＝f(xn)，则x2006的值为__________.
x
1
2
3
4
5
f(x)
4
1
3
5
2
解析：∵x0＝5，xn＋1＝f(xn)，
∴x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(x1)＝f(2)＝1，
x3＝f(x2)＝f(1)＝4，x4＝f(x3)＝f(4)＝5.
从而知数列{xn}是以4为周期的数列，而x2006＝f(x2005)＝f(x1)＝f(2)＝1.
答案：1
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a3＝5，S15＝225；数列{bn}是等比数列，b3＝a2＋a3，b2b5＝128.
(1)求数列{an}的通项an及数列{bn}的前8项和T8；
(2)求使得>成立的正整数n.
解：(1)设等差数列{an}的公差为d，
由已知a1＋2d＝5,15a1＋×15×14d＝225，
即解得d＝2，a1＝1，
所以an＝2n－1.
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b3＝a2＋a3，所以b1q2＝8，
因为b2b5＝128，所以bq5＝128，
解得q＝2，b1＝2，
T8＝＝510.
(2)>即>，
解之得412．(15分)(2010·福建泉州一模)某城市决定对城区住房进行改造，在新建住房的同时拆除部分旧住房．第一年建新住房a m2，第二年到第四年，每年建设的新住房比前一年增长100%，从第五年起，每年建设的新住房都比前一年减少a m2；已知旧住房总面积为32a m2，每年拆除的数量相同．
(1)若10年后该城市住房总面积正好比改造前的住房总面积翻一番，则每年拆除的旧住房面积是多少m2?
(2)求前n(1≤n≤10且n∈N)年新建住房总面积Sn.
解：(1)10年后新建住房总面积为a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋5a＋4a＋3a＋2a＝42a.
设每年拆除的旧住房为x m2，
则42a＋(32a－10x)＝2×32a，
解得x＝a，即每年拆除的旧住房面积是a m2.
(2)设第n年新建住房面积为a，
则an＝
所以当1≤n≤4时，Sn＝(2n－1)a；
当5≤n≤10时，Sn＝a＋2a＋4a＋8a＋7a＋6a＋…＋(12－n)a＝15a＋＝，
故Sn＝
13．(20分)(2009·江西高考)各项均为正数的数列{an}，a1＝a，a2＝b，且对满足m＋n＝p＋q的正整数m，n，p，q都有＝.
(1)当a＝，b＝时，求通项an；
(2)证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有≤an≤λ.
解：(1)由＝
得＝，
将a1＝，a2＝代入上式化简得an＝，
所以＝·.
故数列{}为等比数列，
从而＝，即an＝.
可验证，an＝满足题设条件．
(2)由题设的值仅与m＋n有关，记为bm＋n，则bn＋1＝＝
考察函数f(x)＝(x>0)，
则在定义域上有f(x)≥g(a)＝
故对n∈N*，bn＋1≥g(a)恒成立．
又b2n＝≥g(a)，注意到0解上式得：＝≤an≤，
取λ＝，即有≤an≤λ.

展开更多......

收起↑