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2026年河北省唐山市滦州市中考二模数学试题
1．如图，上午，时针与分针的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：上午时，时针和分针间隔3个大格，每个大格是，
所以时针和分针的夹角为．
故选：B．
【分析】利用钟面角的计算方法（分针每分钟转了6°，时针每分钟转了0.5°）并结合图形列出算式求解即可.
2．能被6整除的数是（　　）
A．222 B．333 C．777 D．999
【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；数的整除性
【解析】【解答】解：∵，2和3互质，
∴能被6整除的数需同时被2和3整除．
根据能被2整除的数的特征，个位为偶数才能被2整除．
选项中只有A选项222的个位是偶数，B，C，D的个位均为奇数，都不能被2整除，因此排除B，C，D．
∵222各位数字和为，6是3的倍数，
∴222能被3整除．
因此222同时满足被2和3整除，即能被6整除．
故答案为：A.
【分析】利用整除的定义及计算方法逐项分析判断即可.
3．图中几何体是由6个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为，则左视图的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：∵小正方体的棱长为，
∴小正方体的面积为，
由图可知左视图能看到个小正方体，
∴左视图的面积为．
故答案为：B.
【分析】先判断出几何体的三视图，再利用面积公式求解即可.
4．若多项式是一个完全平方式，则不可能是（ ）．
A． B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：对选项A： ，
∵原式，
∴是完全平方式，A不符合要求；
对选项B：，
∵原式，
∴是完全平方式，B不符合要求；
对选项C：，
∵原式，
∴是完全平方式，C不符合要求；
对选项D：，
∵原式，
若该式是完全平方式，常数项应为，，
∴无法写成整式平方的形式，
∴不是完全平方式，D符合要求．
故答案为：D.
【分析】利用完全平方式的特征将各选项分别代入计算并判断即可.
5．下列哪一组度数可以作为一个三角形的三个外角（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】D
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：A： ，不符合要求．
B： ，不符合要求．
C： ，不符合要求．
D： ，符合要求．
故答案为：D.
【分析】利用多边形的外角和为360°逐项分析判断即可.
6．已知为正整数，化简：（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：D.
【分析】利用将数据代入计算即可.
7．如图，在正五边形中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用正多边形的内角和求出∠A的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠ABE的度数即可.
8．有3张卡片，上面分别标记数字3，4，5，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵ 用数字，，任意摆成三位数，
∴所有等可能的结果为：，，，，，，共种．
又∵ 5的倍数的个位数字必须是，
∴符合条件的三位数为和，共种．
∴ 摆出的三位数是的倍数的概率为．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
9．计算：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：A.
【分析】利用分式的减法的计算方法分析求解即可.
10．在标准的骰子上，相对面上的点数之和为．如图，四个骰子粘成一排，则整个表面上的点数之和最大是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：∵一个标准的骰子上，相对面上的点数之和为，
∴一个标准的骰子整个表面上的点数之和为，
∴四个标准的骰子分开时整个表面上的点数之和为，
∴如图，骰子粘成一排，不管哪一面粘合都减去点数，
要使整个表面上的点数之和最大需粘合的面最小点数，
∴整个表面上的点数之和最大是．
故答案为：C.
【分析】结合题干分析出要使整个表面上的点数之和最大需粘合的面最小点数，再列出算式求解即可.
11．如图，矩形内有3个边长为5的小正方形．小正方形的顶点均落在矩形的边上，其中顶点落在的中点处，则矩形的面积为（ ）
A．150 B．172 C．125 D．136
【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设，，
根据题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴矩形的面积：．
故答案为：A.
【分析】设，，先证出，再利用相似三角形的性质可得，，再求出，利用勾股定理求出，再把代入，求出，最后求出矩形的面积即可.
12．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的4个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂（ ）
A．6000个 B．6500个 C．7000个 D．7500个
【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点和点，
∴横坐标差的绝对值为，纵坐标差的绝对值为，
∵的最大公约数为1000，
∴要涂（个）．
故答案为：C.
【分析】先求出横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值，再结合的最大公约数为1000，最后求解即可.
13．计算： =　 　．
【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵23=8
∴ =2
故答案为：2．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
14．如图，的对角线、相交于点，，且，则　 　．
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线、相交于点
∴，即
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：6.
