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湖南衡阳市耒阳市第二中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题
1．（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：C
【分析】根据复数的除法运算求解.
2．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，
所以可得，
因此．
故答案为：B
【分析】先解不等式得到集合，再根据交集运算求解.
3．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，，又，
所以处的切线为，
令，可得，
故函数的图象在处的切线在轴上的截距为.
故答案为：D
【分析】求导，得到，进而得到切线方程，再求截距即可．
4．已知向量，，，若，则实数的值（　　）
A． B． C． D．2
【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
又，所以，解得.
故答案为：D
【分析】根据向量的线性运算及平行的坐标表示，列方程计算即可.
5．为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，两种无人机必须交错排列，
即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位；
架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位，
所以不同的飞行队形种数为种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可确定六旋翼无人机、四旋翼无人机得排列位置，再利用排列数求解.
6．如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（　　）
A．8 B． C．16 D．
【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图1，在圆台的轴截面中作于点.
设，由题意得，，
由勾股定理可得，解得，所以.
侧面展开图如图2，的长为，的长为，
所以，又，所以，
所以，所以.
故答案为：D
【分析】根据题意，先计算母线长，进而得到的值，然后计算侧面展开图的圆心角及的长，再计算线段的长即可.
7．甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为，
第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为，
同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为．
故答案为：C
【分析】先得到每轮游戏甲或乙胜的概率及平局的概率，再结合题意，利用独立事件乘法公式计算概率即可.
8．若、，且，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，则，，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，即当时，，即，
因为，则，所以，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，
由题意可知，，故，
因为，，故，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，且，
因为，则，
所以，
又因为，所以，故，D错.
故答案为：B
【分析】构造函数，，利用导数可得，再构造，结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，再逐项判断即可.
9．大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（　　）
参考数据：若，则，0.9973．
A．该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2
B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3
C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为
D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为
【答案】A,C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知，，
所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09.
所以A正确，B错误.
该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为，
所以C正确.
因为，
所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误.
故答案为：AC
【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可.
10．已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为，
代入，整理可得，
所以，
从而离心率；
若焦点在轴上，设双曲线方程为，
代入，整理可得，
所以，
从而离心率．
综上可知．
故答案为：ACD
【分析】若焦点在轴上，设双曲线方程为，进而得到，再利用齐次式求离心率，若焦点在轴上，设双曲线方程为，进而得到，再求离心率．
11．在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（　　）
A． B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，由，可得，即，
由余弦定理可得，
又为锐角三角形，所以，A正确；
对于B，由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以，故，
因为，所以的取值范围为，B错误；
对于C，由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以周长，C正确；
对于D，设的中点为，因为是的重心，所以，
在中，由余弦定理可得，
故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】对于A，利用余弦定理可得；对于B，利用正弦定理得到边的取值范围，再结合三角形面积公式求解即可；对于C，利用余弦定理得到的范围，进而可求的取值范围；对于D，设的中点为，则，再利用余弦定理得到的最值即可.
12．在等差数列中，若，，则　 　．
【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题知：，解得.
.
故答案为：
【分析】利用等差数列基本量的运算求出，再利用通项公式求解.
13．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则　 　.
【答案】4
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由，得焦点，准线．
设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以.
过点作，垂足为．
因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得.
在直角三角形中，.
所以.
又因为，且三点共线，所以.
因为是的平分线，所以.
故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为．
又直线过点，所以直线的方程为.
联立直线与抛物线的方程，得.
整理得.解得或.
因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而.
于是.
故答案为：4.
【分析】设，根据抛物线定义可得，，进而得到，进而得到直线与轴正方向所成的角为，其斜率为，然后得到直线的方程，与抛物线方程联立求出点，即可求得．
14．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则　 　.
【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：令，可得或，.
由题图可知，，所以，
因为，即，故. 因为，即，
又因为点在单调递减区间上，所以可取，则，
从而.
