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课时作业22　三角函数式的求值、化简与证明
时间：45分钟　　　　分值：100分
　　　　　　　　　　　　
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．下列各式中，值为的是
(　　)
A．2sin15°cos15° B．cos215°－sin215°
C．2sin215°－1 D．sin215°＋cos215°
解析：cos215°－sin215°＝cos30°＝.
答案：B
2．已知角α在第一象限且cosα＝，＝
(　　)
A. B.
C. D．－
解析：∵角α是第一象限角且cosα＝，∴sinα＝，
∴＝
＝＝2cosα＋2sinα＝，
故正确答案是C.
答案：C
3．设a＝(sin56°－cos56°)，b＝cos50°·cos128°＋cos40°·cos38°，c＝(cos80°－2cos250°＋1)，则a，b，c的大小关系是
(　　)
A．a>b>c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
解析：∵a＝sin56°·－cos56°·
＝sin(56°－45°)＝sin11°，
b＝cos50°·(－cos52°)＋cos40°·cos38°
＝－sin40°·cos52°＋cos40°·sin52°，
＝sin(52°－40°)＝sin12°.
c＝(cos80°＋1－2cos250°)
＝(2cos240°－2sin240°)＝cos80°＝sin10°.
∴b>a>c.
答案：B
4．已知sinαsinβ＝1，则cos(α－β)的值为
(　　)
A．1 B．0
C．－1 D．1或－1
解析：由|sinα|≤1，|sinβ|≤1及sinαsinβ＝1可得cosαcosβ＝0，于是cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1.
答案：A
5．已知方程x2＋4ax＋3a＋1＝0(a>0)的两根为tanα、tanβ，且α，β∈(－，)，则tan的值是
(　　)
A. B．－2
C. D.或－2
解析：∵a>0，∴tanα＋tanβ＝－4a<0，tanα·tanβ＝3a＋1>0，α、β∈(－，)，∴α、β∈(－，0)，则∈(－，0)，又tan(α＋β)＝＝＝，∴tan(α＋β)＝＝，整理得2tan2＋3tan－2＝0，解得tan＝－2，故选B.
答案：B
6．(2010·衡阳联考)如图1，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin＋cos的值是
(　　)
图1
A．1 B.
C．－1 D．－
解析：结合图形易知θ＝6π，∴sin＋cos＝－1.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．计算＝________.
解析：sin(α＋30°)＋cos(α＋60°)＝sinα＋cosα＋cosα－sinα＝cosα，则所求答案为.
答案：
8．已知△ABC的三个内角A、B、C 满足cosA(sinB＋cosB)＋cosC＝0，则∠A＝________.
解析：由题意得cosA(sinB＋cosB)－cos(A＋B)＝0，展开并整理得sinB(cosA＋sinA)＝0，又sinB>0，因此cosA＋sinA＝0，tanA＝－1，又A∈(0，π)，因此∠A＝.
答案：(或135°)
9．(2010·东城目标检测)已知{an}为等差数列，若a1＋a5＋a9＝π，则cos(a2＋a8)的值为__________．
解析：由a1＋a5＋a9＝π，得a5＝，a2＋a8＝2a5＝，
∴cos(a2＋a8)＝－.
答案：－
10．(2009·西城抽样)给出下列四个函数：
①y＝sinx＋cosx；②y＝sinx－cosx；
③y＝sinx·cosx；④y＝.
其中在(0，)上既无最大值也无最小值的函数是______．
解析：对于①，注意到当x∈(0，)时，函数y＝sinx＋cosx＝sin(x＋)有最大值；对于②，注意到当x∈
(0，)时，x－∈(－，)，sin(x－)∈(－，)，此时y＝sinx－cosx＝sin(x－)既无最大值也无最小值；对于③，注意到当x∈(0，)时，2x∈(0，π)，此时函数y＝sinxcosx＝sin2x有最大值；对于④，当x∈(0，)时，y＝＝tanx是增函数，此时该函数既无最大值也无最小值．综上所述，其中在(0，)上既无最大值也无最小值的函数是②④.
答案：②④
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知α为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝，求tanα和tanβ的值．
解：∵cosα＝，且α为锐角，
∴sinα＝＝＝.
∴tanα＝＝.
于是tanβ＝tan[α－(α－β)]
＝＝＝.
12．(15分)(2009·广东高考)已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈(0，)．
(1)求sinθ和cosθ的值；
(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．
解：(1)∵a⊥b，则a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ，代入sin2θ＋cos2θ＝1，得sinθ＝±，cosθ＝±，又θ∈(0，)，∴sinθ＝，cosθ＝.