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BC的长即可.
15．如图，甲、乙、丙三根木条紧靠摆放，乙木条最长．乙有一部分与甲重叠，一部分与丙重叠，还剩没有重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为，丙没有与乙重叠的部分的长度为．若甲的长度为，甲、乙的长度差为，则丙的长度为　 　（结果用含的式子表示）．
【答案】
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵甲的长度为，甲没有与乙重叠的部分的长度为，
∴甲与乙重叠的部分的长度为．
∵甲、乙的长度差为，
∴乙的长度为，
∴乙与丙重叠的部分的长度为，
∴丙的长度为．
故答案为：b+2.
【分析】先求出甲与乙重叠的部分的长度为，结合甲、乙的长度差为，求出乙的长，再结合乙与丙重叠的部分的长度为，最后求出丙的长即可.
16．如图，半径为的扇形与地面相切，圆心角，点到地面的距离为，则点到地面的距离为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设切点为点，连接，过点作垂直地面于点，过点作于点，过点作于点，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到地面的距离为．
故答案为：.
【分析】设切点为点，连接，过点作垂直地面于点，过点作于点，过点作于点，先求出，可得，再结合，利用解直角三角形的方法求出OG的长，最后利用线段的和差求出CG的长，从而得解.
17．已知的2倍与2的和为．
（1）用含的式子表示；
（2）若不小于0，求的取值范围，并判断是否在该解集内．
【答案】（1）解：∵的2倍与2的和为，
∴.
（2）解：∵不小于0，
∴，
解得：，
可知不在该解集内．
【知识点】解一元一次不等式；列一元一次不等式；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）利用“不小于0 ”列出不等式求出x的取值范围，再求解即可.
（1）解：∵的2倍与2的和为
∴；
（2）解：∵不小于0，
∴，
解得：，
可知不在该解集内．
18．如图，线段、相交于点，且互相平分．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）证明：∵线段、相交于点O，且互相平分，
，，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用“SAS”直接证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，即可证出.
（1）略
（2）略
19．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重年龄．
（1）求年龄为14岁的少年儿童的标准体重：
（2）若夕夕年前与现在的体重相差（两年的体重均为标准体重），用列方程的方法求．
【答案】（1）解：，
答：年龄为14岁的少年儿童的标准体重为．
（2）解：设现在的年龄为，则年前的年龄为，
，
解得，
答：x的值为4．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题干中的计算公式直接将数据代入计算即可；
（2）设现在的年龄为，则年前的年龄为，利用“ 夕夕年前与现在的体重相差 ”列出方程求解即可.
（1）解：，
答：年龄为14岁的少年儿童的标准体重为．
（2）解：设现在的年龄为，则年前的年龄为，
，
解得，
答：x的值为4．
20．节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分．
甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表甲、乙两个家庭月用水量折线图
四月 五月 六月 平均数 方差
甲
乙
（1）求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图；
（2）求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小；
（3）甲家庭月份的用水量比月份的用水量下降（），恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值．
【答案】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨，
由题意得， ，
解得，
∴乙家庭四月份的用水量为吨，
（2）解：，
∵，
∴，
∴乙家庭的月用水量波动小.
（3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，，
∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为，
由题意得， ，
解得：．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）设乙家庭四月份的用水量为吨，再利用平均数的公式列出方程求解并作出图形即可；
（2）先利用方差的定义及计算方法求解，再利用方差的性质分析求解即可；
（3）利用中位数的定义列出方程 ，再求解即可.
（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨，
由题意得， ，
解得，
∴乙家庭四月份的用水量为吨，
图略；
（2）解：，
∵，
∴，
∴乙家庭的月用水量波动小；
（3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，，
∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为，
由题意得， ，
解得．
21．嘉嘉是一家蛋糕店的销售员工，工资底薪3000元，另加销售提成，一个月工作25天．售出一份款蛋糕提成2元，售出一份款蛋糕提成2.5元，每天两款蛋糕共做20份且数量相差不超过4份，均售完．设嘉嘉的5月工资总额为，每天售出款蛋糕均为份．
（1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）“淇淇说：嘉嘉5月工资能达到4125元及以上．”你同意淇淇的说法吗？如果同意，如何分配两款蛋糕的数量比；如果不同意，请说明理由．
【答案】（1）解：∵每天两款蛋糕共做20份，
∴每天售出B款蛋糕均为份，
∵工资底薪3000元，另加销售提成，一个月工作25天，售出一份款蛋糕提成2元，售出一份款蛋糕提成2.5元，
∴，
∵数量相差不超过4份，
∴，
解得：
解得：
∴，且为整数.