故答案为：
【分析】令，解得，进而得到，再结合确定，然后计算即可．
15．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求与；
（2）若，求的前项和．
【答案】（1）解：设的公差为，由，得，
解得，
所以，
.
（2）解：由（1）得，，
则，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求出，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解；
（2）由（1）可知，再利用裂项相消法求和即得.
（1）设的公差为，由，得，解得，
所以，
.
（2）由（1）得，，
则，
所以
.
16．已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
（1）求的方程；
（2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）解：双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为.
（2）解：依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得 ，则，，
因此，
所以的面积.
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到双曲线的焦点坐标，再结合椭圆离心率求出即可.
（2）根据题意可得直线的方程为，再联立椭圆方程，结合三角形面积公式求解.
（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为.
（2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得 ，则，，
因此，
所以的面积.
17．如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点.
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接.
由为的中点，为的中点，，且，
可得，.
所以四边形为平行四边形，故.
又平面，平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接.
由为等边三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由，，得四边形是平行四边形
于是，又，则，直线两两互相垂直.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定即可证明.
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求面面夹角即可.
（1）如图，取的中点，连接.
由为的中点，为的中点，，且，
可得，.
所以四边形为平行四边形，故.
又平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接.
由为等边三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由，，得四边形是平行四边形
于是，又，则，直线两两互相垂直.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为．
（1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率．
（2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和．
（i）求的分布列；
（ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围．
【答案】（1）解：记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”，事件“两个量子比特测量结果相同”，则，
则，，
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为
．
（2）解：（i）的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2
（ii）由（i）得， ，
所以 ，
所以的取值范围是.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据全概率公式及条件概率公式求解.
（2）（i）的所有可能取值为，，，分别求出对应概率，再列分布列即可；
（ii）根据期望、方差公式列不等式求解即可.
（1）记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”，
事件“两个量子比特测量结果相同”，则，
则，，
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为
．
（2）（i）的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2
（ii）由（i）得， ，
所以 ，
所以的取值范围是.
19．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有实根，求的取值范围；
（3）若函数有个极值点、，证明： ．
【答案】（1）解：由题知的定义域为，，
若，则，此时函数的增区间为，无减区间；
若，由可得，由可得.
此时函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）解：由得，参变量分离可得，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又当时，，所以的取值范围是．
（3）证明：由题可知，
则，
由题知、是方程的两根，即方程的两个根，
所以，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以
，
令，其中，
则，
令，其中，
则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
所以在上单调递减，则，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分、进行讨论即可；
（2）由题可得，令，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围；
（3）求导，由题知、是方程的两根，则，，结合可得出，再化简得出，令，然后利用导数证明即可.
（1）由题知的定义域为，，
若，则，此时函数的增区间为，无减区间；
若，由可得，由可得.
此时函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）由得，参变量分离可得，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又当时，，所以的取值范围是．
（3）由题可知，
则，
由题知、是方程的两根，即方程的两个根，
所以，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以
，
令，其中，
则，
令，其中，
则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
所以在上单调递减，则，
故.
1 / 1湖南衡阳市耒阳市第二中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题
1．（　　）
A． B． C． D．
2．若集合，则（　　）
A． B． C． D．
3．函数的图象在处的切线在轴上的截距为（　　）
A．2 B． C． D．
4．已知向量，，，若，则实数的值（　　）
A． B． C． D．2
5．为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（　　）
A．种 B．种 C．种 D．种
6．如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（　　）
A．8 B． C．16 D．
7．甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（　　）
A． B． C． D．
8．若、，且，则下列各式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
9．大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（　　）
参考数据：若，则，0.9973．
A．该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2
B．该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3
C．该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为
D．该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为
10．已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（　　）
A． B． C． D．
11．在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（　　）
A． B．的取值范围是
C．的取值范围是 D．的最小值为
12．在等差数列中，若，，则　 　．
13．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则　 　.
14．如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则　 　.
15．已知等差数列的前项和为，，．
（1）求与；
（2）若，求的前项和．
16．已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合．
（1）求的方程；
（2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积．
17．如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点.