(2)∵0<φ<，0<θ<，∴－<θ－φ<.
则cos(θ－φ)＝＝，
∴cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝.
13．(20分)(2009·山东青岛模拟)已知二次函数f(x)对于任意x∈R，都有f(1－x)＝f(1＋x)成立，设向量a＝(sinθ，2)，b＝(2sinθ，)，c＝(cos2θ，1)，d＝(1,2)，当θ∈[0，π]时，求不等式f(a·b)>f(c·d)的解集．
解：∵f(1－x)＝f(1＋x)，
∴f(x)的对称轴为x＝1，
∵a·b＝2sin2θ＋1≥1，c·d＝cos2θ＋2≥1，
不妨设f(x)的二次项系数为m，
①当m>0时，f(x)在[1，＋∞)上为增函数，
由f(a·b)>f(c·d)得2sin2θ＋1>cos2θ＋2，
∴cos2θ<0.∵θ∈[0，π]，
∴<θ<.
②当m<0时，f(x)在[1，＋∞)上为减函数，
则2sin2θ＋10.
∴0≤θ<或<θ≤π.
∴当二次项系数为m>0时，原不等式的解集为(，)
当二次项系数m<0时，原不等式的解集为[0，)∪(π，π]．

课时作业23　三角函数的图象
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．将函数y＝sin(6x＋)的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是
(　　)
A．(，0)　　　　　　　　 B．(，0)
C．(，0) D．(，0)
解析：将函数y＝sin(6x＋)的图象按照条件变换后得到y＝sin2x的图象，故选A.
答案：A
2．如图1为函数y＝2sin(ωx＋φ)(|φ|
<)的图象，那么
(　　)
图1
A．ω＝，φ＝
B．ω＝，φ＝－
C．ω＝2，φ＝
D．ω＝2，φ＝－
解析：因图象可由y＝2sinωx左移而得，∴φ>0，又∵图象过(0,1)点，∴φ＝，再由图象过(π，0)，得ω＝2.
故选C.
答案：C
3．设点P是函数f(x)＝cosωx(其中ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离最小值是π，则函数f(x)的最小正周期是
(　　)
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：由f(x)的图象性质得f(x)的周期为4π，故选D.
答案：D
4．(2009·辽宁高考)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图像如图2所示，f()＝－，则f(0)等于
(　　)
图2
A．－　　　 B．－
C. D.
解析：首先由题图可知所求函数的周期为，故ω＝＝3.将(，0)代入解析式，其相当于余弦函数“五点法”作图中的第二关键点，∴＋φ＝＋2kπ.
∴φ＝－＋2kπ.令φ＝－，代入解析式得f(x)＝Acos(3x－)．
又∵f()＝－，f()＝－Acos＝－，
∴f(0)＝Acos(－)＝Acos＝.
答案：C
5．方程2sin2x＝x－3的解有
(　　)
A．1个　　　　　　　　　　 B．2个
C．3个 D．4个
解析：作y＝sin2x与y＝的图象可得其交点为3个且在x∈(0,2π)上．故选C.
图3
答案：C
6．(2009·浙江高考)已知a是实数，则函数f(x)＝1＋asinax的图象不可能是
(　　)
解析：当a＝0时f(x)＝1，C符合，
当0<|a|<1时T>2π，A符合，
当|a|>1时T<2π，B符合．排除A、B、C，故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．(2009·江苏高考)函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)在闭区间
[－π，0]上的图象如图4所示，则ω＝______.
图4
解析：由题图可知，T＝，
∴ω＝＝3.
答案：3
8．将函数y＝f(x)·sinx(x∈R)的图象向右平移个单位后，再作关于x轴对称变换，得到函数y＝1－2sin2x的图象，则f(x)可以是________．
解析：将y＝f(x)sinx的图象向右平移个单位得
y＝f(x－)sin(x－)的图象，
其关于x轴的对称图象的解析式为
y＝－f(x－)sin(x－)，
∵y＝1－2sin2x＝cos2x＝sin(－2x)
＝2sin(－x)cos(－x)＝－2cos(x－)sin(x－)
∴f(x－)＝2cos(x－)，故f(x)＝2cosx.
答案：2cosx
9．设函数f(x)＝sin2x，若f(x＋t)是偶函数，则t的一个可能值是__________．
解析：∵f(x＋t)＝sin2(x＋t)＝sin(2x＋2t)是偶函数，
∴f(x＋t)＝f(－x＋t)，
即sin(2x＋2t)＝sin(－2x＋2t)．
∴2x＋2t＝－2x＋2t＋2kπ，k∈Z，
或2x＋2t＝π－(－2x＋2t)＋2kπ，k∈Z.