（2）解：由题得，，
解得，
在（1）的范围内，即同意淇淇的说法；
此时，
则数量比如下：
每天做A款蛋糕8份，B款蛋糕12份，数量比为；
或每天做A款蛋糕9份，B款蛋糕11份，数量比为；
或每天做A款蛋糕10份，B款蛋糕10份，数量比为．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用“工资总额=A款蛋糕的金额+B款蛋糕的金额”列出函数解析式，再结合“ 数量相差不超过4份 ”列出不等式组求出x的取值范围即可；
（2）利用（1）的范围求出所有的情况，再求解即可.
（1）解：∵每天两款蛋糕共做20份，
∴每天售出B款蛋糕均为份，
∵工资底薪3000元，另加销售提成，一个月工作25天，售出一份款蛋糕提成2元，售出一份款蛋糕提成2.5元，
∴，
∵数量相差不超过4份，
∴，
解得：
解得：
∴，且为整数；
（2）解：由题得，，
解得，
在（1）的范围内，即同意淇淇的说法；
此时，
则数量比如下：
每天做A款蛋糕8份，B款蛋糕12份，数量比为；
或每天做A款蛋糕9份，B款蛋糕11份，数量比为；
或每天做A款蛋糕10份，B款蛋糕10份，数量比为．
22．如图，在菱形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿折线运动至点停止，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设点在该折线上运动的路径为．
（1）求菱形的面积；
（2）当点与点重合时，求的度数；
（3）当点到的距离为时，求的值．
【答案】（1）解：如图1，过点作，
在中，，
∴菱形的面积为：．
（2）解：如图：
∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
为等腰直角三角形，
，
．
（3）解：如图3，当点P在上时，延长交于点M，则．过点作，则四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
．
如图4，当点在上时，过点作，交于，交的延长线于，过点作，交于，则．
，
又，
，
，，
，
，
，由（2）可得：，
，，
在中，设，则，，解得，
，
．
综上所述，x的值为5或13．
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；四边形的综合；分类讨论
【解析】【分析】（1）过点作，先利用解直角三角形的方法求出DE的长，再利用菱形的面积公式求解即可；
（2）先利用线段的和差求出OC的长，再证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再证出为等腰直角三角形，可得∠OQP=45°，最后利用角的运算求出∠AQP的度数即可；
（3）分类讨论：①当点P在上时，延长交于点M，则．过点作，则四边形是矩形，②当点在上时，过点作，交于，交的延长线于，过点作，交于，则，先分别画出图形，再利用全等三角形的判断和性质以及线段的和差求解即可.
