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湖南长沙市望城区第一中学2026届高三考前模拟考试（二）数学试卷
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
则满足，
可得，
所以，
由不等式，
解得，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据对数型函数的定义域得出集合，再利用一元二次不等式求解方法得出集合，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
2．已知复数，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，则．
故答案为：C.
【分析】利用复数的混合运算法则得出复数z，再利用共轭复数的定义和复数的运算法则，从而化简得出所求复数.
3．设向量，满足，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为
所以.
故答案为：A.
【分析】利用向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
4．若直线与圆相切，则m的值为（　　）
A．21或 B．或1 C．5或 D．或15
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为圆，半径为2，
由题意，可得：，
解得或.
故答案为：D.
【分析】根据圆的方程得出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相切位置关系以及点到直线的距离公式得出实数m的值.
5．已知函数的图象是由曲线上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移个单位长度后所得，则（　　）
A．-1 B． C． D．1
【答案】D
【知识点】函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意，显然，
由，可得，则，，
由，得，
所以，
则．
故答案为：D．
【分析】 利用正弦函数的图象变换得出函数的解析式，再利用代入法得出的值.
6．已知数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，则，
由，则，
所以，
则、、、，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意结合递推公式变形，从而可得、，再利用等比数列前n项和公式得出.
7．定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（　　）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：令，得，
则，
所以，函数的图象关于对称，
又的图象关于直线对称，
所以，
的图象关于直线对称，
因为，
是以4为周期的周期函数.
对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，
则的图象关于轴对称，
所以是偶函数，故A错误；
对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，
则的图象关于原点对称，
所以是奇函数，故B错误；
对于C，由，
得；
由，
得，
，故C正确；
对于D，依题意，
得，，
，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数的图象的对称性和已知条件以及周期函数的定义，从而可得的图象关于点对称和直线对称且以4为周期的周期函数，再利用函数的奇偶性定义、函数图象的平移，函数值求解方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
8．已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由两两相互独立得到，
设，
则
，解得，
又考虑，
解得，综上得．
故答案为：C.
【分析】由独立事件得定义可得，设，利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性的定义逐步缩小求解即可.
9．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由且函数在上为减函数，则，故A错误；
对于B，由，则，所以，故B正确；
对于C，由，且函数在上为增函数，则，故C正确；
对于D，由对勾函数的性质，可知函数在上为增函数，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据和指数函数的单调性，则判断出选项A；根据作差比较大小的方法和不等式的基本性质，则判断出选项B；根据对数函数的单调性判断出选项C；根据对勾函数的单调性判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（　　）
A．甲从M到达N处的方法有15种
B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，
需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A正确；
对于B，第一步，甲从M到，有种走法；
第二步，从到N，有种走法，
所以，共有种走法，故B错误；
对于C，由选项B可知，甲、乙经过的走法都有9种，
所以在处相遇共有种走法，
而甲、乙两人的总走法有种，
所以两人在处相遇的概率为，故C正确；
对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，所以，相遇时走过的路程相等，
则两人只能在处相遇，由选项C可知选项D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和组合数公式，则可判断选项A；根据分步乘法计数原理和组合数公式，则可判断选项B；根据选项B和分步乘法计数原理、组合数公式以及古典概率公式，则可判断选项C；利用选项C和已知条件，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为，
因为顶点在原点，焦点为，将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，
又因为焦点为，则其方程为，即，故正确；
对于B，根据选项A分析，由，解得或，
则，代入可得，由图象对称性，可得，则，故B正确；
对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由，解得，
由，解得，
则，
所以，弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
则在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得：，（），
由函数的图象知，当时，取得最大值为，故C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，
则可先求部分面积的近似值，如图：
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
因为，设切线为，联立得，解得
又因为，所以，两直线的距离为，
则，
由图知，半个花瓣的面积必大于，
所以，原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由开口向上的抛物线关于直线对称，从而得出开口向上的抛物线的方程，则判断出选项A；求出交点、点B的坐标，利用两点距离公式得出AB的长，则判断出选项B；联立与得出两点坐标，以及关于t的解析式，利用换元法求得的最大值，则判断出选项C； 通过求抛物线的切线方程，计算三角形面积并结合图形对称性与面积放缩，推导出阴影部分面积大于4，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．已知，则曲线在点处的切线方程为　 　．
【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，，，，
则在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可.
