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广西壮族自治区玉林市玉州区2026年九年级数学中考第三次阶段测试试卷
1．若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为（　　）
A． B． C． D．
2．下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．要使分式有意义，应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为
C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为
6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　）
A．保持不变 B．越来越快
C．越来越慢 D．快慢交替变化
9．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
10．儿童节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送份小礼品，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．电池能量最多可充
B．摩托车每行驶消耗能量
C．摩托车充满电后，行驶将自动报警
D．一次性充满电后，摩托车最多行驶
12．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
13．计算：的算术平方根是　 　．
14．因式分解 =　 　.
15．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到红灯的概率是　 　．
16．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是　 　．
17．
（1）计算：；
（2）化简：．
18．如图，在中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接、．求证：四边形是菱形．
19．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中组共有个成绩，从高到低分别为：，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 组个成绩的平均数为　 　分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
20．如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
21．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售某县出产的甲、乙两种苹果．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
22．综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
素材1 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．
素材2 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．
素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务．
⑴ 确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式；
⑵ 确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）；
⑶ 拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标．
23．综合与探究
【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形．
（1）【理解】如图，在对垂四边形中，若，，求的值；
（2）【应用】如图，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：；
（3）【拓展】在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零下摄氏度记为，
∴零上摄氏度记为，
故答案为：C.
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图不是中心对称图象，∴A不符合题意；
B、∵此图不是中心对称图象，∴B不符合题意；
C、∵此图是中心对称图象，∴C符合题意；
D、∵此图不是中心对称图象，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
4．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：结合，可得-1≤x<2，
在数轴上的表示为，
故答案为：A.
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本，，…，的平均数为，方差为，
∴样本，，…，的平均数为10+2=12，方差为6，
故答案为：B.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】 解：如图所示，
∵AB∥EF，∠1=125°，
∴∠BEF=180°-∠1=180°-125°=55°（两直线平行，同旁内角互补），
∵EF∥CD，∠2=35°，
∴∠FEC=∠2=35°，
∴∠BEC=∠BEF+FEC=90°，
故答案为：C．
【分析】 根据平行线的性质得到∠BEF=180°-∠1=55°，∠FEC=∠2=35°，进而求解即可．
7．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
8．【答案】B
【知识点】常量、变量；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵容器是下宽上窄，单位时间内注水量保持不变，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快，
故答案为：B.
【分析】根据生活常识并结合容器是下宽上窄，单位时间内注水量保持不变分析求解即可.
9．【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】 解：过O点作OH⊥EF于H点，延长HO交BC于G点，如图，
设圆的半径为r cm，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠D=90°，AD∥BG，
∵GH⊥EF，
∴EH=FH=3cm，HG⊥BG，
∵BC与⊙O相切，
∴OG=r，
∵∠C=∠D=∠GHD=90°，
∴四边形CDHG为矩形，
∴HG=CD=6cm，
∴OH=（6-r）cm，
在Rt△OEH中，（6-r）2+32=r2，
解得r=3.75，
即圆的半径为3.75 cm，
故答案为：A．
【分析】 过O点作OH⊥EF于H点，延长HO交BC于G点，设圆的半径为r cm，根据垂径定理得到EH=FH=3cm，根据平行线的性质得到HG⊥BG，再利用切线的性质得到OG=r，接着证明四边形CDHG为矩形得到HG=CD=6cm，所以OH=（6-r）cm，然后根据勾股定理得到（6-r）2+32=r2，于是解方程求出r即可．
10．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设全班有名同学，
根据题意可得，
故答案为：B.
【分析】设全班有名同学，结合“ 全班共送份小礼品 ”列出方程即可.
11．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可得，当x=0km时，y=500W h，∴电池能量最多可充500W h，选项说法错误，不符合题意；
B、500÷25=20（W h），20×10=200（W h），∴摩托车每行驶10km消耗能量200W h，选项说法错误，不符合题意；
C、（500-100）÷20=20（km），∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，选项说法错误，不符合题意．
D、由图象可得，当x=25km时，y=0W h，∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，选项说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图象中的数据逐项求解判断即可．
12．【答案】C
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠NAB+∠MAO=90°，
∴∠MOA=∠NAB，
∵∠AMO=∠ANB=90°，AO=AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM=NB=m，MO=AN=2．
∴A（m，2），B（m+2，2-m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m=（m+2）（2-m），
解得：m1=-1+，m2=-1-（舍去），
∴点A的坐标为（-1+，2），
∴k=xy=2（-1）=2-2．
故答案为：C.