（1）解：如图1，过点作，
在中，，
∴菱形的面积为：．
（2）解：如图：∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
为等腰直角三角形，
，
．
（3）解：如图3，当点P在上时，延长交于点M，则．过点作，则四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
．
如图4，当点在上时，过点作，交于，交的延长线于，过点作，交于，则．
，
又，
，
，，
，
，
，由（2）可得：，
，，
在中，设，则，，解得，
，
．
综上所述，x的值为5或13．
23．如图，点与原点均在抛物线：的图象上，点与点关于原点对称，点与点到的对称轴的距离相等，且轴（点在点的左侧）．设点的横坐标为．
（1）求的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）证明：；
（3）当直线与有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）．
①若，求的取值范围；
②点在轴上，设点的横坐标为．若点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，直接写出的值．
【答案】（1）解：将原点代入，
得，
解得，
因此抛物线的解析式为（或），顶点坐标为．
（2）证明：已知点横坐标为，则． 与关于原点对称，故；
抛物线对称轴为，点与到对称轴距离相等，因此．
因，故，
∴；
轴，在左侧，故长度为横坐标差：
．
（3）①∵直线的解析式为 ，联立抛物线方程，
得，
设方程两根为，
由韦达定理得：．
∴．
∵，由（2）知，，
∴，
解得或，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴，
∴，
∴，
∵又，
∴，
综上得．
②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（3）②连接，
∵点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，或，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再直接求出顶点坐标即可；
（2）先设点A坐标为，根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标；由轴可得B点纵坐标与相同，再根据点B和点A到L的对称轴距离相等求出B点横坐标，最后计算横坐标差证明．
（3）①先写出直线的解析式，与抛物线解析式联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系求出的长度表达式，结合；②连接，由点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，得，
得，四边形是平行四边形，得，得，得，解得．
（1）解：将原点代入，
得，
解得，
因此抛物线的解析式为（或），顶点坐标为．
（2）证明：已知点横坐标为，则．
与关于原点对称，故；
抛物线对称轴为，点与到对称轴距离相等，因此．
因，故，
∴；
轴，在左侧，故长度为横坐标差：
．
（3）解：①∵直线的解析式为 ，
联立抛物线方程，
得，
设方程两根为，
由韦达定理得：．
∴．
∵，由（2）知，，
∴，
解得或，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴，
∴，
∴，
∵又，
∴，
综上得．
②连接，
∵点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，或，
∵，
∴．
24．如图，在梯形中，，，，，作过，，三点的，设的半径为．
（1）利用尺规作图补全图；
（2）如图，当与边所在直线相切时，求的值；
（3）当时，求的长；
（4）直接写出点与圆心距离的最小值．
【答案】（1）解：如图所求， 即为所求；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，
解得：.
（3）解：如图，连接，过作于，于，于，
在四边形中，∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长.
（4）
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【解答】解：（1）分别作的垂直平分线，相交于点，再点为圆心、的长为半径画圆，则即为所求；
（4）由（）知，，
当圆心是的中点时，可知点与圆心的距离最小，最小值为．
故答案为：．
【分析】（）分别作的垂直平分线，相交于点，再点为圆心、的长为半径画圆，则即为所求；
（）连接，过点作于点，可证点三点共线，进而推出四边形是矩形，得到，，即得，再利用勾股定理解答即可求解；
（）连接，过作于，于，于，可得，即得，得到，再求出的长即可求解；
（）当圆心是的中点时，可知点与圆心的距离最小，据此解答即可求解．
（1）略
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，
解得；
（3）解：如图，连接，过作于，于，于，
在四边形中，∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长；
（4）解：由（）知，，
当圆心是的中点时，可知点与圆心的距离最小，最小值为．
1 / 12026年河北省唐山市滦州市中考二模数学试题
1．如图，上午，时针与分针的夹角是（　　）
A． B． C． D．
2．能被6整除的数是（　　）
A．222 B．333 C．777 D．999
3．图中几何体是由6个相同的小正方体搭成的，小正方体的棱长为，则左视图的面积为（　　）
A． B． C． D．
4．若多项式是一个完全平方式，则不可能是（ ）．
A． B． C．3 D．
5．下列哪一组度数可以作为一个三角形的三个外角（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
