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四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一（直升班）下学期期末考试数学试卷
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．若，则的最小值是（　　）
A．36 B．13 C．12 D．6
4．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
5．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数是偶函数，则的单调增区间是（　　）
A． B． C． D．
7．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．下列各组函数中，是同一个函数的有（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（　　）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C． D．函数在定义域内是减函数
11．定义在的函数满足，且当时，，则（　　）
A．是奇函数 B．
C． D．在上单调递增
12．已知，，则的最小值为　 　.
13．若幂函数在区间上单调递增，则　 　.
14．若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是　 　.
15．已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
16．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）若，求的值；
（3）求证：.
17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）.
（1）该店从第几年开始盈利？
（2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？
18．（1）已知关于x的不等式的解集为
（i）求实数a，b的值；
（ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集.
（2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
19．已知函数是 定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）解关于的不等式.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和并集的运算法则，从而得出集合.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：C.
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，从而得出命题的否定.
3．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
则当时，有最小值.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为且，
得且，
则函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据偶次根式函数的定义域求解方法和分式函数的求解方法，再根据交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
5．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：若，如，则，无法得到；
若，则，
所以，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据举特例、作差法以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
则，解得，
则，即的单调增区间是．
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，根据函数为偶函数满足求得参数的值，再求函数单调增区间即可.
7．【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，且，
则函数为奇函数，排除BD；由，，排除C.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除BD；根据特殊点函数值排除C.
8．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可得函数在上单调递增，
则，
解得或，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的单调性结合二次函数的单调性、一次函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以选项A正确；
对于B，易知的定义域为，
而的定义域为，两函数定义域不同，所以选项B错误；
对于C，易知的定义域为，
而的定义域为，两函数定义域不同，所以选项C错误；
对于D，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】对选项中的两函数通过定义域、值域、对应关系等三要素是否相同，从而逐项判断找出是同一个函数的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，所以，
又因为，
所以是奇函数，故A正确、B错误；
易知，故C正确；
根据幂函数的性质，可知分别在上单调递减，
但是定义域内不是单调函数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据代入法得出b的值，从而得出幂函数的解析式，再利用函数奇偶性的定义判断出选项A和选项B；利用代入法得出函数的值，则判断出选项C；利用单调函数的定义判断出选项D，从而找出叙述正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：、令，则，
令，，则对恒成立，
则函数为奇函数，故正确；
、令，，
即，故正确；
、，设，则，
，则
则，则，
即函数在为增函数，故正确；
、，因为为增函数，则，
则，故错误.
故答案为：.
【分析】先利用赋值可以求得，再令，可得，结合奇函数的定义即可判断；令，即可判断；利用单调性定义可得在为增函数，即可判断；利用D的结论再利用赋值和函数单调性即可判断.
12．【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，
由基本不等式，可得：
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用“”的替换求解即可.
13．【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意，可得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据幂函数的定义和幂函数的单调性，从而得出实数m的值.
14．【答案】
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为“存在使得”是假命题，
所以“，有”是真命题，
则，恒成立，
所以，只需，，
又因为函数在上单调递减，
所以，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由该命题为假命题可知其否定为真命题，再分离参数结合函数单调性求最值的方法，则由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
15．【答案】（1）解：当时，集合，
因为，所以，；
（2）解：当时，由，解得，满足，符合题意；
当时，由题意可得或，解得或，
综上，实数的取值范围是或．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）当时求得集合B ，再根据集合的交集、并集的定义计算即可；
（2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可.
（1）当时，又，
所以，；
（2）当时，由，解得，满足，符合题意；
当时，可得或，解得或．
综上，实数的取值范围是或．
16．【答案】（1）解：要使函数有意义，只需，
解得，
所以函数的定义域为．
（2）解：因为，
所以，
解得.
（3）证明：因为，
所以，
又因为，
所以.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】（1）根据函数有意义求解得出函数的定义域.
（2）将代入函数求解得出实数a的值.
（3）将代入函数表达式，化简验证，从而证出.
（1）要使函数有意义，只需，解得，
所以函数的定义域为．
（2）因为，
所以，解得.
（3）因为，
所以，
而，
所以.
17．【答案】（1）解：由题意可知，，
若开始盈利，则，
所以，
解得，
因为，
所以，第二年开始盈利.
（2）解：设年平均利润为，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
则当时，最终获利万元.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再利用盈利得出，再根据一元二次不等式求解方法和，从而得出该店开始盈利的时间.
（2）设年平均利润为，根据题意得出函数f(x)的解析式，再由基本不等式求最值的方法，从而可得最终获利.