【分析】 构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
13．【答案】2
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
故答案为：2.
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：两项都含有公因式a，由此利用提取公因式法分解因式.
15．【答案】0.5
【知识点】概率公式
【解析】【解答】 解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：=0.5．
故答案为：0.5．
【分析】 根据概率的定义进行计算即可．
16．【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；四边形的综合
【解析】【解答】解：找到点O关于AB的对称点N，连接EN，交AB于点P，
则PO+PE=PE+PN=EN，EN的长就是最小值．
∵CE⊥AH，AO=OC，
∴OE=OA．
∴∠OAE=∠OEA，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠OEA=∠EAB，
∴OE∥AB，
∵ON⊥AB，
∴∠EON=90°，即△OEN是Rt△，
∵AD=4，
∴ON=4，OE=OA=AC=，
∴EN==6．
故答案为：6．
【分析】 找到点O关于AB的对称点N，连接EN，EN长就是所求最值，利用角平分线和直角三角形斜边中线推出OE∥AB可得OEN是直角三角形，勾股定理求出EN即可．
17．【答案】（1）解：（﹣2）×（﹣1）+4
＝2+4
＝6
（2）a（a﹣1）
＝a2﹣a
＝．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算
【解析】【分析】（1） 利用有理数的混合运算的计算方法（有括号的先计算括号，再计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用单项式乘多项式展开，再合并同类项即可.
18．【答案】（1）解：如图，线段AO即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作出线段BC的垂直平分线，与BC的交点为O，再连接AO即可；
（2）先证出四边形ABDC是平行四边形，再结合AB＝AC，即可证出四边形ABDC是菱形．
19．【答案】（1）84
（2）50；80
（3）600×24%＝144（人），
答：估计本次竞赛的获奖人数为144人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】 解：（1）直接利用平均数公式计算可得：
（89+88+88+86+85+85+85+85+84+83+81+81+80+80+80）÷15=84，
∴B组15个成绩的平均数为84分，
故答案为：84；
（2）15÷30%=50，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为50，
∴成绩从高到低排列，中位数为第25和第26位学生成绩的平均数，
∵A组人数为50×24%=12人，
∴中位数为：=80分，
故答案为：50，80.
【分析】 （1）直接利用平均数公式计算即可；
（2）由B组人数除以其百分比可求出抽取的总数据个数，再根据中位数的定义解答可求出中位数；
（3）用总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案．
20．【答案】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠B＝45°，
∴∠AOE＝2∠B＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠OEF＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
（2）解：连接BD，如图所示：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵tan∠DAB，
∴设BD＝x，AB＝3x，
∴ADx＝4，
∴x＝4，
∴BE＝4，AB＝12，
∴AC＝AB＝12，
∴BC12，
∵∠CAB+∠ABD＝180°，
∴AC∥BD，
∴△ACG∽△BDG，
∴，
∴，
∴CG＝9．
∴.
【知识点】勾股定理；切线的判定；正切的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接OE，先证出∠OEF＝90°，再结合OE是⊙O的半径，即可证出EF是⊙O的切线；
（2）连接BD，设BD＝x，AB＝3x，则ADx＝4，求出x的值，再证出△ACG∽△BDG，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出CG＝9，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
21．【答案】（1）解：设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（14﹣x）箱，
根据题意得：14﹣x≤x，
解得：x≥7，
设该公司需花费w元，
根据题意得：w＝100x+80（14﹣x）＝20x+1120，
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝7时，w有最小值＝20×7+1120＝1260，
答：该公司最少需花费1260元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，利用“ 已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（14﹣x）箱，该公司需花费w元，利用“总费用=甲种苹果的费用+乙种苹果的费用”列出函数解析式w＝100x+80（14﹣x）＝20x+1120，最后利用一次函数的性质求解即可.