∴t＝π，k∈Z.
答案：，，，…，π(k∈Z)
10．(2009·福建师大附中模拟)下列命题：
①函数y＝sinx在第一象限是增函数；
②函数y＝|cosx＋|的最小正周期是π；
③函数y＝tan的图象的对称中心是(kπ，0)，k∈Z；
④函数y＝lg(1＋2cos2x)的递减区间是[kπ，kπ＋)，k∈Z；
⑤函数y＝3sin(2x＋)的图象可由函数y＝3sin2x的图象按向量a＝(，0)平移得到．
其中正确的命题序号是__________．
答案：③④
三、解答题(共50分)
11．(15分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)的一段图象过点(0,1)，如图5所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
图5
解：(1)由图知，T＝π，于是ω＝＝2.
将y＝Asin2x的图象向左平移，
得y＝Asin(2x＋φ)的图象，
于是φ＝2·＝.
将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.
故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]
＝－2cos(2x＋)，
当2x＋＝2kπ＋π，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2.
x的取值集合为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
12．(15分)(2009·天津重点学校联考)已知函数f(x)＝sin2x＋sinxcosx＋2cos2x，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)将函数f(x)的图象按向量a＝(，－)平移后得到函数g(x)的图象，求g(x)的解析式；
(3)在给定的坐标系中(如图6)画出函数y＝g(x)在区间[0，π]上的图象．
图6
解：(1)f(x)＝＋sin2x＋(1＋cos2x)
＝sin2x＋cos2x＋＝sin(2x＋)＋.
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)把f(x)图象上所有的点按向量a＝(，－)平移后，所得到的图象的解析式为
g(x)＝sin[2(x－)＋]＋－
＝sin(2x－)．
(3)由y＝sin(2x－)，知
x
0




π
y
－
－1
0
1
0
－
图7
13．(20分)(2009·重庆高考)设函数f(x)＝sin－2cos2x＋1.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)若函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，求当x∈时，y＝g(x)的最大值．
解：(1)f(x)＝sinxcos－cosxsin－cosx
＝sinx－cosx＝sin，
故f(x)的最小正周期为T＝＝8.
(2)解法1：在y＝g(x)的图象上任取一点(x，g(x))，它关于x＝1的对称点为(2－x，g(x))．
由题设条件，点(2－x，g(x))在y＝f(x)的图象上，从而
g(x)＝f(2－x)＝sin
＝sin＝cos.
当0≤x≤时，≤x＋≤，因此y＝g(x)在区间上的最大值为g(x)max＝cos＝.
解法2：因区间关于x＝1的对称区间为，且y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于x＝1对称，故y＝g(x)在上的最大值即为y＝f(x)在上的最大值．
由(1)知f(x)＝sin，
当≤x≤2时，－≤x－≤.
因此y＝g(x)在上的最大值为
g(x)max＝sin＝.

课时作业24　三角函数的性质
时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·四川高考)已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是
(　　)
A．函数f(x)的最小正周期为2π
B．函数f(x)在区间[0，]上是增函数
C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称
D．函数f(x)是奇函数
解析：∵f(x)＝sin(x－)＝－cosx(x∈R)，∴函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，故选D.
答案：D
2．如果|x|≤，f(x)＝cos2x＋sinx的最小值是
(　　)
A.　　　　　　　　 B．－
C．－1 D.
解析：∵f(x)＝(1－sin2x)＋sinx
＝－(sinx－)2＋.
又∵|x|≤，∴sinx∈[－，]，
故当sinx＝－时，
[f(x)]min＝1－(－)2＋(－)＝.
答案：D
3．(2009·全国卷Ⅰ)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为
(　　)
A. B.
C. D.
解析：依题意得3cos(＋φ)＝0，＋φ＝kπ＋，φ＝kπ－(k∈Z)，因此|φ|的最小值是，选A.
答案：A
4．(2009·江苏苏州模拟)函数y＝sin4x＋cos2x的最小正周期为
(　　)
A. B.
C．π D．2π
解析：y＝sin4x＋cos2x＝()2＋
＝＋
＝＋＝＋·，
∴T＝＝.
答案：B
5．(2009·南昌二模)函数f(x)＝sinx在区间[a，b]上是增函数，且f(a)＝－1，f(b)＝1，则cos的值为
(　　)
A．0 B.
C．1 D．－1
解析：由f(a)＝－1，f(b)＝1，得a＝2kπ－，k∈Z，b＝2kπ＋，k∈Z，且a、b中k取同一个值，故cos＝cos2kπ＝1，故选C.
