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广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
2．数据的80%分位数为（　　）
A．8 B．9 C．6.4 D．7
3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（　　）
A． B． C． D．
4．在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（　　）
A． B．或 C． D．或
5．已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（　　）
A． B． C． D．
6．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
7．已知函数在区间单调递增，且，则（　　）
A． B．
C． D．
8．已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （　　）
A．
B．的模为
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．
10．已知函数，给出下列结论，其中正确结论有（　　）
A．的最小正周期为
B．是的最大值
C．把函数的图象所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
D．在上是增函数
11．在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（　　）．
A．
B．平面平面ABC
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
12．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　 　件．
13．已知向量， ，，若，则的最小值为　 　.
14．如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是　 　．
15．已知平面向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）若，求的最小值．
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段 [90，100]
频数 10 30 30 10
频率 0.1 0.3 0.3 0.1
（1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
（2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．在锐角中，角所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
18．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
（1）设，求和；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
（3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，故B选项正确.
故答案为：B
【分析】根据并集的概念求解.
2．【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：共8个数，
由，故第7个数9为80%分位数.
故答案为：B
【分析】根据百分位数的求解方式求解.
3．【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：连接，
在正方体中，，
所以为异面直线与所成的角，
而，即为等边三角形，
所以，即异面直线与所成的角是.
故答案为：C.
【分析】由题可知，为异面直线与所成的角，再求角即可.
4．【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，得，则；
因为，则，故，则，所以A正确.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理求得，再由同角三角函数关系求即可.
5．【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意，圆锥的母线，底面周长为4π，
故其侧面积为。
故答案为：D．
【分析】先求圆锥的母线，再利用圆锥侧面积公式求解.
6．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，，，，，若相交时，可得，若不相交时，可能相交，故A错误；
B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误；
C，若，，则，故C正确；
D，若，，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：根据面面平行的判定定理判断；B：根据空间中直线与直线的位置关系判断；C：根据平面平行的传递性判断；D：根据线面、面面垂直的性质判断。
7．【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题目可知在内，x值越大，函数值就越大，
因为，且，
所以.
又因为，所以.
因为，所以，
因此，故B选项正确.
故答案为：B
【分析】根据单调性及奇偶性比较大小即可.
8．【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
∵是圆的直径，且为边长为的等边三角形，
∴，
设圆上动点，，
∴，，
∴
.
∵，
∴，
即的取值范围为.
故答案为：A
【分析】以的中点为坐标原点，设圆上动点，，再根据数量积的坐标运算，结合恒等变形求范围即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】A，因为，，A正确；
B，，则，B错误；
C，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C正确；
D，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用复数除法化简，求出并判断；B：根据共轭复数的定义求，再用模长公式计算；C：根据复数的几何意义，判断在复平面内对应的点所在的象限；D：利用复数的运算法则计算并判断。
10．【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
由周期公式可得，的最小正周期，故A正确；
，不是的最大值，故B错误；
根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故C错误；
当时，，由正弦函数知函数单调递增.
故答案为：AD
【分析】根据正弦型函数的相关性质可判断ABD；结合函数图象的平移变换可判断C.
11．【答案】A,B,C
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，
过D作于E．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，所以，
假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，
所以，这样与矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，
所以，
由于平面，
所以平面平面ABC，所以A，B正确；
三棱锥的体积为，所以C正确；
设三角形ABC的外心为F，外接圆半径为，
过F作平面ABC，
设O为外接球的球心，则，，
所以，
所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确．
故答案为：ABC
【分析】对于AB，过D作于E，再证明DB，DE重合，进而可证平面；对于C，根据锥体体积公式得到三棱锥的体积；对于D， 设三角形ABC的外心为F， 过F作平面ABC，再根据外接球的定义求出半径即可.
12．【答案】18
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为 = ，
则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，
故答案为：18
【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
13．【答案】
【知识点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，故，
即，
故，
当且仅当，取等号，
故的最小值为.