22．【答案】解：⑴桥拱最高点M的坐标为（0，9），
∵AB＝30，
∴OB＝15，
∴B（15，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
则，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04x2+9（﹣15≤x≤15）；
⑵∵DF＝20，
∴F（10，0），
令x＝10，y＝﹣0.04x2+9＝5，
∴桥墩的高度5m；
⑶∵矩形广告牌的面积为18m2且长、宽均为整数，
∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）：
①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，
∵拱桥的最高点到CE的距离为9﹣5＝4（m），
∴方案①，②，③不符合题意，
方案④：
当x＝3时，y＝8.64，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+3＝8（m），
∵8.64＞8，
方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是（3，8），
方案⑤：
当时，y＝8.19（m），
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+2＝7（m），
∵8.19＞7，
方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是，
方案⑥：
当x＝9时，y＝5.76（m），
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+1＝6（m），
∵5.76＜6，
方案⑥不满足要求，
综上所述，共有两种设计方案：
方案一；矩形广告牌的长为6m，宽为3m，Q点的坐标是（3，8），因为点P与Q关于对称轴对称，所以P点的坐标是（-3，8）；
方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，Q点的坐标是，因为点P与Q关于对称轴对称，所以P点的坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c，再将点M和B代入求出a、c的值即可；
（2）先求出点F的坐标，再将x=10代入解析式求出y的值即可；
（3）先根据题干给出6种初步的设计方案：①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，再逐项分析求出各种方案是否符合题意即可.
23．【答案】（1）解：∵∠A＝55°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣35°＝55°，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°，
∴∠BCD+∠BDC＝180°﹣55°＝125°，
∵∠BCD＝80°，
∴∠BDC＝45°
（2）证明：∵∠ADB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°，∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠CBD，AD＝BD，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠BDC+∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（ASA），
∴DC＝DE
（3）解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，
由（2）知，AD＝BD＝12，
∴∠BDP∠ADB＝45°，
∵∠A＝45°，
∴BP＝DPBD＝6，
∵CD＝DE，
由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形，
连接DF，则DEDF，∠EDF＝∠BDP＝45°，
分两种情况：①如图1，当点D的对应点F在AB的上方时，
∵∠EDF＝∠BDP＝45°，
∴，∠BDF＝∠PDE，
∴△BDF∽△PDE，
∴，
∵BF＝4，
∴EPBF，
∴BE＝BP﹣PE＝6，
∴S△BDEBE DP24；
②如图，当点D的对应点F在AB的下方时，
同理可得BE＝BP+PE＝6，
∴S△BDEBE DP48；
综上可得，△BDE的面积为24或48．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）结合图形并利用角的运算求出∠BDC＝45°即可；
（2）先利用角的运算求出∠ADE＝∠BDC，再利用“ASA”证出△ADE≌△BDC，最后利用全等三角形的性质可得DC＝DE；
（3）过点D作DP⊥AB于点P，连接DF，则DEDF，∠EDF＝∠BDP＝45°，再分类讨论：①当点D的对应点F在AB的上方时，②当点D的对应点F在AB的下方时，先分别画出图形，再利用相似三角形的判定和性质求解即可.
1 / 1广西壮族自治区玉林市玉州区2026年九年级数学中考第三次阶段测试试卷
1．若零下摄氏度记为，则零上摄氏度记为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零下摄氏度记为，
∴零上摄氏度记为，
故答案为：C.
【分析】利用正、负数定义及表示相反意义的量的方法及书写格式分析求解即可.
2．下列四个近年来热门的（人工智能）相关的图标中，是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、∵此图不是中心对称图象，∴A不符合题意；
B、∵此图不是中心对称图象，∴B不符合题意；
C、∵此图是中心对称图象，∴C符合题意；
D、∵此图不是中心对称图象，∴D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用中心对称图形的定义（把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形）逐项分析判断即可.
3．要使分式有意义，应满足的条件是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意可得：x-3≠0，
解得：x≠3，
故答案为：D.
【分析】利用分式有意义的条件（分母不为0）列出不等式求解即可.
4．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：结合，可得-1≤x<2，
在数轴上的表示为，
故答案为：A.
【分析】利用不等式解集的表示方法（小于向左，大于向右；边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点）分析求解即可.
5．若样本，，…，的平均数为，方差为，则对于样本，，…，，下列结论正确的是（　　）
A．平均数为，方差为 B．平均数为，方差为
C．平均数为，方差为 D．平均数为，方差为
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：∵样本，，…，的平均数为，方差为，
∴样本，，…，的平均数为10+2=12，方差为6，
故答案为：B.