答案：C
6．(2010·江西五校联考)已知函数f(x)＝2sinωx在区间
[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是
(　　)
A．(－∞，－]∪[6，＋∞)
B．(－∞，－]∪[，＋∞)
C．(－∞，－2]∪[，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[6，＋∞)
解析：题设条件等价于sinωx在区间[－，]上能取最小值－1，当ω>0时，只需－≤－或≥，即ω≥；当ω<0时，只需－≥或≤－，即ω≤－2.所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪[，＋∞)．故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．定义在R上的函数f(x)＝sinx＋cosx的最大值是__________．
解析：∵f(x)＝2sin(x＋)，∴f(x)最大＝2.
答案：2
8．f(x)是以5为周期的奇函数，f(－3)＝4且cosα＝，则f(4cos2α)＝________.
解析：∵4cos2α＝4(2cos2α－1)＝4(2×－1)＝－2，又T＝5，∴f(4cos2α)＝f(－2)＝f(－2＋5)＝f(3)＝－f(－3)＝－4.
答案：－4
9．函数y＝的单调递增区间是__________．
解析：y＝＝
＝＝＝tan(＋)，
当＋∈(kπ－，kπ＋)，k∈Z时，函数为增函数，此时x∈(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z.
答案：(2kπ－，2kπ＋)，k∈Z
10．(2010·江西协作体联考)已知函数y＝asinx＋bcosx＋c的图象上有一个最低点(π，1)，如果图象上每点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，然后向左平移一个单位，可得到y＝f(x)的图象，又知f(x)＝3的所有根依次形成公差为2的等差数列，下列结论：
(1)f(x)的周期为4；(2)f(x)的周期为2；(3)a＝，b＝
－，c＝3；(4)a＝1，b＝－1，c＝2.其中正确的序号是__________．
解析：依题意可知－a＋b＋c＝1，－＋c＝1，a＝－b，y＝asinx＋bcosx＋c＝asin(x－)＋c，a>0，－a＋c＝1，且f(x)＝asin[(x＋1)－]＋c＝asin(x＋)＋c，函数f(x)的周期是＝4，因此(1)是正确的，(2)是错误的．由f(x)＝3的所有根依次形成公差为2的等差数列及f(x)的周期是4得c＝3.又－a＋c＝1，由此解得a＝，b＝－，(3)是正确的．综上所述，其中正确的命题是(1)(3)．
答案：(1)(3)
三、解答题(共50分)
11．(15分)求函数f(x)＝的最小正周期、最大值、最小值及单调区间．
解：f(x)＝
＝)
＝(1＋sinx·cosx)＝sin2x＋，
所以函数的最小正周期为π，最大值为，最小值为.
令2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
令2kπ＋≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
则kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数的单调增区间为[kπ－，kπ＋]，k∈Z，单调减区间为[kπ＋，kπ＋]，k∈Z.
12．(15分)设函数f(x)＝(2cosx＋asinx)sinx＋cos2x(x∈R)，且f()＝f()．
(Ⅰ)求函数f(x)的值域；
(Ⅱ)设f(x)图象上过任意一点P的切线斜率为k，证明：|k|≤2.(文科选做)
解：(Ⅰ)f(x)＝2sinxcosx＋asin2x＋1－sin2x
＝sin2x＋(1－cos2x)＋1.
∴f()＝a，f()＝.
由f()＝f()，有a＝，∴a＝3.
∴f(x)＝sin2x－cos2x＋2＝sin(2x－)＋2.
∴函数f(x)的值域为[2－，2＋]．
(Ⅱ)设P(x，y)是f(x)图象上任意一点，则
k＝f′(x)＝2cos(2x－)．
∴|k|＝|f′(x)|＝≤|2|＝2.
13．(20分)(2009·陕西高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A>0，ω>0,0<φ<)的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为M(，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈[，]时，求f(x)的值域．
解：(1)由最低点为M(，－2)得A＝2.
在x轴上相邻两个交点之间的距离为得＝，即T＝π，∴ω＝＝＝2.
由点M(，－2)在函数图象上得2sin(2×＋φ)＝－2，即sin(＋φ)＝－1，故＋φ＝2kπ－，k∈Z，
∴φ＝2kπ－.
又φ∈(0，)，∴φ＝，故f(x)＝2sin(2x＋)．
(2)∵x∈[，]，∴2x＋∈[，]，
当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最大值2；当2x＋＝，即x＝时，f(x)取得最小值－1，故f(x)的值域为[－1,2]．

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