13．已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为　 　
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在方向上的数量投影为：，
又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】利用数量积求数量投影的公式，再利用辅助角公式，从而将在方向上的数量投影转化为三角型函数，再利用x的取值范围以及正弦型函数性质求解.
14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】球内接多面体；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为平面，平面，所以，，
因为，又，所以平面，
又平面，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，设，因为，，
所以，，因为，，
所以中，，．
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，设，，
由题可知，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为．
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
此时即取得最大值．
故答案为：.
【分析】本题求解两个平面夹角余弦值的最大值，核心思路是通过建立空间直角坐标系，利用向量法来处理，先合理设定坐标系，确定相关点坐标，再求出两个平面的法向量，最后依据向量夹角公式结合最值求解方法（如基本不等式 ）得出结果.
15．在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：
思维任务类型 信号同步性 合计
信号同步 信号不同步
逻辑推理 42 58 100
创造性想象 28 72 100
合计 70 130 200
（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由．
（2）根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
【答案】（1）解：逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率，
思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即；
（2）解：零假设：思维任务类型与信号同步性无关，
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关．
【知识点】独立性检验的应用；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据列联表数据分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率判断即可；
（2）先进行零假设，再计算值，与临界值比较判断即可.
（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率，
思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即；
（2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关，
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关．
16．在直三棱柱中，，，，，，
（1）若平面，求的值；
（2）若二面角与二面角的大小相等，求的值．
【答案】（1）解：连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，
又是的中点，故是的中点
.
（2）解：因为二面角与二面角的大小相等，
所以二面角是二面角的大小的一半，
法一：几何法
过点在平面内作，垂足为，连接、，
，，，、平面，
平面，
平面，，
又，，、平面，平面，
又、平面，，，
二面角和二面角的平面角分别为、，
分别记作和，则为锐角，且，
因为，，，故，
所以，，
即，解得，
又，解得，所以．
法二：空间向量法
在直三棱柱中，平面，，
以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面的一个法向量分别为、，
设二面角与二面角的平面角分别为、，且，
则，取，可得，
，取，可得
则，，
由，即，因为，解得.
即.
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】本题围绕直三棱柱的线面平行与二面角问题展开：
（1）利用线面平行的性质，构造辅助线找到线线平行关系，结合棱柱的特征（侧面是平行四边形）及中位线性质，建立与线段比例的联系求解。
（2）提供几何法与空间向量法两种思路，解法一：几何法通过作垂线找到二面角的平面角，利用二倍角关系结合三角函数求解；
解法二：空间向量法通过建系，用向量表示相关点与平面法向量，依据二面角的向量公式及二倍角余弦关系列方程求解.
（1）连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，
又是的中点，故是的中点，.
（2）因为二面角与二面角的大小相等，
所以二面角是二面角的大小的一半，
法一：几何法
过点在平面内作，垂足为，连接、，
，，，、平面，
平面，
平面，，
又，，、平面，平面，
又、平面，，，
二面角和二面角的平面角分别为、，
分别记作和，则为锐角，且，
因为，，，故，
所以，，
即，解得，
又，解得，所以．
法二：空间向量法
在直三棱柱中，平面，，
以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面的一个法向量分别为、，
设二面角与二面角的平面角分别为、，且，
则，取，可得，
，取，可得
则，，
由，即，因为，解得.
17．在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求A.
（2）已知.
（i）若的面积为，求c；
（ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值.
【答案】（1）解：由，可得：，所以.