（1）由题可知，
若开始盈利即，
所以，解得，
因为，所以第二年开始盈利；
（2）设年平均利润为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
时，最终获利万元.
18．【答案】解：（1）（i）因为不等式的解集为，
所以1和b是方程的解，且，
则，
解得，.
（ii）因为不等式可化为，
所以，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
（2）当时，不等式可化为，对任意实数x恒成立；
当时，应满足，
解得，
综上所述，a的取值范围是

【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）（i）根据不等式的解集得出对应方程的解，再由根与系数的关系式建立方程求出a、b的值.
（ii）将不等式化为，再分类讨论c与2的大小，从而求出不等式的解集.
(2)先分类讨论和两种情况，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围．
19．【答案】解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，
又，
，，
.
（2）在上为增函数，理由如下：
设，
则，，，，
，
在上为增函数.
（3），
，
又因为在上为增函数且为奇函数，
，
，
不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数在处有定义，则，再利用，从而代入计算出的值.
（2）利用单调性的定义证出函数的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，从而得出关于的不等式的解集.
1 / 1四川省眉山冠城实验学校2025-2026学年高一（直升班）下学期期末考试数学试卷
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：依题意，.
故答案为：A.
【分析】根据已知条件和并集的运算法则，从而得出集合.
2．命题“，”的否定为（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题“，”的否定是“，”.
故答案为：C.
【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题，从而得出命题的否定.
3．若，则的最小值是（　　）
A．36 B．13 C．12 D．6
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当且仅当时，即当时取等号，
则当时，有最小值.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
4．函数的定义域为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：因为且，
得且，
则函数的定义域为.
故答案为：C.
【分析】根据偶次根式函数的定义域求解方法和分式函数的求解方法，再根据交集的运算法则，从而得出函数的定义域.
5．“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；不等关系与不等式
【解析】【解答】解：若，如，则，无法得到；
若，则，
所以，
则“”是“”的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】根据举特例、作差法以及充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
6．已知函数是偶函数，则的单调增区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数定义域为，
因为函数是偶函数，所以，
则，解得，
则，即的单调增区间是．
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，根据函数为偶函数满足求得参数的值，再求函数单调增区间即可.
7．函数的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：函数定义域为，且，
则函数为奇函数，排除BD；由，，排除C.
故答案为：A.
【分析】求函数的定义域，再利用奇偶性的定义判断函数的奇偶性排除BD；根据特殊点函数值排除C.
8．已知函数，对于任意两不等实数，，都有成立，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由题意可得函数在上单调递增，
则，
解得或，
由函数在上单调递减，在上单调递增，
则，
综上所述，的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据分段函数的单调性结合二次函数的单调性、一次函数的单调性，从而得出实数a的取值范围.
9．下列各组函数中，是同一个函数的有（　　）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A,D
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：对于A，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以选项A正确；
对于B，易知的定义域为，
而的定义域为，两函数定义域不同，所以选项B错误；
对于C，易知的定义域为，
而的定义域为，两函数定义域不同，所以选项C错误；
对于D，易知两函数定义域相同，均为，且对应关系相同，值域相同，所以选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】对选项中的两函数通过定义域、值域、对应关系等三要素是否相同，从而逐项判断找出是同一个函数的选项.
10．已知点在幂函数的图象上，则下列叙述正确的是（　　）
A．函数是奇函数 B．函数是偶函数
C． D．函数在定义域内是减函数
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性；函数的值；幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：因为点在幂函数的图象上，
所以，解得，所以，
又因为，
所以是奇函数，故A正确、B错误；
易知，故C正确；
根据幂函数的性质，可知分别在上单调递减，
但是定义域内不是单调函数，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据代入法得出b的值，从而得出幂函数的解析式，再利用函数奇偶性的定义判断出选项A和选项B；利用代入法得出函数的值，则判断出选项C；利用单调函数的定义判断出选项D，从而找出叙述正确的选项.
11．定义在的函数满足，且当时，，则（　　）
A．是奇函数 B．
C． D．在上单调递增
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用
【解析】【解答】解：、令，则，
令，，则对恒成立，
则函数为奇函数，故正确；
、令，，
即，故正确；
、，设，则，
，则
则，则，
即函数在为增函数，故正确；
、，因为为增函数，则，
则，故错误.
故答案为：.
【分析】先利用赋值可以求得，再令，可得，结合奇函数的定义即可判断；令，即可判断；利用单调性定义可得在为增函数，即可判断；利用D的结论再利用赋值和函数单调性即可判断.
12．已知，，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：，
由基本不等式，可得：
当且仅当时，即当时取等号，
所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】利用“”的替换求解即可.
