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第四章　三角函数
课时作业19　三角函数的概念
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．角α的终边上有一点(a，－a)(a>0)，则使f(a)＝－的一个函数是
(　　)
A．f(x)＝sinx B．f(x)＝tanx
C．f(x)＝cosx D．f(x)＝cotx
解析：由角的定义知sinα＝－＝－.
答案：A
2．若α是第三象限的角，则π－α是
(　　)
A．第一或第二象限的角 B．第一或第三象限的角
C．第二或第三象限的角 D．第二或第四象限的角
解析：在坐标系中，将各象限2等分，再从x轴正向的上方起，依次将各区域标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，则由图可知，在Ⅲ内，π－在Ⅱ内，故π－在第一或第三象限，选B.
答案：B
3．若tanx>0，且sinx＋cosx>0，则角x的终边在
(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：由tanx>0知角x在第一或第三象限，又sinx＋cosx>0，故x不可能在第三象限．
答案：A
4. (2010·杭州质检)如图1，已知单位圆O与y轴相交于A、B两点．角θ的顶点为原点，始边在x轴的正半轴上，终边在射线OC上．过点A作直线AC垂直于y轴且与角θ的终边交于点C，则有向线段AC的函数值是
(　　)
图1
A．sinθ B．cosθ
C．tanθ D．cotθ
解析：根据单位圆中三角函数线的定义可知应选择D.
答案：D
5．如果θ是第二象限角，且满足cos－sin＝，那么
(　　)
A．是第一象限角
B．是第二象限角
C．是第三象限角
D．可能是第一象限角，也可能是第三象限角
解析：∵θ是第二象限角，∴是第一或第三象限角前半区域的角，∵cos－sin＝≥0，∴cos≥sin，∴只能在第三象限．
答案：C
6．sin1，cos1，tan1的大小关系是
(　　)
A．tan1>sin1>cos1 B．tan1>cos1>sin1
C．cos1>sin1>tan1 D．sin1>cos1>tan1
解析：因为1rad≈57.30°，结合单位圆中的三角函数线知tan1>sin1>cos1，故选A.
答案：A
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．一个扇形的面积为4 cm2，周长为8 cm，则扇形的圆心角及相应的弦长分别是__________．
图2
解析：如图2所示，设扇形的半径为R，圆心角为α，则有
解得
取AB的中点C，连OC，则OC⊥AB，
且∠AOC＝＝1.∴AB＝2Rsin＝4sin1.
故所求的圆心角为2弧度，其弦长为4sin1.
答案：2,4sin1 cm
8．若θ角的终边与的终边相同，则在[0,2π]内终边与角的终边相同的角是________．
解析：由已知θ＝2kπ＋(k∈Z)，
∴＝＋(k∈Z)，
由0≤＋≤2π，得－≤k≤，
∵k∈Z，∴k＝0,1,2,3，
∴依次为π，π，π，π.
答案：π，π，π，π
9．在(0,2π)内使sinx>cosx成立的x的取值范围是______．
答案：
10．已知角α的终边在直线y＝－x上，则2sinα＋cosα的值是__________．
解析：因为直线y＝－x经过原点，且过第二、第四象限，当角α的终边在第二象限时，取终边上任意一点P(－4,3)，得|OP|＝5，由三角函数的定义得sinα＝，cosα＝－，故2sinα＋cosα＝；当角α的终边在第四象限时，取终边上任意一点P(4，－3)，得|OP|＝5，由三角函数的定义得sinα＝－，cosα＝故2sinα＋cosα＝－.
答案：或－
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知角α终边上有一点P(24k,7k)(k≠0)，且180°<α<270°，求α的六个三角函数值．
解：∵180°<α<270°，且x＝24k，y＝7k，
∴k<0，r＝|OP|＝＝－25k，
∴sinα＝＝－，cosα＝＝－，
tanα＝＝，cotα＝＝，
secα＝＝－，cscα＝＝－.
12．(15分)如果sinα·cosα>0，且sinα·tanα>0.化简：cos·＋cos·.
解：由sinα·tanα>0，得>0，cosα>0.
又sinα·cosα>0，∴sinα>0，∴2kπ<α<2kπ＋(k∈Z)，即kπ<当k为偶数时，位于第一象限；
当k为奇数时，位于第三象限；
∴原式＝cos·＋cos·
＝cos·＋cos·
＝＝
13．(20分)已知角α的终边经过点P(sin，cos)，且0≤α<2π，求角α.
解：解法1：tanα＝＝cot＝tan(－)
＝tan(－)＝tan＝tan.