【分析】利用平均数和方差的定义及计算方法分析求解即可.
6．五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；铅笔头模型；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】 解：如图所示，
∵AB∥EF，∠1=125°，
∴∠BEF=180°-∠1=180°-125°=55°（两直线平行，同旁内角互补），
∵EF∥CD，∠2=35°，
∴∠FEC=∠2=35°，
∴∠BEC=∠BEF+FEC=90°，
故答案为：C．
【分析】 根据平行线的性质得到∠BEF=180°-∠1=55°，∠FEC=∠2=35°，进而求解即可．
7．下列计算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、∵，∴A正确；
B、∵，∴B不正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：A.
【分析】利用同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方以及合并同类项的计算方法逐项分析判断即可.
8．如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（　　）
A．保持不变 B．越来越快
C．越来越慢 D．快慢交替变化
【答案】B
【知识点】常量、变量；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：∵容器是下宽上窄，单位时间内注水量保持不变，
∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快，
故答案为：B.
【分析】根据生活常识并结合容器是下宽上窄，单位时间内注水量保持不变分析求解即可.
9．把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；垂径定理的实际应用
【解析】【解答】 解：过O点作OH⊥EF于H点，延长HO交BC于G点，如图，
设圆的半径为r cm，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠C=∠D=90°，AD∥BG，
∵GH⊥EF，
∴EH=FH=3cm，HG⊥BG，
∵BC与⊙O相切，
∴OG=r，
∵∠C=∠D=∠GHD=90°，
∴四边形CDHG为矩形，
∴HG=CD=6cm，
∴OH=（6-r）cm，
在Rt△OEH中，（6-r）2+32=r2，
解得r=3.75，
即圆的半径为3.75 cm，
故答案为：A．
【分析】 过O点作OH⊥EF于H点，延长HO交BC于G点，设圆的半径为r cm，根据垂径定理得到EH=FH=3cm，根据平行线的性质得到HG⊥BG，再利用切线的性质得到OG=r，接着证明四边形CDHG为矩形得到HG=CD=6cm，所以OH=（6-r）cm，然后根据勾股定理得到（6-r）2+32=r2，于是解方程求出r即可．
10．儿童节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送份小礼品，如果全班有名同学，根据题意，列出方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设全班有名同学，
根据题意可得，
故答案为：B.
【分析】设全班有名同学，结合“ 全班共送份小礼品 ”列出方程即可.
11．在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（　　）
A．电池能量最多可充
B．摩托车每行驶消耗能量
C．摩托车充满电后，行驶将自动报警
D．一次性充满电后，摩托车最多行驶
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由图象可得，当x=0km时，y=500W h，∴电池能量最多可充500W h，选项说法错误，不符合题意；
B、500÷25=20（W h），20×10=200（W h），∴摩托车每行驶10km消耗能量200W h，选项说法错误，不符合题意；
C、（500-100）÷20=20（km），∴摩托车充满电后，行驶20km将自动报警，选项说法错误，不符合题意．
D、由图象可得，当x=25km时，y=0W h，∴一次性充满电后，摩托车最多行驶25km，选项说法正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据图象中的数据逐项求解判断即可．
12．如图，在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．点的坐标为．连接，，．若，，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点A作x轴的平行线交y轴于点M，过点B作y轴的平行线交MA的延长线于点N．
∵∠MOA+∠MAO=90°，∠NAB+∠MAO=90°，
∴∠MOA=∠NAB，
∵∠AMO=∠ANB=90°，AO=AB．
∴△AMO≌△BNA（AAS），
∴AM=NB=m，MO=AN=2．
∴A（m，2），B（m+2，2-m），
∵点A、B都在反比例函数上，
∴2m=（m+2）（2-m），
解得：m1=-1+，m2=-1-（舍去），
∴点A的坐标为（-1+，2），
∴k=xy=2（-1）=2-2．
故答案为：C.
【分析】 构造全等三角形推出点B的含有m的坐标，利用同一反比例函数上点的坐标之积相等列出关于m的方程，解出m即可求出A的坐标，
13．计算：的算术平方根是　 　．
【答案】2
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：的算术平方根是2，
故答案为：2.