故答案为：
【分析】由向量平行的坐标运算可得，再利用基本不等式“”的妙用求解.
14．【答案】
【知识点】直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：过作于，过作于，连接，
则为与平面所成的角，
因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，则，
设，则，
因为，所以，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：
【分析】过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角，，设，则，再解直角三角形，得到即可.
15．【答案】（1）解：已知，
，解得．
（2）解：已知，则，
，
．
（3）解：，
二次函数开口向上，对称轴，
．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平行的坐标表示可求；
（2）根据数量积的运算律求解即可；
（3）根据题意可得，再利用二次函数的性质求最值即可.
（1）已知，
，解得．
（2）已知，则，
，
．
（3），
二次函数开口向上，对称轴，
．
16．【答案】（1）解：由，
解得，
则，
所以，平均数的估计值为
（2）解：由表可知，
分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
则两组成绩的总平均数为，
所以两组成绩的总方差为：，
则两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据已知条件和频率的基本性质，从而得出的值，再结合平均数公式，从而估计出样本成绩的平均数.
（2）根据分层抽样的分法得到分数在和的人数，再结合平均数公式和方差公式，从而得出两组成绩的总平均数和总方差．
（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．【答案】（1）由正弦定理得，，
所以，，
由于，所以.
（2）解：∵，∴
.
∵，∴，∴，
∴，∴，
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再根据余弦定理求角即可；
（2）利用正弦定理可得，再由三角恒等变形化简求范围即可.
（1）由正弦定理得，，
所以，，
由于，所以.
（2）∵，
∴
.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的取值范围为.
18．【答案】（1）证明：连接，交点O，连接，则O是的中点，
因为D是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为为等边三角形，且D是的中点，所以，
由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以，
又 平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（3）解：由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而 2， 4，
设点B到平面的距离为d，且，
所以，即 ，解得，
所以到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定证明即可；
（2）根据题意证明平面，再由面面垂直的判定即可证明；
（3）利用等体积法求点到面的距离即可.
（1）略
（2）略
（3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而 2， 4，
设点B到平面的距离为d，且，
所以，即 ，解得，
所以到平面的距离为．
19．【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以．
（2）解：设，
所以，
，
因为，
所以则结论正确．
（3）解：不妨令，
则，
所以
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
所以
．
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积定义和向量的坐标运算以及向量求模公式，从而得出和.
（2）根据所给定义和向量的代数运算以及数量积运算法则，从而判断出结论正确．
（3） 设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可.
（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．
1 / 1广东揭阳市普宁市华侨中学2025-2026学年高二下学期第二次月考数学试题
1．已知集合，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，
所以，故B选项正确.
故答案为：B
【分析】根据并集的概念求解.
2．数据的80%分位数为（　　）
A．8 B．9 C．6.4 D．7
【答案】B
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：共8个数，
由，故第7个数9为80%分位数.
故答案为：B
【分析】根据百分位数的求解方式求解.
3．如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】异面直线所成的角
【解析】【解答】解：连接，
在正方体中，，
所以为异面直线与所成的角，
而，即为等边三角形，
所以，即异面直线与所成的角是.
故答案为：C.
【分析】由题可知，为异面直线与所成的角，再求角即可.
4．在中，角，，所对的边分别是，，，，，，则（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】A
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由正弦定理得，得，则；
因为，则，故，则，所以A正确.
故答案为：A.
【分析】根据正弦定理求得，再由同角三角函数关系求即可.
5．已知圆锥的底面半径为2，高为，则其侧面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：由题意，圆锥的母线，底面周长为4π，
故其侧面积为。
故答案为：D．
【分析】先求圆锥的母线，再利用圆锥侧面积公式求解.