∵点P在第四象限，0≤α<2π，
∴α＝.
解法2：点P(，－)在第四象限，tanα＝＝－，
又0≤α<2π，∴α＝.
解法3：点P(cos(－)，sin(－))，
即P(cos(－)，sin(－))，即P(cos，sin)．
∵0≤α<2π，∴α＝.

课时作业20　同角三角函数的基本关系式与诱导公式
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．已知sin(π＋α)＝－，那么cosα的值为
(　　)
A．±　　　　　　　　　 B.
C. D．±
解析：sin(π＋α)＝－，则sinα＝.
∴cosα＝±＝±.故选D.
答案：D
2．已知f(α)＝，则
f(－)的值为
(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：f(α)＝＝－cosα，
∵－＝－10π－，
∴f(－)＝－cos(－)＝－cos(－)＝－.故选B.
答案：B
3．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin150°)的值为
(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：f(sin150°)＝f(sin30°)＝f(cos60°)＝cos120°＝
－.
答案：B
4．若sinα＝，cosα＝，则的值为
(　　)
A. B.
C．－ D．－
解析：∵sinα＝，cosα＝，sin2α＋cos2α＝1，
∴()2＋()2＝1?k＝－7或k＝1.
k＝1时，sinα＝－1，cosα＝0?tanα无意义，k＝－7时，sinα＝，cosα＝?＝.故选B.
答案：B
5．(2010·天津和平高三质检)sin(－x)＝，则sin2x的值为
(　　)
A. B.
C. D.
解析：sin2x＝cos(－2x)＝cos＝1－2sin2(－x)＝.
答案：D
6．(2009·山东潍坊模拟)已知＝2009，则tan(x＋)的值为
(　　)
A．－2009 B．－
C. D．2009
解析：∵原式＝＝＝tan(x＋)＝2009，∴tan(x＋)＝tan(x＋)＝2009.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知θ∈，sinθ＝，则tanθ＝__________.
解析：由题意cosθ＝－?tanθ＝＝－.
答案：－
8．若f(n)＝sin，则f(1)·f(3)·f(5)·f(7)·f(9)·f(11)＝________.
解析：据题意，
原式＝sin·sin·sin·sin·sin·sin
＝－sin·sin·(－sin)·(－sin)
＝－(sin)4＝－.
答案：－
9．已知tanα＝2，则＝__________.
解析：＝＝＋＝tanα＋＝2＋＝.
答案：
10．(2009·山东烟台二模)已知tanα＋＝，则tan2α＋＋＝__________.
解析：tanα＋＝，
∴＋＝＝.
∴tan2α＋＋
＝(tanα＋)2－2＋
＝()2－2＋＝.
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)(1)若角α是第二象限角，化简tanα；
(2)化简：.
解：(1)原式＝tanα＝tanα
＝，
∵α是第二角限角，∴sinα>0，cosα<0，
∴原式＝＝·＝－1.
(2)原式＝
＝＝＝1.
12．(15分)(2009·山东聊城二模)已知tan(α＋)＝－.
(1)求tanα的值；
(2)求的值．
解：(1)由tan(α＋)＝＝－，
得tanα＝－.
(2)原式＝
＝
＝＝＝.
13．(20分)(2009·广东中学模拟)已知△ABC的面积S满足3≤S≤3且·＝6，与的夹角为α.
(1)求α的取值范围；
(2)求f(α)＝sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α的最小值．
解：(1)由题意知·＝||·||cosα＝6.
∵||·||＝，
S＝||·||sin(π－α)＝||·||sinα
＝××sinα＝3tanα.
∵3≤S≤3，∴3≤3tanα≤3即1≤tanα≤.
∵α是与的夹角，∴α∈[0，π]，∴α∈.
(2)f(α)＝sin2α＋2sinαcosα＋3cos2α＝1＋sin2α＋2cos2α＝2＋sin2α＋cos2α＝2＋sin.
∵α∈，2α＋∈，
∴当2α＋＝，即当α＝时，f(α)有最小值．
f(α)的最小值是.

课时作业21　两角和与差的三角函数
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·福建高考)函数f(x)＝sinxcosx的最小值是
(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．－
C. D．1
解析：∵f(x)＝sinxcosx＝sin2x，∴f(x)min＝－.
答案：B
2．(2009·陕西高考)若3sinα＋cosα＝0，则的值为
(　　)
A. B.
C. D．－2
解析：由3sinα＋cosα＝0得cosα＝－3sinα，则＝＝＝，故选A.
