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2026-2027学年高中数学人教A版必修一单元测试 第四章 指数函数与对数函数
一、选择题
1．的零点为( )
A. B. C. D.
2．已知,则的分数指数幂的形式为( )
A. B. C. D.
3．已知,,,则a,b,c的大小关系是( )
A. B. C. D.
4．代数式的所有可能值为( )
A.3 B. C.或3 D.3或
5．函数的零点所在区间是( )
A. B. C. D.
6．已知函数且 ，若，则( )
A.3 B.2 C.4 D.
7．设，，，则( )
A. B. C. D.
8．设,,,则( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9．若,则下列各式一定有意义的是( )
A. B. C. D.
10．已知指数函数在上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值为( )
A. B. C. D.
11．若函数的定义域为R,则实数m的取值可能是( )
A.0 B.2 C.4 D.8
三、填空题
12．函数的零点是_____________.
13．函数（且）的图象恒过的定点是_____________.
14．已知,则__________.
四、解答题
15．用二分法求方程在上的近似解（精确度为0.2）.
参考数据：
x 1.125 1.25 1.375 1.5 1.625 1.75 1.875
2.18 2.38 2.59 2.83 3.08 3.36 3.67
16．已知镭经过100年剩留原来的，设质量为1的镭经过x年后的剩留量为y，则x，y的函数关系是怎样的？试写出.
17．如图所示,为宣传2023年杭州亚运会,某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏,宣传栏的面积之和为,为了美观,要求海报上四周空白的宽度为,两个宣传栏之间的空隙的宽度为,设海报纸的长和宽分别为,.
(1)求y关于x的函数表达式
(2)为节约成本,应如何选择海报纸的尺寸,可使用纸量最少
18．某公司今年头6个月的月利润如下表所示：
月份 1 2 3 4 5 6
利润/万元 29.9 44.2 54.1 61.7 68.3 73.4
假定短期内利润增长基本符合对数规律，预测一下今年7，8两个月的月利润各是多少.
参考答案
1．答案：B
解析：令,得：,
即,
两边取自然对数,得：.
故选：B
2．答案：A
解析：.
故选：A.
3．答案：B
解析：因为,,,
所以.
4．答案：C
解析：当时,；当时,；
当时,；当时,,
所以代数式的所有可能值为或3.
故选：C.
5．答案：A
解析：因为函数在定义域内单调递增,函数在定义域内单调递增,
所以函数在定义域内单调递增,
因为,
由零点存在性定理可知,函数在区间有唯一零点,
所以函数的零点所在区间是.
6．答案：C
解析：由题意知
，
所以，即得
解得.
故选：C.
7．答案：A
解析：由，，则，，
由，则，即，
由，则，即，
故；
由，则，
即，即；
综上可得：.
8．答案：D
解析：,,故,
又,.
从而有.
故选:D
9．答案：BD
解析：对于A,由,可知无意义,故A错误,
对于B,底数,指数,符合实数指数幂中底数大于零的情况,故B正确,
对于C,由,可知若,则无意义,故C错误,
对于D,因为根指数是3,任意实数都有唯一的立方根,所以有意义,故D正确.
故选：BD.
10．答案：BD
解析：当时,函数在上单调递增,
则,
所以,解得；
当时,函数在上单调递减,
则,,
所以,解得.
综上所述,实数a的值为或.
故选：BD.
11．答案：ABC
解析：由题意,函数的定义域为R,等价于在R上恒成立.
若,则在R上恒成立,符合题意;若,则解得.
综上,实数m的取值范围是,
故选：ABC.
12．答案：2
解析：令，解得，函数的零点是2.
13．答案：
解析：因为，
所以该函数的图象恒过的定点是，
故答案为：
14．答案：12
解析：由得,则,
所以,
故答案为:12.
15．答案：1.375
解析：令，，.
因为，所以方程在上的近似解可取1.375.
16．答案：
解析：设衰变率为a，则，
所以.所以，
关系式为.
17．答案：(1)
(2)海报长,宽时,用纸量最少.
解析：(1)由题知,两个矩形宣传栏的长为,宽为,
所以有,
整理得.
(2)由(1)知,即,
因为,所以由基本不等式可得,
令,则,解得（舍去）或.
所以,当且仅当,即时等号成立,
所以海报长,宽时,用纸量最少,最少用纸量为.
18．答案：预测7月盈利76.1万元，8月盈利77.2万元
解析：画散点图.
差值越来越小，由对数函数图象知，x越大图象越趋于平缓，
故预测7月盈利76.1万元，8月盈利77.2万元.
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