6．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（　　）
A．若，，，，则
B．若，，则
C．若，，则
D．若，，则
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系
【解析】【解答】解：A，，，，，若相交时，可得，若不相交时，可能相交，故A错误；
B，若，，则或是异面直线或是相交直线，故B错误；
C，若，，则，故C正确；
D，若，，则或，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A：根据面面平行的判定定理判断；B：根据空间中直线与直线的位置关系判断；C：根据平面平行的传递性判断；D：根据线面、面面垂直的性质判断。
7．已知函数在区间单调递增，且，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：由题目可知在内，x值越大，函数值就越大，
因为，且，
所以.
又因为，所以.
因为，所以，
因此，故B选项正确.
故答案为：B
【分析】根据单调性及奇偶性比较大小即可.
8．已知是边长为2的等边三角形，AB是圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】向量在几何中的应用；圆的标准方程
【解析】【解答】解：以的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系.
∵是圆的直径，且为边长为的等边三角形，
∴，
设圆上动点，，
∴，，
∴
.
∵，
∴，
即的取值范围为.
故答案为：A
【分析】以的中点为坐标原点，设圆上动点，，再根据数量积的坐标运算，结合恒等变形求范围即可.
9．若复数满足（是虚数单位），则下列说法正确的是 （　　）
A．
B．的模为
C．在复平面内对应的点位于第四象限
D．
【答案】A,C,D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算；共轭复数
【解析】【解答】A，因为，，A正确；
B，，则，B错误；
C，在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，C正确；
D，，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】A：利用复数除法化简，求出并判断；B：根据共轭复数的定义求，再用模长公式计算；C：根据复数的几何意义，判断在复平面内对应的点所在的象限；D：利用复数的运算法则计算并判断。
10．已知函数，给出下列结论，其中正确结论有（　　）
A．的最小正周期为
B．是的最大值
C．把函数的图象所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.
D．在上是增函数
【答案】A,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：因为，
由周期公式可得，的最小正周期，故A正确；
，不是的最大值，故B错误；
根据函数图象的平移法则可得，函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，故C错误；
当时，，由正弦函数知函数单调递增.
故答案为：AD
【分析】根据正弦型函数的相关性质可判断ABD；结合函数图象的平移变换可判断C.
11．在三棱锥中，已知，，，平面平面ABC，且，则（　　）．
A．
B．平面平面ABC
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球的表面积为
【答案】A,B,C
【知识点】球内接多面体；直线与平面垂直的判定；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：因为，，
所以，所以，
过D作于E．
因为平面平面ABC，平面平面，
所以平面ABC，所以，
假设DB，DE不重合，因为，所以平面DBC，
所以，这样与矛盾，
所以假设不成立，所以DB，DE重合，即平面ABC，
所以，
由于平面，
所以平面平面ABC，所以A，B正确；
三棱锥的体积为，所以C正确；
设三角形ABC的外心为F，外接圆半径为，
过F作平面ABC，
设O为外接球的球心，则，，
所以，
所以，解得，
所以外接球的半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积为，所以D不正确．
故答案为：ABC
【分析】对于AB，过D作于E，再证明DB，DE重合，进而可证平面；对于C，根据锥体体积公式得到三棱锥的体积；对于D， 设三角形ABC的外心为F， 过F作平面ABC，再根据外接球的定义求出半径即可.
12．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取　 　件．
【答案】18
【知识点】分层抽样方法
【解析】【解答】解：产品总数为200+400+300+100=1000件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为 = ，
则应从丙种型号的产品中抽取300× =18件，
故答案为：18
【分析】由题意先求出抽样比例即为 ，再由此比例计算出应从丙种型号的产品中抽取的数目．
13．已知向量， ，，若，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：因为，故，
即，
故，
当且仅当，取等号，
故的最小值为.
故答案为：
【分析】由向量平行的坐标运算可得，再利用基本不等式“”的妙用求解.
14．如图，二面角的大小是30°，线段，，与所成的角为60°，则与平面所成的角的正弦值是　 　．
【答案】
【知识点】直线与平面所成的角；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：过作于，过作于，连接，
则为与平面所成的角，
因为，所以，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，则，
设，则，
因为，所以，
所以，
所以与平面所成的角的正弦值为.
