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深圳市宝安中学（集团）初中部2026年初三数学中考三模试卷
1．如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 它的主视图是 ：
故答案为：A
【分析】根据主视图的定义可得出答案。
2．下列运算正确的是（　　）
A．ab-a=b B． C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；完全平方式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： ab-a=a（b-1），所以A不正确；
B：2，所以B不正确；
C：，所以C正确；
D：，所以D不正确。
故答案为：C，
【分析】根据提公因式因式分解，可得出A不正确；根据单项式乘单项式法则可得出B不正确；根据积的乘方及幂的乘方可得出C正确；根据完全平方公式可得出D不正确。
3．如图为小颗在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为（　　）
A．22° B．32° C．35° D．122°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ CB∥OA，
∴∠CBO=∠AOB，
∵ ∠CBO=122°，
∴∠AOB=122°，
∵ ∠BON=90°，
∴ ∠AON=∠AOB-∠BON=122°-90°=32°。
故答案为：B。
【分析】首先根据平行线的性质得出∠CBO=∠AOB=122°，进而再根据两角的差，即可求得 ∠AON的度数 。
4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后.任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，掞到红球的频率稳定在0.5附近.那么可以估算出m的值为（　　）
A．20 B．15 C．12 D．8
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，得：，解得：m=8
故答案为：D
【分析】首先用频率去估计概率，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组
由①得：x＞-2，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为-2＜x≤2，
在数轴上表示，如图所示：
故答案为：A.
【分析】解不等式组求得解集，并在数轴上表示解集，即可得出答案。
6．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）
A． B．
C．x（76-2x）=672 D．x（76-x）=672
【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设栅栏AB的长为xm， 则AD=BC=，
根据题意，得：×x=672，
即 ：
故答案为：A.
【分析】 设栅栏AB的长为xm， 则AD=BC=，根据矩形面积为672m2，即可得出方程。
7．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”.若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A．n<-2 B．n≤2 C．n>2 D．n>-2
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；偶次方的非负性；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：=（x+2）2+2-n，=（x+m）2-m2-4m
∵无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，
∴2-n＞-m2-4m
整理为：（m+2）2-2-n＞0，
∵无论m取任何实数，（m+2）2总为非负数，
∴-2-n＞0，
解得 n<-2
故答案为：A。
【分析】首先把二次函数由一般式转化为顶点式，=（x+2）2+2-n，=（x+m）2-m2-4m，进而根据“仰顶函数”的定义，可得出2-n＞-m2-4m，整理为（m+2）2-2-n＞0，进而根据（m+2）2的非负性，即可得出-2-n＞0，解得n<-2。
8．已知四边形ABCD中，AB=2，∠ADC=150°，连接对角线AC，BD，若=90°，且BD平分∠ABC，则BD的长为（　　）
A． B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，BC===4，
由三角函数可知，sin∠BCA=
即∠BCA=30°，
∴∠ABC=90°-∠BCA=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
设∠CAD=a，则∠BAD=90°+a，
∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=60°-a，
∵∠ADC=150°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°+a，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=30°-a，
∴∠ABD=∠DBC=30°，∠BAD=∠BDC=90°+a，
∴AABD～△DBC，
∴
即BD2=AB·BC=8，
BD=.
故答案为：D.
【分析】 首先通过解直角三角形可得出BC=4，∠BCA=30°，∠ABC=60°，再根据角平分线的定义，可得出∠ABD=∠DBC=30°，设∠CAD=a，则∠BAD=90°+a，从而根据角度计算可得出∠ABD=∠DBC=30°，∠BAD=∠BDC=90°+a，进而△ABD～△DBC，可得出，通过计算即可得出BD=.
9．在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点 P 的坐标　 　.
【答案】(-5，2)(答案不唯一)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5
∴点P的坐标可以为(-5，2)
故答案为：(-5，2)
【分析】根据点的坐标即可求出答案.
10．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，因此每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
故答案为：.
【分析】先列举出所有结果，共有6种，而 每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配 的结果有2种，再根据概率公式：代入计算即可.
11．已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为　 　元.