因为，所以，则，
解得.
（2）解：（i）根据三角形面积公式，可得，
则，得，
再根据余弦定理，可得，
则，
由，可得，
代入，得，
则，
解得，则.
（ii）因为，且，点Q是的中点，
在中，由余弦定理，
可得，则，
如图，在中，设，
则，，
令，则代入，
得，解得，
代入得：，
设，，则，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
则当时，，
因为，
所以的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简已知等式，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角A的值.
（2）（i）利用已知条件和三角形面积公式，从而求出的值，再由余弦定理得出的值，解方程得出的值.
（ii）在中，利用余弦定理结合，令换元，则将问题转化为函数的最值问题，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的最小值.
（1）由，可得：，所以.
因为，所以，则，解得.
（2）（i）根据三角形面积公式，可得，即，得.
再根据余弦定理，可得，即.
由可得，代入得，即，
解得，则.
（ii），且，点Q是的中点，
在中，由余弦定理，可得，
即，
如图，在中，设，则，，，
令，则代入得，
解得，代入，
设，，
则，令解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故当时，，又，
故的最小值为.
18．已知函数．
（1）若在处的切线方程为，求的值；
（2）当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围；
（3）当时，有三个不同零点，求的取值范围．
【答案】（1）解：由函数，
可得，
则，
所以，
因为在处的切线方程为，
可得，
解得，
将代入切线方程，
可得，
则，
解得，
所以.

（2）解：当时，，
因为函数的图像象开口向上，对称轴为，
所以，
又因为，
所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，
可得，
所以，
则，
解得，
所以的取值范围为.

（3）解：当时，可得，
因为有三个不同零点，
所以有三个不相等实根，
则与的图象有三个交点，
设，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
由，
且当时，；当时，，
因为与的图象有三个交点，
所以，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先根据函数f(x)的解析式得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式得出函数在处的切线方程，最后由已知条件得出a，b的值.
（2）当时，，利用二次函数的单调性和开口方向，从而得出，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，进而得出不等式，求解不等式得出实数b的取值范围.
（3）先利用a的值和函数f(x)、函数g(x)的解析式得出函数h(x)的解析式，再利用函数的零点与方程的根的等价关系和已知条件，从而转化为有三个不相等实根，设，再利用导数的正负判断函数的单调区间，从而得出函数的极值，再结合函数的零点与两函数交点横坐标的等价关系，从而得出函数与有三个交点，进而列出不等式求解得出实数b的取值范围.
（1）由函数，可得，
则，所以，
因为在处的切线方程为，
可得，解得，
将代入切线方程，可得，
即，解得，所以.
（2）当时，，
因为函数的图像象开口向上，对称轴为，
所以，
又因为，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，可得，
所以，则，解得，
所以的取值范围为.
（3）当时，可得，
因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根，
即与的图象有三个交点，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，且时，；时，，
因为与的图象有三个交点，所以，
所以实数的取值范围为.
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）．
（i）求的取值范围；
（ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积．
【答案】（1）解：设，则，
设为椭圆的半焦距，
则，
，
当取最大值时，的面积取得最大值时，
，
时，
则取最大值，此时，或，
的最大面积为，
的最大面积为，
所以，此时，
则，
，
，
又，
联立，
解得，
所以，椭圆的标准方程.
（2）解：（i）如图，当直线的方程为时，
不存在，不满足题意，
设直线的方程为，
联立，
消去，得到，
整理得，
设，，，
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，
，
，
，
，
同号，
，
，
同号，
，
，
，
，
，
，
，
设，
点在点，之间，则，
转化为，
，
，
，
，
，
，
，
，
的取值范围.
（ii）如图，作出符合题意的图形，
，
，
，
，且四边形为平行四边形，
，
，
，
为椭圆上一点，
，
，
，
，
，
，
设点直线的距离为，
，
.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，依题意，则，
设为椭圆的半焦距，则，再利用三角形面积公式和几何法求最值的方法，从而求出的面积的最大值，进而求出的最大值，再根据的取值范围可得的值，再由得到，再解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程.