故答案为：
【分析】过作于，过作于，连接，则为与平面所成的角，，设，则，再解直角三角形，得到即可.
15．已知平面向量，，．
（1）若，求实数的值；
（2）求；
（3）若，求的最小值．
【答案】（1）解：已知，
，解得．
（2）解：已知，则，
，
．
（3）解：，
二次函数开口向上，对称轴，
．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据平行的坐标表示可求；
（2）根据数量积的运算律求解即可；
（3）根据题意可得，再利用二次函数的性质求最值即可.
（1）已知，
，解得．
（2）已知，则，
，
．
（3），
二次函数开口向上，对称轴，
．
16．潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段：，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段 [90，100]
频数 10 30 30 10
频率 0.1 0.3 0.3 0.1
（1）求频数分布表中和的值，并估计样本成绩的平均数；
（2）经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数和总方差．
【答案】（1）解：由，
解得，
则，
所以，平均数的估计值为
（2）解：由表可知，
分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
则两组成绩的总平均数为，
所以两组成绩的总方差为：，
则两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)根据已知条件和频率的基本性质，从而得出的值，再结合平均数公式，从而估计出样本成绩的平均数.
（2）根据分层抽样的分法得到分数在和的人数，再结合平均数公式和方差公式，从而得出两组成绩的总平均数和总方差．
（1）由，
解得，则，
平均数的估计值为．
（2）由表可知，分数在区间内的频数为10，在区间内的频数为20，
故两组成绩的总平均数，
两组成绩的总方差．
所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．
17．在锐角中，角所对的边分别为，且
（1）求角A；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）由正弦定理得，，
所以，，
由于，所以.
（2）解：∵，∴
.
∵，∴，∴，
∴，∴，
即的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可得，再根据余弦定理求角即可；
（2）利用正弦定理可得，再由三角恒等变形化简求范围即可.
（1）由正弦定理得，，
所以，，
由于，所以.
（2）∵，
∴
.
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
即的取值范围为.
18．如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）求点到平面的距离．
【答案】（1）证明：连接，交点O，连接，则O是的中点，
因为D是的中点，所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）证明：因为为等边三角形，且D是的中点，所以，
由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以，
又 平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（3）解：由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而 2， 4，
设点B到平面的距离为d，且，
所以，即 ，解得，
所以到平面的距离为．
【知识点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定证明即可；
（2）根据题意证明平面，再由面面垂直的判定即可证明；
（3）利用等体积法求点到面的距离即可.
（1）略
（2）略
（3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为，
而 2， 4，
设点B到平面的距离为d，且，
所以，即 ，解得，
所以到平面的距离为．
19．通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量．类似的，我们可以把有序复数对看作一个向量，记，称为复向量．类比平面向量的相关运算法则，对于，，我们有如下运算法则：①；②③；④．
（1）设，求和；
（2）类比平面向量数量积满足的运算律，得出复向量的一个相关结论：，判断上述结论是否正确，并说明理由；
（3）设，集合，求的最小值，并证明当取最小值时，对于任意的．
【答案】（1）解：由，
得，
因为，
所以．
（2）解：设，
所以，
，
因为，
所以则结论正确．
（3）解：不妨令，
则，
所以
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
所以
．
【知识点】函数的最大（小）值；向量的模；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；复数代数形式的混合运算
【解析】【分析】（1）利用已知条件和数量积定义和向量的坐标运算以及向量求模公式，从而得出和.
（2）根据所给定义和向量的代数运算以及数量积运算法则，从而判断出结论正确．
（3） 设满足条件的，根据所给条件计算取得最小值，再计算证明即可.
（1）由，
得，
．
．
（2）设，
，
，
因为，
所以，故正确．
（3）不妨令，则，
则
，
当时，取得最小值3，
此时，
设满足条件的，
则，
．
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