【答案】2
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该快递员取一件快递的收益为x元，该天该快递员取快递的件数为a件，则该快递员送一件快递的收益为(x-1)元，该天该快递员送快递的件数为2a件，
根据题意得：ax=2a(x-1)，
即x = 2(x-1)，
解得： x= 2，
该快递员取一件快递的收益为2元.
故答案为：2.
【分析】设该快递员取一件快递的收益为x元，该天该快递员取快递的件数为a件，则该快递员送一件快递的收益为(x-1)元，该天该快递员送快递的件数为2a件，根据题意，可得方程ax=2a(x-1)，解方程即可求解。
12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长BA至C，使得点A是BC中点，过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E，连接BE，若△CBE的面积为32，则k=　 　。
【答案】6
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】设，则
∵A是BC的中点
∴
∵过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E
∴点E的横坐标为3a
∴
∴
∵△CBE的面积为32
∴
解得：k=6
故答案为：6
【分析】设，则，根据线段中点可得，由题意可得点E的横坐标为3a，则，根据两点间距离可得CE，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5.将绕AC的中点O逆时针旋转得到△A'B'C'，当A'B'经过点C时，BB'的长为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接AA'、OB、OB'，如图，
∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴ AC ==4，
∵O点为AC的中点，
∴OA=OC=2，
在Rt△OBC中，
∵BC=3，OC=2，
∴OB = =，
∵△ABC绕AC的中点O逆时针旋转α(0° <90°)得到△A'B'C'，
∴OA'=OA=2，OB=OB'，∠AOA'=∠BOB'，∠OAB=∠OA'C，
∵OC=OA'=2，
∴∠OA'C =∠OCA'，
∴∠OCA'=∠OAB，
∴ OA=OA'=OC，
.点A'在以AC为直径的圆上，
∴ ∠AA'C = 90°，
∴∠ACA’=∠BAC，
∴Rt△ACA'~Rt△BAC，
∴，
即，
解得：AA'=，
∵
即，
解得：BB'=
故答案为：
【分析】连接AA'、OB、OB'，首先根据勾股定理得出AC ==4，进而根据旋转的性质可得出OA=OC=2，进一步的出OB = =，然后通过证明Rt△ACA'~Rt△BAC，可得出，根据相似三角形的性质可得出BB'=。
14．计算
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先根据零整数指数幂，特殊锐角的三角函数，绝对值的性质以及负整数指数的性质进行化简，进而再进行实数的加减即可。
15．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题 1：计算： 解：原式 第 一步 第二步 第三步 习题 2：解方程： 解： 第一步 第二步 x-2=3第三步 x=5第四步
（1）解答过程中，习题 1从第　 　步开始出现错误，习题 2从第　 　步开始出现错误；
（2）任选其中一个习题写出正确的解答过程.
【答案】（1）二；三
（2）解：当选择习题 1时，
原式
当选择习题 2时，
（x+1)（x-5) =0，
则 x+1=0或 x-5=0，
所以 x1=-1， x2=5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据分式的减法，配方法解方程进行判断即可求出答案.
（2）习题1：根据分式的减法即可求出答案；
习题2：根据因式分解法解方程即可求出答案.
16．为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生参加科学竞赛.同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加.科学讲座”这一问题进行调查.
【收集数据】本次竞赛满分10分.已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据.
【整理数据】a、图为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图（如下）；
b.九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8.
　 平均数 众数 中位数
七年级 6 8 7
八年级 7 6、7、8 n
九年级 8 m 8
【分析数据】右上表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，，比较大小：　 　；
（3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座 ”这一问题的调查中.已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为32%，48%和75%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比.
【答案】（1）8；7
（2）>
（3）解：∵10÷5%=200人，
∴七八年级各200人，
58+5%=160人，
∴九年级160人，
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为50%.
【知识点】折线统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）解：(1)）：8出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是8，即m=8；
把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：4、5，6，6，7，7，8，8.9，10，
∴中位数是n=
故第1空答案为：8；第2空答案为：7；
（2）从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以 > ；
故答案为：>；
【分析】（1）分别根据众数，中位数的定义，即可得出答案；
（2）根据方差意义，根据折线图的波动情况，即可得出答案；
（3）首先求出各年级选择“非常原意”的学生，进而用选择“非常原意”的学生数除以各年级学生的总数，即可得出答案。
17．某校数学学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动.