（2）（i）设直线的方程，将直线方程和椭圆联立，再根据判别式法得出的取值范围，再利用韦达定理求出和，从而得到同号，再利用三角形面积公式求出，由和求出，再由的取值范围求出的取值范围，再根据换元法和点在点，之间，从而得到的取值范围，再由的取值范围求出的取值范围，从而得到的取值范围，进而得到的取值范围.
（ii）利用平行四边形法则得到四边形为平行四边形，从而求出，进而得到点的坐标，再将点代入椭圆的方程求出的值，再利用弦长公式求出的值，再根据点到直线的距离公式求出的值，则由三角形面积公式得出四边形的面积.
（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，
，
当取最大值时，的面积取得最大值时，
，时，取最大值，此时，或，
的最大面积为，的最大面积为，
，此时，则，
，，
又，联立，解得，
椭圆的标准方程；
（2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意，
设直线的方程为，
联立，消去，得到，
整理得，
设，，，
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，
，，
，，同号，
，
，同号，，
，，
，，，
，
设，点在点，之间，则，
转化为，
，，，，
，，，，
的取值范围.
（ii）如图，作出符合题意的图形，
，，
，，且四边形为平行四边形，
，，
，为椭圆上一点，，
，，
，
，，
设点直线的距离为，，
.
1 / 1湖南长沙市望城区第一中学2026届高三考前模拟考试（二）数学试卷
1．已知集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（　　）
A．2 B． C． D．
3．设向量，满足，，则（　　）
A．1 B．2 C．3 D．5
4．若直线与圆相切，则m的值为（　　）
A．21或 B．或1 C．5或 D．或15
5．已知函数的图象是由曲线上各点的横坐标变为原来的2倍后，再向左平移个单位长度后所得，则（　　）
A．-1 B． C． D．1
6．已知数列的前项和为，则（　　）
A． B． C． D．
7．定义在上的函数满足：①对任意，都有；②的图象关于直线对称：③则下列说法正确的是（　　）
A．是奇函数 B．是偶函数
C． D．
8．已知随机事件，，发生的概率均为，且两两独立，那么这三个事件同时发生的概率可能为（　　）
A． B． C． D．
9．若，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在某城市中，M，N两地之间有整齐的方格形道路网，其中是道路网中的5个指定交汇处，今在道路网M，N处的甲、乙两人分别要到N，M处，他们分别随机地选择一条沿街的最短路径，以相同的速度同时出发，直到到达N，M处为止，则下列说法正确的是（　　）
A．甲从M到达N处的方法有15种
B．甲从M必须经过到达N处的方法有6种
C．甲、乙两人在处相遇的概率为
D．甲、乙两人在道路网中5个指定交汇处相遇的概率为
11．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转、、后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若，则（ ）
A．开口向上的抛物线的方程为
B．
C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为
D．阴影区域的面积大于4
12．已知，则曲线在点处的切线方程为　 　．
13．已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为　 　
14．如图1，已知球O的半径．在球O的内接三棱锥中．平面，，，．P，Q分别为线段AC，BC的中点，G为线段BD上一点（不与点B重合），如图2．则平面与平面夹角的余弦值的最大值为　 　．
15．在脑机接口技术实验中，研究人员为验证不同思维任务下，两个大脑的信号同步性是否独立，研究人员选取了200组观测数据，聚焦于“逻辑推理”与“创造性想象”两类任务，记录了两位受试者脑电信号的同步情况，得到了如下列联表：
思维任务类型 信号同步性 合计
信号同步 信号不同步
逻辑推理 42 58 100
创造性想象 28 72 100
合计 70 130 200
（1）分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率，你认为思维任务类型与信号同步性有关吗？简述理由．
（2）根据小概率值的独立性检验，分析思维任务类型与信号同步性有关吗？
附：，
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
16．在直三棱柱中，，，，，，
（1）若平面，求的值；
（2）若二面角与二面角的大小相等，求的值．
17．在中，内角所对的边分别为，且.