6．已知为正整数，化简：（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在正五边形中，的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．有3张卡片，上面分别标记数字3，4，5，将这三张卡片任意摆成一个三位数，摆出的三位数是5的倍数的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．计算：（ ）
A． B． C． D．
10．在标准的骰子上，相对面上的点数之和为．如图，四个骰子粘成一排，则整个表面上的点数之和最大是（ ）
A． B． C． D．
11．如图，矩形内有3个边长为5的小正方形．小正方形的顶点均落在矩形的边上，其中顶点落在的中点处，则矩形的面积为（ ）
A．150 B．172 C．125 D．136
12．如图，在网格中画一条线段，连接点和点，然后为内部与该线段相交的4个小方格涂色，若连接点和点，并为内部与该线段相交的小方格涂色，要涂（ ）
A．6000个 B．6500个 C．7000个 D．7500个
13．计算： =　 　．
14．如图，的对角线、相交于点，，且，则　 　．
15．如图，甲、乙、丙三根木条紧靠摆放，乙木条最长．乙有一部分与甲重叠，一部分与丙重叠，还剩没有重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为，丙没有与乙重叠的部分的长度为．若甲的长度为，甲、乙的长度差为，则丙的长度为　 　（结果用含的式子表示）．
16．如图，半径为的扇形与地面相切，圆心角，点到地面的距离为，则点到地面的距离为　 　．
17．已知的2倍与2的和为．
（1）用含的式子表示；
（2）若不小于0，求的取值范围，并判断是否在该解集内．
18．如图，线段、相交于点，且互相平分．
（1）求证：；
（2）求证：．
19．一种少年儿童的标准体重（单位：）的计算方式为：标准体重年龄．
（1）求年龄为14岁的少年儿童的标准体重：
（2）若夕夕年前与现在的体重相差（两年的体重均为标准体重），用列方程的方法求．
20．节约用水已成为大家的共识．某兴趣小组收集了甲，乙两个家庭第二季度的月用水量（单位：吨），绘制成了如下统计表和不完整的折线图，其中统计表被墨迹遮盖了一部分．
甲、乙两个家庭月用水量数据及分析统计表甲、乙两个家庭月用水量折线图
四月 五月 六月 平均数 方差
甲
乙
（1）求乙家庭四月份的用水量，并补全折线图；
（2）求乙家庭第二季度月用水量的方差，请你评价哪个家庭的月用水量波动小；
（3）甲家庭月份的用水量比月份的用水量下降（），恰好等于乙家庭第二季度月用水量的中位数，求的值．
21．嘉嘉是一家蛋糕店的销售员工，工资底薪3000元，另加销售提成，一个月工作25天．售出一份款蛋糕提成2元，售出一份款蛋糕提成2.5元，每天两款蛋糕共做20份且数量相差不超过4份，均售完．设嘉嘉的5月工资总额为，每天售出款蛋糕均为份．
（1）求与的函数关系式，并直接写出的取值范围；
（2）“淇淇说：嘉嘉5月工资能达到4125元及以上．”你同意淇淇的说法吗？如果同意，如何分配两款蛋糕的数量比；如果不同意，请说明理由．
22．如图，在菱形中，，，点在边上，且．动点从点出发，沿折线运动至点停止，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设点在该折线上运动的路径为．
（1）求菱形的面积；
（2）当点与点重合时，求的度数；
（3）当点到的距离为时，求的值．
23．如图，点与原点均在抛物线：的图象上，点与点关于原点对称，点与点到的对称轴的距离相等，且轴（点在点的左侧）．设点的横坐标为．
（1）求的解析式，并直接写出顶点坐标；
（2）证明：；
（3）当直线与有两个公共点时，设这两个点分别为、（点在点左侧）．
①若，求的取值范围；
②点在轴上，设点的横坐标为．若点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，直接写出的值．
24．如图，在梯形中，，，，，作过，，三点的，设的半径为．
（1）利用尺规作图补全图；
（2）如图，当与边所在直线相切时，求的值；
（3）当时，求的长；
（4）直接写出点与圆心距离的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】钟面角
【解析】【解答】解：上午时，时针和分针间隔3个大格，每个大格是，
所以时针和分针的夹角为．
故选：B．
【分析】利用钟面角的计算方法（分针每分钟转了6°，时针每分钟转了0.5°）并结合图形列出算式求解即可.
2．【答案】A
【知识点】有理数的除法法则；数的整除性
【解析】【解答】解：∵，2和3互质，
∴能被6整除的数需同时被2和3整除．
根据能被2整除的数的特征，个位为偶数才能被2整除．
选项中只有A选项222的个位是偶数，B，C，D的个位均为奇数，都不能被2整除，因此排除B，C，D．
∵222各位数字和为，6是3的倍数，
∴222能被3整除．
因此222同时满足被2和3整除，即能被6整除．
故答案为：A.
【分析】利用整除的定义及计算方法逐项分析判断即可.
3．【答案】B
【知识点】已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：∵小正方体的棱长为，
∴小正方体的面积为，
由图可知左视图能看到个小正方体，
∴左视图的面积为．
故答案为：B.
【分析】先判断出几何体的三视图，再利用面积公式求解即可.
4．【答案】D
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：对选项A： ，
∵原式，
∴是完全平方式，A不符合要求；
对选项B：，
∵原式，
∴是完全平方式，B不符合要求；
对选项C：，
∵原式，
∴是完全平方式，C不符合要求；
对选项D：，
∵原式，
若该式是完全平方式，常数项应为，，
∴无法写成整式平方的形式，
∴不是完全平方式，D符合要求．
故答案为：D.