【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具
【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图.测得该斜坡坡度i=1：2.4，BM段为水平路面，B点位置设有指示牌BP，它与地面垂直.
【活动过程】
活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米.
（1）求点B到水平线AZ的距离；
（2）活动2：如图②所示，当指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米.李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点.
求指示牌牌杆BQ的高度；
（3）活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米.李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合.李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点.
求指示牌BP的高度.
【答案】（1）解：如图，延长PB交斜坡底面水平线于点G，
由题意得∠AGB=90°，
∵该斜坡坡度i=1：2.4，
设BG=x米，则AG=2.4x米，
在RtABG中，AB=39米，
即
解得x=15（负值舍去），
即BG=15米，
答：斜坡AB的高度为15米
（2）解：过点B作BH⊥FQ于点H，延长PB交斜坡底面水平线于点G，
则∠BHF=90°，
由题意得FQBD，
∴四边形BHFD是矩形，
∴BH=DF=1.2米，
∵∠QBH+∠ABG=∠ABG+∠A=90°，
∴∠QBH=∠A，
由（1）知BG=15米，则AG=36米，
∴BQ=1.3米，
答：指示牌牌杆BQ的高度为1.3米
（3）解：作交DB延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，延长PB交斜坡底面水平线于点H，
则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形，
米，FD=CR=OQ=1.2米，
（米），
同理（1）得BH=15米，则.AH=36米，
∵∠ABH=∠PBO，∠O=∠H=90°，
∵EC⊥AB，PQ⊥AB
∴ER∥PQ
∴FER∽△FPQ，
∴
即50+2BO=15PO-18，
∴PO=4.8米，
∵∠ABH=∠PBO，∠O=∠H=90°，
∴BP=5.2米，
答：指示牌BP的高度为5.2米.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据坡度的定义，可得出进而设BG=x米，则AG=2.4x米，根据勾股定理，即可得出解方程即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥FQ于点H，延长PB交斜坡底面水平线于点G，首先可判定四边形BHFD是矩形，进而通过解直角三角形即可得出答案；
（3）作交DB延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，延长PB交斜坡底面水平线于点H，首先得出四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形，进而通过证明△FER∽△FPQ，得出进而即可得出PO=4.8米。进而根据正切的定义，可得出即可得出BP=5.2米。
18．如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E=90°，AC=BC，连接AG.
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若求线段AE的长.
【答案】（1）证明：如图，连接OF.
∵OA=OF，
∴∠FAC=∠AFO.
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∴∠EAF=∠AFO，
∴OF∥AE.
∴∠OFC=∠E=90°，
∴OF⊥EC，
∴EC是O的切线.
（2）解：连接BG.
∵圆弧AG=圆弧BG，
∴AG=BG.
∵AB是圆O的直径，
∴∠AGB=90°，∠AFB=90°.
∵∠EAF=∠FAC，∠E=∠AFB，
∴△AEF∽△AFB.
∴AE=3.
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）如图，连接OF.首先证明OF∥AE.得出∠OFC=∠E=90°，根据切线的定义，即可得出结论；
（2）连接BG.首先证明△AEF∽△AFB.可得出进而得出AE=3.
19．实践与操作：如何制作简易风筝
【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节.
【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定.
【制作步骤】
步骤一骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，且AC>BD，AC与BD的和为80cm，四边形ABCD的面积为
（1）直接写出骨架的长度：AC=　 　cm，BD=　 　cm；
步骤二蒙面制作：若（1）中骨架满足AO：OC=1：2，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离.现把BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为4cm，2cm，2cm的三点E，F，G绘制抛物线.
（2）求过E，F，G三点的二次函数解析式；
步骤三蒙面取材：已知BD以下部分的蒙面设计为等腰△FHG，点H在OC延长线上且FH∥BC，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形FHG部分），如图3.小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，PM∥AB，PN∥AD.
（3）小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为多少平方厘米
【答案】（1）60；20
（2）解：∵AO：OC=1：2，AC=60cm，
∴AO=20cm，OC=40cm，
∴A（0，20），B（-10，0），D（10，0）.