（1）若为棱的中点，证明：平面；
（2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.
18．在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为．
（1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率．
（2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和．
（i）求的分布列；
（ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围．
19．已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若方程有实根，求的取值范围；
（3）若函数有个极值点、，证明： ．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：．
故答案为：C
【分析】根据复数的除法运算求解.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：因为集合，
所以可得，
因此．
故答案为：B
【分析】先解不等式得到集合，再根据交集运算求解.
3．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：，，又，
所以处的切线为，
令，可得，
故函数的图象在处的切线在轴上的截距为.
故答案为：D
【分析】求导，得到，进而得到切线方程，再求截距即可．
4．【答案】D
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，，
又，所以，解得.
故答案为：D
【分析】根据向量的线性运算及平行的坐标表示，列方程计算即可.
5．【答案】B
【知识点】分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可知，两种无人机必须交错排列，
即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位；
架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位，
所以不同的飞行队形种数为种.
故答案为：B.
【分析】根据题意可确定六旋翼无人机、四旋翼无人机得排列位置，再利用排列数求解.
6．【答案】D
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：如图1，在圆台的轴截面中作于点.
设，由题意得，，
由勾股定理可得，解得，所以.
侧面展开图如图2，的长为，的长为，
所以，又，所以，
所以，所以.
故答案为：D
【分析】根据题意，先计算母线长，进而得到的值，然后计算侧面展开图的圆心角及的长，再计算线段的长即可.
7．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为，
第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为，
同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为．
故答案为：C
【分析】先得到每轮游戏甲或乙胜的概率及平局的概率，再结合题意，利用独立事件乘法公式计算概率即可.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】解：因为，则，，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，即当时，，即，
因为，则，所以，
构造函数，其中，则，
故函数在上为增函数，
由题意可知，，故，
因为，，故，
构造函数，其中，则，
所以函数在上为增函数，且，
因为，则，
所以，
又因为，所以，故，D错.
故答案为：B
【分析】构造函数，，利用导数可得，再构造，结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，再逐项判断即可.
9．【答案】A,C
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由题意知，，
所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09.
所以A正确，B错误.
该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为，
所以C正确.
因为，
所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误.
故答案为：AC
【分析】根据正态分布的性质逐项判断即可.
10．【答案】A,C,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为，
代入，整理可得，
所以，
从而离心率；
若焦点在轴上，设双曲线方程为，
代入，整理可得，
所以，
从而离心率．
综上可知．
故答案为：ACD
【分析】若焦点在轴上，设双曲线方程为，进而得到，再利用齐次式求离心率，若焦点在轴上，设双曲线方程为，进而得到，再求离心率．
11．【答案】A,C,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【解答】解：对于A，由，可得，即，
由余弦定理可得，
又为锐角三角形，所以，A正确；
对于B，由正弦定理，可得
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，所以，故，
因为，所以的取值范围为，B错误；
对于C，由余弦定理可得，
因为，所以，即，
所以周长，C正确；
对于D，设的中点为，因为是的重心，所以，
在中，由余弦定理可得，
故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确.
故答案为：ACD
【分析】对于A，利用余弦定理可得；对于B，利用正弦定理得到边的取值范围，再结合三角形面积公式求解即可；对于C，利用余弦定理得到的范围，进而可求的取值范围；对于D，设的中点为，则，再利用余弦定理得到的最值即可.
12．【答案】0
【知识点】等差数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题知：，解得.
.
故答案为：
【分析】利用等差数列基本量的运算求出，再利用通项公式求解.
13．【答案】4
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由，得焦点，准线．
设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以.
过点作，垂足为．
因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得.
在直角三角形中，.
所以.
又因为，且三点共线，所以.
因为是的平分线，所以.
故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为．
又直线过点，所以直线的方程为.
联立直线与抛物线的方程，得.
整理得.解得或.
因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而.
于是.
故答案为：4.