【分析】利用完全平方式的特征将各选项分别代入计算并判断即可.
5．【答案】D
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：A： ，不符合要求．
B： ，不符合要求．
C： ，不符合要求．
D： ，符合要求．
故答案为：D.
【分析】利用多边形的外角和为360°逐项分析判断即可.
6．【答案】D
【知识点】幂的乘方的逆运算
【解析】【解答】解：∵，
∴．
故答案为：D.
【分析】利用将数据代入计算即可.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵是正五边形，
∴，，
∴．
故答案为：B.
【分析】先利用正多边形的内角和求出∠A的度数，再利用等腰三角形的内角和求出∠ABE的度数即可.
8．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：∵ 用数字，，任意摆成三位数，
∴所有等可能的结果为：，，，，，，共种．
又∵ 5的倍数的个位数字必须是，
∴符合条件的三位数为和，共种．
∴ 摆出的三位数是的倍数的概率为．
故答案为：C.
【分析】先求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
9．【答案】A
【知识点】分式的加减法
【解析】【解答】解：原式．
故答案为：A.
【分析】利用分式的减法的计算方法分析求解即可.
10．【答案】C
【知识点】含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：∵一个标准的骰子上，相对面上的点数之和为，
∴一个标准的骰子整个表面上的点数之和为，
∴四个标准的骰子分开时整个表面上的点数之和为，
∴如图，骰子粘成一排，不管哪一面粘合都减去点数，
要使整个表面上的点数之和最大需粘合的面最小点数，
∴整个表面上的点数之和最大是．
故答案为：C.
【分析】结合题干分析出要使整个表面上的点数之和最大需粘合的面最小点数，再列出算式求解即可.
11．【答案】A
【知识点】矩形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，设，，
根据题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∵是中点，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
把代入，得：，
∴，
∴矩形的面积：．
故答案为：A.
【分析】设，，先证出，再利用相似三角形的性质可得，，再求出，利用勾股定理求出，再把代入，求出，最后求出矩形的面积即可.
12．【答案】C
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点和点，
∴横坐标差的绝对值为，纵坐标差的绝对值为，
∵的最大公约数为1000，
∴要涂（个）．
故答案为：C.
【分析】先求出横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值，再结合的最大公约数为1000，最后求解即可.
13．【答案】2
【知识点】立方根及开立方
【解析】【解答】解：∵23=8
∴ =2
故答案为：2．
【分析】根据立方根的定义即可求解．
14．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵的对角线、相交于点
∴，即
∵
∴
∴
∴
∴．
故答案为：6.
【分析】先证出，再利用相似三角形的性质可得，最后将数据代入求出BC的长即可.
15．【答案】
【知识点】整式的加减运算；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：∵甲的长度为，甲没有与乙重叠的部分的长度为，
∴甲与乙重叠的部分的长度为．
∵甲、乙的长度差为，
∴乙的长度为，
∴乙与丙重叠的部分的长度为，
∴丙的长度为．
故答案为：b+2.
【分析】先求出甲与乙重叠的部分的长度为，结合甲、乙的长度差为，求出乙的长，再结合乙与丙重叠的部分的长度为，最后求出丙的长即可.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：设切点为点，连接，过点作垂直地面于点，过点作于点，过点作于点，
则，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点到地面的距离为．
故答案为：.
【分析】设切点为点，连接，过点作垂直地面于点，过点作于点，过点作于点，先求出，可得，再结合，利用解直角三角形的方法求出OG的长，最后利用线段的和差求出CG的长，从而得解.
17．【答案】（1）解：∵的2倍与2的和为，
∴.
（2）解：∵不小于0，
∴，
解得：，
可知不在该解集内．
【知识点】解一元一次不等式；列一元一次不等式；用代数式表示和差倍分的数量关系
【解析】【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；
（2）利用“不小于0 ”列出不等式求出x的取值范围，再求解即可.