∵过距离点A，点B，点D三点分别为4cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线，
∴E（0，24），F（-12，0），G（12，0），
设所求抛物线表达式为
把F（-12，0）代入得0=144a+24，解得
∴抛物线的函数表达式是
（3）解：∵FH∥BC，
即
∴OH=48cm，
设直线AB的解析式为y=mx+n，代入A（0，20），B（-10，0），
解得
∴直线AB的解析式为y=2x+20，
∵PM∥AB，
∴可知直线PM的解析式为y=2x+b，
∴P（0，b），
令
则
令
解得b=30，
∴P（0，30），
∴OP=30cm，直线PM的解析式为y=2x+30，
∴PH=OP+OH=78（cm），
令2x+30=0，解得x=-15，
∴M（-15，0），
即MN=30cm，
即筝形纸片PMHN面积至少为
答：小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为1170平方厘米.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）解：(1)设AC=xcm，则BD的长为(80-x)cm，
由题意得：(80-x）=600，
解得x1= 20，x2 = 60，
∵AC > BD，
∴AC=60cm，BD= 20cm，
故答案为：60，20；
【分析】（1）)设AC=xcm，则BD的长为(80-x)cm，根据 四边形ABCD的面积为可得出(80-x）=600，解方程即可得出答案；
（2）首先得出A（0，20），B（-10，0），D（10，0）.E（0，24），F（-12，0），G（12，0），进而利用待定系数法即可得出抛物线的函数表达式是；
（3）首先根据FH∥BC，可得出得出OH=48cm，进而利用待定系数法可得出直线AB的解析式为y=2x+20，再根据PM∥AB，可得出直线PM的解析式为y=2x+b，令根据根的判别式可得出b=30，可得直线PM的解析式为y=2x+30，令2x+30=0，解得x=-15，可得出MN=30cm，进而得出筝形纸片PMHN面积至少为
20．如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称，射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H。
（1）如图2，已知.点F恰好落在对角线AC上时，
①=　 　；
②若AD=4，则AE·AG=　 　；
（2）试猜想图1中∠G与有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知若点F恰好落在菱形ABCD的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请求出此时的值。
【答案】（1）45°；16
（2）解：猜想：
证明∵四边形ABCD是菱形，
∵点F与点B关于AE对称，
∴AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF.
设∠BAE=∠FAE=α，则∠BAF=2α，
在△DAF中，∠AFD=∠G+∠FAG，且∠DFA=∠ADF，
整理得：
（3）解：分三种情况如下：
情况1：点F落在直线BC上（对应），
∵四边形ABCD是菱形，设
由轴对称性质，AB=AF=5，
在△ABF中，作AH⊥BC于H，则BH=AB·cos∠ABC=3，AH=4，∴BF=2BH=6，CF=BF-BC=1，
∵AD∥BC，
∴ADE∽HBE，ADG∽HFG，
由相似比可得：
结合BF=BC+CF=5+CF，FC=1，解得
情况2：点F落在直线CD上（对应 ）
由轴对称性质，设AB=AF=AD=5，
作AP⊥CD于P，则DP=AD·cos∠ADC=3，AP=4，
∴DF=2DP=6，CF=DF-CD=1，
∵AB∥CD
∴∠G=∠BAH=∠FAG，
∴FG=FA=5，
∵ADBC，
∴ADE∽HBE，DAG∽△CHG，
又
解得
情况3：点F落在直线AB上
由轴对称性质，设AB=AF=5，AE⊥BF，F在BA延长线上，AF=5，结合菱形边长AD=5，可得F在A点上方，延长BH交FG于M，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BMF，△ADE∽△HBE，△HMG∽△ADG，
解得
综上，的值为或
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵ ∠ABC= 90°
∴菱形ABCD为正方形，AB=AD，∠ADB=45°
∵点F与点B关于AE对称
∴AB= AF，∠BAE=∠FAE
∴AF=AD
∴∠AFD=∠ADF
设∠BAE=∠FAE=α
∴∠DAF =90°-2α
∴∠AFD=∠ADF==45°十α
∵∠AFD是△AFG的外角