（1）求A.
（2）已知.
（i）若的面积为，求c；
（ii）若边上一点P满足，点Q是的中点，求的最小值.
18．已知函数．
（1）若在处的切线方程为，求的值；
（2）当时，，总存在，使得成立，求 的取值范围；
（3）当时，有三个不同零点，求的取值范围．
19．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，设，当时，的面积取得最大值．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点的直线与椭圆交于不同的两点，（点在点，之间）．
（i）求的取值范围；
（ii）若为椭圆上一点，且，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
则满足，
可得，
所以，
由不等式，
解得，
所以，
则.
故答案为：A.
【分析】根据对数型函数的定义域得出集合，再利用一元二次不等式求解方法得出集合，再结合交集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的混合运算；共轭复数
【解析】【解答】解：因为，所以，则．
故答案为：C.
【分析】利用复数的混合运算法则得出复数z，再利用共轭复数的定义和复数的运算法则，从而化简得出所求复数.
3．【答案】A
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为
所以.
故答案为：A.
【分析】利用向量的模的公式和数量积的运算律，从而得出的值.
4．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为圆的圆心为圆，半径为2，
由题意，可得：，
解得或.
故答案为：D.
【分析】根据圆的方程得出圆心坐标和半径长，再利用直线与圆相切位置关系以及点到直线的距离公式得出实数m的值.
5．【答案】D
【知识点】函数的值；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：由题意，显然，
由，可得，则，，
由，得，
所以，
则．
故答案为：D．
【分析】 利用正弦函数的图象变换得出函数的解析式，再利用代入法得出的值.
6．【答案】A
【知识点】等比数列的前n项和；数列的递推公式
【解析】【解答】解：由，则，
由，则，
所以，
则、、、，
所以.
故答案为：A.
【分析】由题意结合递推公式变形，从而可得、，再利用等比数列前n项和公式得出.
7．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：令，得，
则，
所以，函数的图象关于对称，
又的图象关于直线对称，
所以，
的图象关于直线对称，
因为，
是以4为周期的周期函数.
对于A，的图象是将的图象向左平移2个单位，
则的图象关于轴对称，
所以是偶函数，故A错误；
对于B，的图象是将的图象向左平移1个单位，
则的图象关于原点对称，
所以是奇函数，故B错误；
对于C，由，
得；
由，
得，
，故C正确；
对于D，依题意，
得，，
，故D错误．
故答案为：C．
【分析】根据函数的图象的对称性和已知条件以及周期函数的定义，从而可得的图象关于点对称和直线对称且以4为周期的周期函数，再利用函数的奇偶性定义、函数图象的平移，函数值求解方法，从而逐项判断找出说法正确的选项.
8．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】解：由两两相互独立得到，
设，
则
，解得，
又考虑，
解得，综上得．
故答案为：C.
【分析】由独立事件得定义可得，设，利用概率的非负性和事件并集的概率上限，结合独立性的定义逐步缩小求解即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由且函数在上为减函数，则，故A错误；
对于B，由，则，所以，故B正确；
对于C，由，且函数在上为增函数，则，故C正确；
对于D，由对勾函数的性质，可知函数在上为增函数，
因为，所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据和指数函数的单调性，则判断出选项A；根据作差比较大小的方法和不等式的基本性质，则判断出选项B；根据对数函数的单调性判断出选项C；根据对勾函数的单调性判断出选项D，从而找出正确的选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：对于A，甲从M到N的最短路程，只能向上或者向右走，
需要走6步，2步向上，4步向右，共有种，故A正确；
对于B，第一步，甲从M到，有种走法；
第二步，从到N，有种走法，
所以，共有种走法，故B错误；
对于C，由选项B可知，甲、乙经过的走法都有9种，
所以在处相遇共有种走法，
而甲、乙两人的总走法有种，
所以两人在处相遇的概率为，故C正确；
对于D，因为甲、乙两人以相同的速度同时出发，所以，相遇时走过的路程相等，
则两人只能在处相遇，由选项C可知选项D正确．
故答案为：ACD.