答案：A
3．(2009·湖南郴州三模)函数y＝sinxsin＋sincos2x的最大值和最小正周期分别为
(　　)
A．1，π B．2,2π
C.，2π D.，π
解析：y＝sinxsin＋sincos2x＝sin2x＋cos2x＝sin，则其最大值和最小正周期分别为1，π，故选A.
答案：A
4．已知sin(α－)＝，则cos(α＋)的值等于
(　　)
A. B．－
C．－ D.
解析：∵sin(α－)＝，
∴sin(－α)＝－，
∴cos(α＋)＝cos[－(－α)]
＝sin(－α)＝－.
答案：C
5．若sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝－，其中α＋β∈，α－β∈，则sin2β＝ (　　)
A. B．－
C．1 D．－1
解析：∵2β＝(α＋β)－(α－β)，
∴sin2β＝sin[(α＋β)－(α－β)]
＝sin(α＋β)cos(α－β)－cos(α＋β)sin(α－β)．
又sin(α＋β)＝，α＋β∈(，π)∴cos(α＋β)＝－，
sin(α－β)＝－，α－β∈(－，0)，
∴cos(α－β)＝，
∴sin2β＝×－(－)×(－)＝.
答案：A
6．已知cos＋sinα＝，则sin的值是
(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：由已知得cosα＋sinα＋sinα＝，即cosα＋sinα＝，得sin＝，
sin＝－sin＝－，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·上海高考)函数y＝2cos2x＋sin2x的最小值是________．
解析：y＝2cos2x＋sin2x＝sin2x＋1＋cos2x＝sin2x＋cos2x＋1＝sin＋1≥1－.
答案：1－
8．函数y＝cos2x－sinx的最小值为__________．
解析：y＝(1－2sin2x)－sinx
＝－2(sin2x＋sinx)＋1
＝－2(sinx＋)2＋.
∵sinx∈[－1,1]，∴当sinx＝1时，y取得最小值－2.
答案：－2
9．已知函数f(x)＝，则f(x)＋f(－x)的值为__________．
解析：f(x)＋f(－x)
＝＋
＝＝
＝＝＝.
答案：
10．cot20°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°＝__________.
解析：原式＝tan70°cos10°＋sin10°tan70°－2cos40°
＝tan70°(sin10°＋cos10°)－2cos40°
＝·2·sin40°－2cos40°
＝·2·2sin20°cos20°－2cos40°
＝4cos220°－2cos40°
＝2(2cos220°－1)＋2－2cos40°＝2.
答案：2
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知cos＝，x∈.
(1)求sinx的值；
(2)求sin的值．
解：(1)因为x∈，
所以x－∈，
于是sin＝＝.
sinx＝sin
＝sincos＋cossin
＝×＋×＝.
(2)因为x∈，
故cosx＝－＝－＝－.
sin2x＝2sinxcosx＝－，
cos2x＝2cos2x－1＝－.
所以sin＝sin2xcos＋cos2xsin
＝－.
12．(15分)已知α、β都是锐角，且sinβ＝sinα·cos(α＋β)．
(1)若α＋β＝，求tanβ的值；
(2)当tanβ取最大值时，求tan(α＋β)的值．
解：(1)∵α＋β＝，
∴sinβ＝sin(－β)cos＝sin(－β)
＝(cosβ－sinβ)，化简得：sinβ＝cosβ，
∵β是锐角，∴tanβ＝.
(2)由已知得：sinβ＝sinαcosαcosβ－sin2αsinβ，
∴tanβ＝sinαcosα－sin2αtanβ，
∴tanβ＝＝
＝＝≤＝.
当且仅当＝2tanα，
即tanα＝时，tanβ取得最大值，
此时，tan(α＋β)＝＝.
13．(20分)(2009·江西高考)△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝，sin(B－A)＝cosC.
(1)求A，C；
(2)若S△ABC＝3＋，求a，c.
解：(1)因为tanC＝，即＝，
所以sinCcosA＋sinCcosB＝cosCsinA＋cosCsinB，
即sinCcosA－cosCsinA＝cosCsinB－sinCcosB，
得sin(C－A)＝sin(B－C)，
所以C－A＝B－C，或C－A＝π－(B－C)(不成立)，
即2C＝A＋B，得C＝，所以B＋A＝.
又因为sin(B－A)＝cosC＝，
则B－A＝或B－A＝(舍去)，
得A＝，B＝.∴A＝，C＝.
(2)S△ABC＝acsinB＝ac＝3＋，又＝，即＝，得a＝2，c＝2.

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