（1）解：∵的2倍与2的和为
∴；
（2）解：∵不小于0，
∴，
解得：，
可知不在该解集内．
18．【答案】（1）证明：∵线段、相交于点O，且互相平分，
，，，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS；对顶角及其性质；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】（1）利用“SAS”直接证出即可；
（2）利用全等三角形的性质可得，即可证出.
（1）略
（2）略
19．【答案】（1）解：，
答：年龄为14岁的少年儿童的标准体重为．
（2）解：设现在的年龄为，则年前的年龄为，
，
解得，
答：x的值为4．
【知识点】一元一次方程的其他应用；有理数混合运算的实际应用
【解析】【分析】（1）根据题干中的计算公式直接将数据代入计算即可；
（2）设现在的年龄为，则年前的年龄为，利用“ 夕夕年前与现在的体重相差 ”列出方程求解即可.
（1）解：，
答：年龄为14岁的少年儿童的标准体重为．
（2）解：设现在的年龄为，则年前的年龄为，
，
解得，
答：x的值为4．
20．【答案】（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨，
由题意得， ，
解得，
∴乙家庭四月份的用水量为吨，
（2）解：，
∵，
∴，
∴乙家庭的月用水量波动小.
（3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，，
∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为，
由题意得， ，
解得：．
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数；方差
【解析】【分析】（1）设乙家庭四月份的用水量为吨，再利用平均数的公式列出方程求解并作出图形即可；
（2）先利用方差的定义及计算方法求解，再利用方差的性质分析求解即可；
（3）利用中位数的定义列出方程 ，再求解即可.
（1）解：设乙家庭四月份的用水量为吨，
由题意得， ，
解得，
∴乙家庭四月份的用水量为吨，
图略；
（2）解：，
∵，
∴，
∴乙家庭的月用水量波动小；
（3）解：乙家庭第二季度月用水量分别为，，，由小到大排列为，，，
∴乙家庭第二季度月用水量的中位数为，
由题意得， ，
解得．
21．【答案】（1）解：∵每天两款蛋糕共做20份，
∴每天售出B款蛋糕均为份，
∵工资底薪3000元，另加销售提成，一个月工作25天，售出一份款蛋糕提成2元，售出一份款蛋糕提成2.5元，
∴，
∵数量相差不超过4份，
∴，
解得：
解得：
∴，且为整数.
（2）解：由题得，，
解得，
在（1）的范围内，即同意淇淇的说法；
此时，
则数量比如下：
每天做A款蛋糕8份，B款蛋糕12份，数量比为；
或每天做A款蛋糕9份，B款蛋糕11份，数量比为；
或每天做A款蛋糕10份，B款蛋糕10份，数量比为．
【知识点】一元一次不等式的应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）利用“工资总额=A款蛋糕的金额+B款蛋糕的金额”列出函数解析式，再结合“ 数量相差不超过4份 ”列出不等式组求出x的取值范围即可；
（2）利用（1）的范围求出所有的情况，再求解即可.
（1）解：∵每天两款蛋糕共做20份，
∴每天售出B款蛋糕均为份，
∵工资底薪3000元，另加销售提成，一个月工作25天，售出一份款蛋糕提成2元，售出一份款蛋糕提成2.5元，
∴，
∵数量相差不超过4份，
∴，
解得：
解得：
∴，且为整数；
（2）解：由题得，，
解得，
在（1）的范围内，即同意淇淇的说法；
此时，
则数量比如下：
每天做A款蛋糕8份，B款蛋糕12份，数量比为；
或每天做A款蛋糕9份，B款蛋糕11份，数量比为；
或每天做A款蛋糕10份，B款蛋糕10份，数量比为．
22．【答案】（1）解：如图1，过点作，
在中，，
∴菱形的面积为：．
（2）解：如图：
∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
为等腰直角三角形，
，
．
（3）解：如图3，当点P在上时，延长交于点M，则．过点作，则四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
．
如图4，当点在上时，过点作，交于，交的延长线于，过点作，交于，则．
，
又，
，
，，
，
，
，由（2）可得：，
，，
在中，设，则，，解得，
，
．
综上所述，x的值为5或13．
【知识点】菱形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形；四边形的综合；分类讨论
【解析】【分析】（1）过点作，先利用解直角三角形的方法求出DE的长，再利用菱形的面积公式求解即可；
（2）先利用线段的和差求出OC的长，再证出四边形是矩形，利用矩形的性质可得，再证出为等腰直角三角形，可得∠OQP=45°，最后利用角的运算求出∠AQP的度数即可；
（3）分类讨论：①当点P在上时，延长交于点M，则．过点作，则四边形是矩形，②当点在上时，过点作，交于，交的延长线于，过点作，交于，则，先分别画出图形，再利用全等三角形的判断和性质以及线段的和差求解即可.