【分析】利用算术平方根的定义及计算方法分析求解即可.
14．因式分解 =　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：原式 ，
故答案为： .
【分析】观察此多项式的特点：两项都含有公因式a，由此利用提取公因式法分解因式.
15．一般情况下路口会设置红色、黄色、绿色三种颜色的信号灯．已知某路口三种信号灯的时长依次是：红灯秒、黄灯秒、绿灯秒，一辆汽车行驶到该路口遇到红灯的概率是　 　．
【答案】0.5
【知识点】概率公式
【解析】【解答】 解：一辆汽车行驶到该路口遇到绿灯的概率是：=0.5．
故答案为：0.5．
【分析】 根据概率的定义进行计算即可．
16．如图，矩形中，对角线，相交于点，，，是的平分线，于点，点是直线上的一个动点，则的最小值是　 　．
【答案】6
【知识点】勾股定理；矩形的性质；角平分线的概念；四边形的综合
【解析】【解答】解：找到点O关于AB的对称点N，连接EN，交AB于点P，
则PO+PE=PE+PN=EN，EN的长就是最小值．
∵CE⊥AH，AO=OC，
∴OE=OA．
∴∠OAE=∠OEA，
∵AM是∠BAC的平分线，
∴∠OEA=∠EAB，
∴OE∥AB，
∵ON⊥AB，
∴∠EON=90°，即△OEN是Rt△，
∵AD=4，
∴ON=4，OE=OA=AC=，
∴EN==6．
故答案为：6．
【分析】 找到点O关于AB的对称点N，连接EN，EN长就是所求最值，利用角平分线和直角三角形斜边中线推出OE∥AB可得OEN是直角三角形，勾股定理求出EN即可．
17．
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：（﹣2）×（﹣1）+4
＝2+4
＝6
（2）a（a﹣1）
＝a2﹣a
＝．
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；整式的混合运算
【解析】【分析】（1） 利用有理数的混合运算的计算方法（有括号的先计算括号，再计算乘除，最后计算加减）分析求解即可；
（2）先利用单项式乘多项式展开，再合并同类项即可.
18．如图，在中，．
（1）尺规作图：作边上的中线（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，将中线绕点旋转得到，连接、．求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图，线段AO即为所求；
（2）证明：∵AB＝AC，AO⊥BC，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴四边形ABDC是平行四边形，
∵AB＝AC，
∴四边形ABDC是菱形．
【知识点】菱形的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用垂直平分线的作图方法作出线段BC的垂直平分线，与BC的交点为O，再连接AO即可；
（2）先证出四边形ABDC是平行四边形，再结合AB＝AC，即可证出四边形ABDC是菱形．
19．为了让同学们了解我国航天事业取得的成就并普及航天知识，某校在“中国航天日”当天开展了研学活动，随后采取自愿报名的方式，组织了航天知识竞赛．竞赛结束后，从竞赛成绩（单位：分满分100分均不低于60分）中用科学的抽样方法随机抽取部分成绩，并进行整理，绘制了如下统计图．
其中组共有个成绩，从高到低分别为：，，，，，，，，，，，，，，．
抽取的成绩统计图
根据以上信息，解答下列问题：
（1） 组个成绩的平均数为　 　分；
（2）本次被抽取的所有成绩的个数为　 　，本次被抽取的所有成绩的中位数为　 　分；
（3）学校决定对本次竞赛成绩90分及以上的学生进行奖励，该校共有名学生参加竞赛，请估计本次竞赛的获奖人数．
【答案】（1）84
（2）50；80
（3）600×24%＝144（人），
答：估计本次竞赛的获奖人数为144人．
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】 解：（1）直接利用平均数公式计算可得：
（89+88+88+86+85+85+85+85+84+83+81+81+80+80+80）÷15=84，
∴B组15个成绩的平均数为84分，
故答案为：84；
（2）15÷30%=50，
∴本次被抽取的所有成绩的个数为50，
∴成绩从高到低排列，中位数为第25和第26位学生成绩的平均数，
∵A组人数为50×24%=12人，
∴中位数为：=80分，
故答案为：50，80.