【分析】根据已知条件和组合数公式，则可判断选项A；根据分步乘法计数原理和组合数公式，则可判断选项B；根据选项B和分步乘法计数原理、组合数公式以及古典概率公式，则可判断选项C；利用选项C和已知条件，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为，
因为顶点在原点，焦点为，将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，
又因为焦点为，则其方程为，即，故正确；
对于B，根据选项A分析，由，解得或，
则，代入可得，由图象对称性，可得，则，故B正确；
对于C，如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点，
由，解得，
由，解得，
则，
所以，弦长为：，
由图知，直线经过点时取最大值4，经过点时取最小值0，
则在第一象限部分满足，不妨设，则，且，
代入得：，（），
由函数的图象知，当时，取得最大值为，故C错误；
对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，
则可先求部分面积的近似值，如图：
在抛物线上取一点，使过点的切线与直线平行，
因为，设切线为，联立得，解得
又因为，所以，两直线的距离为，
则，
由图知，半个花瓣的面积必大于，
所以，原图中的阴影部分面积必大于，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由开口向上的抛物线关于直线对称，从而得出开口向上的抛物线的方程，则判断出选项A；求出交点、点B的坐标，利用两点距离公式得出AB的长，则判断出选项B；联立与得出两点坐标，以及关于t的解析式，利用换元法求得的最大值，则判断出选项C； 通过求抛物线的切线方程，计算三角形面积并结合图形对称性与面积放缩，推导出阴影部分面积大于4，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：函数，，，，
则在点处的切线方程为，即.
故答案为：.
【分析】求导，利用导数的几何意义，结合点斜式求切线方程即可.
13．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为在方向上的数量投影为：，
又因为，所以，则.
故答案为：.
【分析】利用数量积求数量投影的公式，再利用辅助角公式，从而将在方向上的数量投影转化为三角型函数，再利用x的取值范围以及正弦型函数性质求解.
14．【答案】
【知识点】球内接多面体；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：因为平面，平面，所以，，
因为，又，所以平面，
又平面，所以，
易知在和中，斜边AD的中点到点A，B，C，D的距离相等，
即AD为球O的直径，设，因为，，
所以，，因为，，
所以中，，．
以点C为坐标原点，直线CB，CA分别为x，y轴，过点C且与BD平行的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，设，，
由题可知，，，，
则，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面的一个法向量为，
则，取，可得．
设平面与平面的夹角为．
因为
，
令，则，，，
可得，
当且仅当，即时等号成立，
此时即取得最大值．
故答案为：.
【分析】本题求解两个平面夹角余弦值的最大值，核心思路是通过建立空间直角坐标系，利用向量法来处理，先合理设定坐标系，确定相关点坐标，再求出两个平面的法向量，最后依据向量夹角公式结合最值求解方法（如基本不等式 ）得出结果.
15．【答案】（1）解：逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率，
思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即；
（2）解：零假设：思维任务类型与信号同步性无关，
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关．
【知识点】独立性检验的应用；用频率估计概率
【解析】【分析】（1）根据列联表数据分别计算两类任务中信号同步的频率，根据频率判断即可；
（2）先进行零假设，再计算值，与临界值比较判断即可.
（1）逻辑推理任务中信号同步的频率，创造性想象任务中信号同步的频率，
思维任务类型与信号同步性有关，因为两类任务的同步频率存在明显差异，即；
（2）零假设：思维任务类型与信号同步性无关，
根据表中数据可得，
根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即思维任务类型与信号同步性无关．
16．【答案】（1）解：连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，
又是的中点，故是的中点
.