【分析】设，根据抛物线定义可得，，进而得到，进而得到直线与轴正方向所成的角为，其斜率为，然后得到直线的方程，与抛物线方程联立求出点，即可求得．
14．【答案】
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】解：令，可得或，.
由题图可知，，所以，
因为，即，故. 因为，即，
又因为点在单调递减区间上，所以可取，则，
从而.
故答案为：
【分析】令，解得，进而得到，再结合确定，然后计算即可．
15．【答案】（1）解：设的公差为，由，得，
解得，
所以，
.
（2）解：由（1）得，，
则，
所以
.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列基本量的运算求出，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解；
（2）由（1）可知，再利用裂项相消法求和即得.
（1）设的公差为，由，得，解得，
所以，
.
（2）由（1）得，，
则，
所以
.
16．【答案】（1）解：双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为.
（2）解：依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得 ，则，，
因此，
所以的面积.
【知识点】椭圆的简单性质；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意得到双曲线的焦点坐标，再结合椭圆离心率求出即可.
（2）根据题意可得直线的方程为，再联立椭圆方程，结合三角形面积公式求解.
（1）双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为，
即有，由的离心率为，得，解得，
所以的方程为.
（2）依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设，
由对称性，不妨设直线的方程为，即，
由消去，得 ，则，，
因此，
所以的面积.
17．【答案】（1）证明：如图，取的中点，连接.
由为的中点，为的中点，，且，
可得，.
所以四边形为平行四边形，故.
又平面，平面，所以平面.
（2）解：取的中点，连接.
由为等边三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由，，得四边形是平行四边形
于是，又，则，直线两两互相垂直.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，可证四边形为平行四边形，得到，再根据线面平行的判定即可证明.
（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量法求面面夹角即可.
（1）如图，取的中点，连接.
由为的中点，为的中点，，且，
可得，.
所以四边形为平行四边形，故.
又平面，平面，所以平面.
（2）取的中点，连接.
由为等边三角形，得，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面.
由，，得四边形是平行四边形
于是，又，则，直线两两互相垂直.
以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，
所以.
设平面的法向量为，
则，即，
令，可得.
易知平面的一个法向量为.
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
18．【答案】（1）解：记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”，事件“两个量子比特测量结果相同”，则，
则，，
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为
．
（2）解：（i）的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2
（ii）由（i）得， ，
所以 ，
所以的取值范围是.
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；条件概率乘法公式
【解析】【分析】（1）根据全概率公式及条件概率公式求解.
（2）（i）的所有可能取值为，，，分别求出对应概率，再列分布列即可；
（ii）根据期望、方差公式列不等式求解即可.
（1）记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”，
事件“两个量子比特测量结果相同”，则，
则，，
所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为
．
（2）（i）的所有可能取值为，，，
，，
，
所以的分布列为
0 1 2
（ii）由（i）得， ，
所以 ，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：由题知的定义域为，，
若，则，此时函数的增区间为，无减区间；
若，由可得，由可得.
此时函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）解：由得，参变量分离可得，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又当时，，所以的取值范围是．
（3）证明：由题可知，
则，
由题知、是方程的两根，即方程的两个根，
所以，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以
，
令，其中，
则，
令，其中，
则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
所以在上单调递减，则，
故.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）求导，分、进行讨论即可；
（2）由题可得，令，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围；
（3）求导，由题知、是方程的两根，则，，结合可得出，再化简得出，令，然后利用导数证明即可.
（1）由题知的定义域为，，
若，则，此时函数的增区间为，无减区间；
若，由可得，由可得.
此时函数的减区间为，增区间为.
综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间；
当时，函数的减区间为，增区间为.
（2）由得，参变量分离可得，
令，则，
当时，，，则，
当时，，，则，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数的极大值为，
又当时，，所以的取值范围是．
（3）由题可知，
则，
由题知、是方程的两根，即方程的两个根，
所以，由韦达定理可得，，
所以，，，
所以
，
令，其中，
则，
令，其中，
则对任意的恒成立，
故函数在上为增函数，则，
所以在上单调递减，则，
故.
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