【分析】 （1）直接利用平均数公式计算即可；
（2）由B组人数除以其百分比可求出抽取的总数据个数，再根据中位数的定义解答可求出中位数；
（3）用总人数乘以本次竞赛成绩90分及以上的学生的百分比即可得到答案．
20．如图，中，，，经过、两点，与斜边交于点，连接并延长交于点，交于点，过点作交于点．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OE，如图所示：
∵∠BAC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠B＝45°，
∴∠AOE＝2∠B＝90°，
∵EF∥AD，
∴∠OEF＝90°，
∵OE是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线.
（2）解：连接BD，如图所示：
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∵tan∠DAB，
∴设BD＝x，AB＝3x，
∴ADx＝4，
∴x＝4，
∴BE＝4，AB＝12，
∴AC＝AB＝12，
∴BC12，
∵∠CAB+∠ABD＝180°，
∴AC∥BD，
∴△ACG∽△BDG，
∴，
∴，
∴CG＝9．
∴.
【知识点】勾股定理；切线的判定；正切的概念；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）连接OE，先证出∠OEF＝90°，再结合OE是⊙O的半径，即可证出EF是⊙O的切线；
（2）连接BD，设BD＝x，AB＝3x，则ADx＝4，求出x的值，再证出△ACG∽△BDG，利用相似三角形的性质可得，将数据代入求出CG＝9，最后利用线段的和差求出BG的长即可.
21．为助力乡村振兴，支持惠农富农，某合作社销售某县出产的甲、乙两种苹果．已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元．
（1）求甲、乙两种苹果每箱的售价．
（2）某公司计划从该合作社购买甲、乙两种苹果共箱，且乙种苹果的箱数不超过甲种苹果的箱数．求该公司最少需花费多少元．
【答案】（1）解：设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲种苹果每箱的售价为100元，乙种苹果每箱的售价为80元
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（14﹣x）箱，
根据题意得：14﹣x≤x，
解得：x≥7，
设该公司需花费w元，
根据题意得：w＝100x+80（14﹣x）＝20x+1120，
∵20＞0，
∴w随x的增大而增大，
∴当x＝7时，w有最小值＝20×7+1120＝1260，
答：该公司最少需花费1260元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种苹果每箱的售价为a元，乙种苹果每箱的售价为b元，利用“ 已知箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元；箱甲种苹果和箱乙种苹果的售价之和为元 ”列出方程组求解即可；
（2）设购买甲种苹果x箱，则购买乙种苹果（14﹣x）箱，该公司需花费w元，利用“总费用=甲种苹果的费用+乙种苹果的费用”列出函数解析式w＝100x+80（14﹣x）＝20x+1120，最后利用一次函数的性质求解即可.
22．综合与实践
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计游乐园抛物线型彩虹桥的广告牌？
素材1 某游乐园计划在道路上方搭建一座抛物线型彩虹桥．如图①，道路的宽为，桥拱最高处距离路面的距离为．
素材2 在实际搭建时，为了安全需在桥拱下方安置两个竖直方向的桥墩进行支撑，为了美观，要求两个桥墩关于桥拱对称轴对称．如图②，桥墩之间的距离．
素材3 如图③，在两个桥墩上搭一个限高横杆，为了宣传游乐园新开发的项目，现要在桥拱下方，横杆上方设置一个面积为的矩形广告牌，要求矩形广告牌的一边落在上，矩形长、宽均为整数，且矩形广告牌关于桥拱的对称轴对称．
问题解决：以的中点为坐标原点建立平面直角坐标系完成以下任务．
⑴ 确定桥拱形状如图①，求抛物线的函数表达式；
⑵ 确定桥墩高度如图②，求桥墩的高度（不考虑桥墩的宽度）；
⑶ 拟定设计方案如图③，请你给出广告牌的设计方案，并求出矩形中点坐标．
【答案】解：⑴桥拱最高点M的坐标为（0，9），
∵AB＝30，
∴OB＝15，
∴B（15，0），
设抛物线的解析式为y＝ax2+c，
则，
解得，
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣0.04x2+9（﹣15≤x≤15）；
⑵∵DF＝20，
∴F（10，0），
令x＝10，y＝﹣0.04x2+9＝5，
∴桥墩的高度5m；