（2）解：因为二面角与二面角的大小相等，
所以二面角是二面角的大小的一半，
法一：几何法
过点在平面内作，垂足为，连接、，
，，，、平面，
平面，
平面，，
又，，、平面，平面，
又、平面，，，
二面角和二面角的平面角分别为、，
分别记作和，则为锐角，且，
因为，，，故，
所以，，
即，解得，
又，解得，所以．
法二：空间向量法
在直三棱柱中，平面，，
以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面的一个法向量分别为、，
设二面角与二面角的平面角分别为、，且，
则，取，可得，
，取，可得
则，，
由，即，因为，解得.
即.
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的性质；与二面角有关的立体几何综合题
【解析】【分析】本题围绕直三棱柱的线面平行与二面角问题展开：
（1）利用线面平行的性质，构造辅助线找到线线平行关系，结合棱柱的特征（侧面是平行四边形）及中位线性质，建立与线段比例的联系求解。
（2）提供几何法与空间向量法两种思路，解法一：几何法通过作垂线找到二面角的平面角，利用二倍角关系结合三角函数求解；
解法二：空间向量法通过建系，用向量表示相关点与平面法向量，依据二面角的向量公式及二倍角余弦关系列方程求解.
（1）连接交于点，连接，
平面，平面，平面平面，
，
又是的中点，故是的中点，.
（2）因为二面角与二面角的大小相等，
所以二面角是二面角的大小的一半，
法一：几何法
过点在平面内作，垂足为，连接、，
，，，、平面，
平面，
平面，，
又，，、平面，平面，
又、平面，，，
二面角和二面角的平面角分别为、，
分别记作和，则为锐角，且，
因为，，，故，
所以，，
即，解得，
又，解得，所以．
法二：空间向量法
在直三棱柱中，平面，，
以为原点，、、分别为、、轴正方向建立空间直角坐标系，
则、、、、，
则，，，
易知平面的一个法向量，
设平面与平面的一个法向量分别为、，
设二面角与二面角的平面角分别为、，且，
则，取，可得，
，取，可得
则，，
由，即，因为，解得.
17．【答案】（1）解：由，可得：，所以.
因为，所以，则，
解得.
（2）解：（i）根据三角形面积公式，可得，
则，得，
再根据余弦定理，可得，
则，
由，可得，
代入，得，
则，
解得，则.
（ii）因为，且，点Q是的中点，
在中，由余弦定理，
可得，则，
如图，在中，设，
则，，
令，则代入，
得，解得，
代入得：，
设，，则，
令，解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，
则当时，，
因为，
所以的最小值为.
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；余弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用辅助角公式化简已知等式，再利用三角形中角A的取值范围和不等式的基本性质，从而得出角A的值.
（2）（i）利用已知条件和三角形面积公式，从而求出的值，再由余弦定理得出的值，解方程得出的值.
（ii）在中，利用余弦定理结合，令换元，则将问题转化为函数的最值问题，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的最小值.
（1）由，可得：，所以.
因为，所以，则，解得.
（2）（i）根据三角形面积公式，可得，即，得.
再根据余弦定理，可得，即.
由可得，代入得，即，
解得，则.
（ii），且，点Q是的中点，
在中，由余弦定理，可得，
即，
如图，在中，设，则，，，
令，则代入得，
解得，代入，
设，，
则，令解得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
故当时，，又，
故的最小值为.
18．【答案】（1）解：由函数，
可得，
则，
所以，
因为在处的切线方程为，
可得，
解得，
将代入切线方程，
可得，
则，
解得，
所以.

（2）解：当时，，
因为函数的图像象开口向上，对称轴为，
所以，
又因为，
所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，
可得，
所以，
则，
解得，
所以的取值范围为.