（1）解：如图1，过点作，
在中，，
∴菱形的面积为：．
（2）解：如图：∵在菱形中，，
∴，，
∵，
∴，
∵将线段绕点顺时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
为等腰直角三角形，
，
．
（3）解：如图3，当点P在上时，延长交于点M，则．过点作，则四边形是矩形，
∴，
，
，
，
，
，
．
如图4，当点在上时，过点作，交于，交的延长线于，过点作，交于，则．
，
又，
，
，，
，
，
，由（2）可得：，
，，
在中，设，则，，解得，
，
．
综上所述，x的值为5或13．
23．【答案】（1）解：将原点代入，
得，
解得，
因此抛物线的解析式为（或），顶点坐标为．
（2）证明：已知点横坐标为，则． 与关于原点对称，故；
抛物线对称轴为，点与到对称轴距离相等，因此．
因，故，
∴；
轴，在左侧，故长度为横坐标差：
．
（3）①∵直线的解析式为 ，联立抛物线方程，
得，
设方程两根为，
由韦达定理得：．
∴．
∵，由（2）知，，
∴，
解得或，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴，
∴，
∴，
∵又，
∴，
综上得．
②
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；中心对称的性质
【解析】【解答】解：（3）②连接，
∵点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，或，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式，再直接求出顶点坐标即可；
（2）先设点A坐标为，根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标；由轴可得B点纵坐标与相同，再根据点B和点A到L的对称轴距离相等求出B点横坐标，最后计算横坐标差证明．
（3）①先写出直线的解析式，与抛物线解析式联立得到一元二次方程，利用根与系数的关系求出的长度表达式，结合；②连接，由点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，得，
得，四边形是平行四边形，得，得，得，解得．
（1）解：将原点代入，
得，
解得，
因此抛物线的解析式为（或），顶点坐标为．
（2）证明：已知点横坐标为，则．
与关于原点对称，故；
抛物线对称轴为，点与到对称轴距离相等，因此．
因，故，
∴；
轴，在左侧，故长度为横坐标差：
．
（3）解：①∵直线的解析式为 ，
联立抛物线方程，
得，
设方程两根为，
由韦达定理得：．
∴．
∵，由（2）知，，
∴，
解得或，
∵直线与抛物线有两个交点，
∴，
∴，
∴，
∵又，
∴，
综上得．
②连接，
∵点与点到直线的距离相等，且点与点到直线的距离也相等，
∴，
∴，
∴，
∵轴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，或，
∵，
∴．
24．【答案】（1）解：如图所求， 即为所求；
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，
解得：.
（3）解：如图，连接，过作于，于，于，
在四边形中，∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长.
（4）
【知识点】三角形的外接圆与外心；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【解答】解：（1）分别作的垂直平分线，相交于点，再点为圆心、的长为半径画圆，则即为所求；
（4）由（）知，，
当圆心是的中点时，可知点与圆心的距离最小，最小值为．
故答案为：．
【分析】（）分别作的垂直平分线，相交于点，再点为圆心、的长为半径画圆，则即为所求；
（）连接，过点作于点，可证点三点共线，进而推出四边形是矩形，得到，，即得，再利用勾股定理解答即可求解；
（）连接，过作于，于，于，可得，即得，得到，再求出的长即可求解；
（）当圆心是的中点时，可知点与圆心的距离最小，据此解答即可求解．
（1）略
（2）解：如图，连接，过点作于点，
∵与相切，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴点三点共线，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
在中，∵，
∴，
解得；
（3）解：如图，连接，过作于，于，于，
在四边形中，∵，，
∴，
∵，，
∴，
同理可得，
∴，
∵，，
∴，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴，
∴的长；
（4）解：由（）知，，
当圆心是的中点时，可知点与圆心的距离最小，最小值为．
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