⑶∵矩形广告牌的面积为18m2且长、宽均为整数，
∴矩形广告牌有下列6种初步的设计方案（前面的数字代表的边长落在CE上）：
①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，
∵拱桥的最高点到CE的距离为9﹣5＝4（m），
∴方案①，②，③不符合题意，
方案④：
当x＝3时，y＝8.64，
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+3＝8（m），
∵8.64＞8，
方案④可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是（3，8），
方案⑤：
当时，y＝8.19（m），
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+2＝7（m），
∵8.19＞7，
方案⑤可以满足要求，此时矩形广告牌右上方顶点的坐标是，
方案⑥：
当x＝9时，y＝5.76（m），
此时矩形广告牌的最上边距离路面的高度为5+1＝6（m），
∵5.76＜6，
方案⑥不满足要求，
综上所述，共有两种设计方案：
方案一；矩形广告牌的长为6m，宽为3m，Q点的坐标是（3，8），因为点P与Q关于对称轴对称，所以P点的坐标是（-3，8）；
方案二：矩形广告牌的长为9m，宽为2m，Q点的坐标是，因为点P与Q关于对称轴对称，所以P点的坐标是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝ax2+c，再将点M和B代入求出a、c的值即可；
（2）先求出点F的坐标，再将x=10代入解析式求出y的值即可；
（3）先根据题干给出6种初步的设计方案：①1×18：②2×9；③3×6；④6×3；⑤9×2；⑥18×1，再逐项分析求出各种方案是否符合题意即可.
23．综合与探究
【定义】在四边形中，若有一个角是直角，且连接这个直角顶点与它对角顶点的对角线，把对角分成的两个角中，有一个是直角，我们称这样的四边形为对垂四边形．如图，在四边形中，是对角线，，则四边形为对垂四边形，记作对垂四边形．
（1）【理解】如图，在对垂四边形中，若，，求的值；
（2）【应用】如图，在对垂四边形中，已知，，点为边上一动点，且，求证：；
（3）【拓展】在（2）的条件下，连接，将沿翻折，得到，连接，若，，求的面积．
【答案】（1）解：∵∠A＝55°，∠ADB＝90°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣55°＝35°，
∴∠CBD＝90°﹣∠ABD＝90°﹣35°＝55°，
∵∠CBD+∠BCD+∠BDC＝180°，
∴∠BCD+∠BDC＝180°﹣55°＝125°，
∵∠BCD＝80°，
∴∠BDC＝45°
（2）证明：∵∠ADB＝90°，∠A＝45°，
∴∠ABD＝90°﹣∠A＝90°﹣45°＝45°，
∴∠CBD＝∠ABC﹣∠ABC＝90°﹣45°＝45°，∠A＝∠ABD，
∴∠A＝∠CBD，AD＝BD，
∵CD⊥DE，
∴∠CDE＝90°，
∴∠BDC+∠BDE＝90°，
∵∠ADE+∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠BDC，
∴△ADE≌△BDC（ASA），
∴DC＝DE
（3）解：如图，过点D作DP⊥AB于点P，
由（2）知，AD＝BD＝12，
∴∠BDP∠ADB＝45°，
∵∠A＝45°，
∴BP＝DPBD＝6，
∵CD＝DE，
由折叠的性质可知四边形CDEF为正方形，
连接DF，则DEDF，∠EDF＝∠BDP＝45°，
分两种情况：①如图1，当点D的对应点F在AB的上方时，
∵∠EDF＝∠BDP＝45°，
∴，∠BDF＝∠PDE，
∴△BDF∽△PDE，
∴，
∵BF＝4，
∴EPBF，
∴BE＝BP﹣PE＝6，
∴S△BDEBE DP24；
②如图，当点D的对应点F在AB的下方时，
同理可得BE＝BP+PE＝6，
∴S△BDEBE DP48；
综上可得，△BDE的面积为24或48．
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定-ASA；四边形的综合；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）结合图形并利用角的运算求出∠BDC＝45°即可；
（2）先利用角的运算求出∠ADE＝∠BDC，再利用“ASA”证出△ADE≌△BDC，最后利用全等三角形的性质可得DC＝DE；
（3）过点D作DP⊥AB于点P，连接DF，则DEDF，∠EDF＝∠BDP＝45°，再分类讨论：①当点D的对应点F在AB的上方时，②当点D的对应点F在AB的下方时，先分别画出图形，再利用相似三角形的判定和性质求解即可.
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