（3）解：当时，可得，
因为有三个不同零点，
所以有三个不相等实根，
则与的图象有三个交点，
设，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
由，
且当时，；当时，，
因为与的图象有三个交点，
所以，
则实数的取值范围为.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先根据函数f(x)的解析式得出函数的解析式，再利用导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，再由点斜式得出函数在处的切线方程，最后由已知条件得出a，b的值.
（2）当时，，利用二次函数的单调性和开口方向，从而得出，再利用导数的正负判断函数的单调性，从而得出，进而得出不等式，求解不等式得出实数b的取值范围.
（3）先利用a的值和函数f(x)、函数g(x)的解析式得出函数h(x)的解析式，再利用函数的零点与方程的根的等价关系和已知条件，从而转化为有三个不相等实根，设，再利用导数的正负判断函数的单调区间，从而得出函数的极值，再结合函数的零点与两函数交点横坐标的等价关系，从而得出函数与有三个交点，进而列出不等式求解得出实数b的取值范围.
（1）由函数，可得，
则，所以，
因为在处的切线方程为，
可得，解得，
将代入切线方程，可得，
即，解得，所以.
（2）当时，，
因为函数的图像象开口向上，对称轴为，
所以，
又因为，所以，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
因为，可得，
所以，则，解得，
所以的取值范围为.
（3）当时，可得，
因为有三个不同零点，所以有三个不相等实根，
即与的图象有三个交点，
设，可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，且时，；时，，
因为与的图象有三个交点，所以，
所以实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：设，则，
设为椭圆的半焦距，
则，
，
当取最大值时，的面积取得最大值时，
，
时，
则取最大值，此时，或，
的最大面积为，
的最大面积为，
所以，此时，
则，
，
，
又，
联立，
解得，
所以，椭圆的标准方程.
（2）解：（i）如图，当直线的方程为时，
不存在，不满足题意，
设直线的方程为，
联立，
消去，得到，
整理得，
设，，，
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，
，
，
，
，
同号，
，
，
同号，
，
，
，
，
，
，
，
设，
点在点，之间，则，
转化为，
，
，
，
，
，
，
，
，
的取值范围.
（ii）如图，作出符合题意的图形，
，
，
，
，且四边形为平行四边形，
，
，
，
为椭圆上一点，
，
，
，
，
，
，
设点直线的距离为，
，
.

【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）设，依题意，则，
设为椭圆的半焦距，则，再利用三角形面积公式和几何法求最值的方法，从而求出的面积的最大值，进而求出的最大值，再根据的取值范围可得的值，再由得到，再解方程组得到的值，从而得到椭圆的标准方程.
（2）（i）设直线的方程，将直线方程和椭圆联立，再根据判别式法得出的取值范围，再利用韦达定理求出和，从而得到同号，再利用三角形面积公式求出，由和求出，再由的取值范围求出的取值范围，再根据换元法和点在点，之间，从而得到的取值范围，再由的取值范围求出的取值范围，从而得到的取值范围，进而得到的取值范围.
（ii）利用平行四边形法则得到四边形为平行四边形，从而求出，进而得到点的坐标，再将点代入椭圆的方程求出的值，再利用弦长公式求出的值，再根据点到直线的距离公式求出的值，则由三角形面积公式得出四边形的面积.
（1）设，则，设为椭圆的半焦距，则，
，
当取最大值时，的面积取得最大值时，
，时，取最大值，此时，或，
的最大面积为，的最大面积为，
，此时，则，
，，
又，联立，解得，
椭圆的标准方程；
（2）（i）如图，直线的方程为时，不存在，不满足题意，
设直线的方程为，
联立，消去，得到，
整理得，
设，，，
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，
，，
，，同号，
，
，同号，，
，，
，，，
，
设，点在点，之间，则，
转化为，
，，，，
，，，，
的取值范围.
（ii）如图，作出符合题意的图形，
，，
，，且四边形为平行四边形，
，，
，为椭圆上一点，，
，，
，
，，
设点直线的距离为，，
.
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