13．若幂函数在区间上单调递增，则　 　.
【答案】
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：根据题意，可得，
解得.
故答案为：.
【分析】根据幂函数的定义和幂函数的单调性，从而得出实数m的值.
14．若“存在使得”是假命题，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】命题的否定；命题的真假判断与应用；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：因为“存在使得”是假命题，
所以“，有”是真命题，
则，恒成立，
所以，只需，，
又因为函数在上单调递减，
所以，
则实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】由该命题为假命题可知其否定为真命题，再分离参数结合函数单调性求最值的方法，则由不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围.
15．已知集合，．
（1）当时，求，；
（2）若，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，集合，
因为，所以，；
（2）解：当时，由，解得，满足，符合题意；
当时，由题意可得或，解得或，
综上，实数的取值范围是或．
【知识点】集合关系中的参数取值问题；并集及其运算；交集及其运算
【解析】【分析】（1）当时求得集合B ，再根据集合的交集、并集的定义计算即可；
（2）分类讨论和两种情况，分别求出对应的的取值范围即可.
（1）当时，又，
所以，；
（2）当时，由，解得，满足，符合题意；
当时，可得或，解得或．
综上，实数的取值范围是或．
16．已知函数.
（1）求的定义域；
（2）若，求的值；
（3）求证：.
【答案】（1）解：要使函数有意义，只需，
解得，
所以函数的定义域为．
（2）解：因为，
所以，
解得.
（3）证明：因为，
所以，
又因为，
所以.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数解析式的求解及常用方法；函数的值
【解析】【分析】（1）根据函数有意义求解得出函数的定义域.
（2）将代入函数求解得出实数a的值.
（3）将代入函数表达式，化简验证，从而证出.
（1）要使函数有意义，只需，解得，
所以函数的定义域为．
（2）因为，
所以，解得.
（3）因为，
所以，
而，
所以.
17．某蛋糕店今年年初用18万元购进一台新设备.已知使用年所需的总维护费用为万元，经估算该设备每年可为蛋糕店创造收入16万元.设该设备使用年的盈利总额为万元（盈利总额=总收入成本总维护费用）.
（1）该店从第几年开始盈利？
（2）若干年后蛋糕店想在年平均盈利达到最大值时，以11万元的价格卖出设备，请问最终获利为多少？
【答案】（1）解：由题意可知，，
若开始盈利，则，
所以，
解得，
因为，
所以，第二年开始盈利.
（2）解：设年平均利润为，
则，
当且仅当时，即当时等号成立，
则当时，最终获利万元.
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式在最值问题中的应用；二次函数模型
【解析】【分析】（1）由已知条件可得，再利用盈利得出，再根据一元二次不等式求解方法和，从而得出该店开始盈利的时间.
（2）设年平均利润为，根据题意得出函数f(x)的解析式，再由基本不等式求最值的方法，从而可得最终获利.
（1）由题可知，
若开始盈利即，
所以，解得，
因为，所以第二年开始盈利；
（2）设年平均利润为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
时，最终获利万元.
18．（1）已知关于x的不等式的解集为
（i）求实数a，b的值；
（ii）求关于x的不等式（其中c为实数)的解集.
（2）关于x的不等式对任意实数x恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】解：（1）（i）因为不等式的解集为，
所以1和b是方程的解，且，
则，
解得，.
（ii）因为不等式可化为，
所以，
当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为或.
（2）当时，不等式可化为，对任意实数x恒成立；
当时，应满足，
解得，
综上所述，a的取值范围是

【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）（i）根据不等式的解集得出对应方程的解，再由根与系数的关系式建立方程求出a、b的值.
（ii）将不等式化为，再分类讨论c与2的大小，从而求出不等式的解集.
(2)先分类讨论和两种情况，再利用不等式恒成立问题求解方法，从而得出实数a的取值范围．
19．已知函数是 定义在上的奇函数，且.
（1）求函数的解析式；
（2）判断函数的单调性，并证明；
（3）解关于的不等式.
【答案】解：（1）函数是定义在上的奇函数，
，
又，
，，
.
（2）在上为增函数，理由如下：
设，
则，，，，
，
在上为增函数.
（3），
，
又因为在上为增函数且为奇函数，
，
，
不等式的解集为.
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；奇偶性与单调性的综合
【解析】【分析】（1）根据奇函数在处有定义，则，再利用，从而代入计算出的值.
（2）利用单调性的定义证出函数的单调性.
（3）根据函数的单调性和奇偶性，从而得出关于的不等式的解集.
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