∴∠AFD = ∠FAG+ ∠G = α+ ∠G = 45°+α
∴∠G = 45°
故答案为：45°
②由①可知∠G=45°
∵∠ADB=45°
∴∠G= ∠ADB
∵∠DAE=∠GAD
∴
∴
∴AD2=AE·AG
∵AD=4
∴AE·AG =16
故答案为：16；
【分析】（1）①设∠BAE=∠FAE=α，可得出∠AFD=∠ADF==45°十α，进而根据三角形外角的性质即可得出∠G = 45°；②通过证明，可得出AD2=AE·AG，进而即可得出AE·AG =16；
（2）首先根据菱形的性质可得出再根据轴对称的性质，即可得出∠AFD=∠ADF.设∠BAE=∠FAE=α，则∠BAF=2α，进而整理为
（3）可三种情况如下：情况1：点F落在直线BC上（对应），通过证明△ADE∽△HBE，△ADG∽△HFG，可得出情况2：点F落在直线CD上（对应 ），通过证明△ADE∽△HBE，△DAG∽△CHG，可得出情况3：点F落在直线AB上，可得综上，的值为或
1 / 1深圳市宝安中学（集团）初中部2026年初三数学中考三模试卷
1．如图是某太空金属3D打印机打印的一个零件模型，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列运算正确的是（　　）
A．ab-a=b B． C． D．
3．如图为小颗在试鞋镜前的光路图，入射光线OA经平面镜后反射入眼，若CB∥OA，∠CBO=122°，∠BON=90°，则入射角∠AON的度数为（　　）
A．22° B．32° C．35° D．122°
4．在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后.任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，掞到红球的频率稳定在0.5附近.那么可以估算出m的值为（　　）
A．20 B．15 C．12 D．8
5．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
6．如图所示，在一边靠墙（墙足够长）空地上，修建一个面积为672m2的矩形临时仓库，仓库一边靠墙，另三边用总长为76m的栅栏围成，若设栅栏AB的长为xm，则下列各方程中，符合题意的是（　　）
A． B．
C．x（76-2x）=672 D．x（76-x）=672
7．新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数“仰顶函数”.若无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围（　　）
A．n<-2 B．n≤2 C．n>2 D．n>-2
8．已知四边形ABCD中，AB=2，∠ADC=150°，连接对角线AC，BD，若=90°，且BD平分∠ABC，则BD的长为（　　）
A． B．3 C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，P是平面内一点，且点P到x轴、y轴的距离分别为2，5，请写出一个符合条件的点 P 的坐标　 　.
10．小莹在做手抄报时，用到了红色、黄色、蓝色三支彩笔，这三支彩笔的笔帽和笔芯颜色分别一致．完成手抄报后，她随机地将三个笔帽分别盖在三支彩笔上，每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是　 　．
11．已知快递员取一件快递的收益比送一件快递的收益多1元，某天该快递员送快递的件数是取快递件数的2倍，若送、取快递获益相同，则该快递员取一件快递的收益为　 　元.
12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长BA至C，使得点A是BC中点，过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E，连接BE，若△CBE的面积为32，则k=　 　。
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，AB=5.将绕AC的中点O逆时针旋转得到△A'B'C'，当A'B'经过点C时，BB'的长为　 　.
14．计算
15．在数学课上，老师展示两道习题的解答过程：
习题 1：计算： 解：原式 第 一步 第二步 第三步 习题 2：解方程： 解： 第一步 第二步 x-2=3第三步 x=5第四步
（1）解答过程中，习题 1从第　 　步开始出现错误，习题 2从第　 　步开始出现错误；
（2）任选其中一个习题写出正确的解答过程.
16．为“提升青少年科学素养，夯实科技强国之基”，某初中分别在七、八、九年级中随机抽取5%的学生参加科学竞赛.同时对全体学生“是否愿意利用课余时间参加.科学讲座”这一问题进行调查.
【收集数据】本次竞赛满分10分.已收集到三个年级参加竞赛同学的成绩数据与三个年级全体学生的问卷调查数据.
【整理数据】a、图为七、八年级学生科学竞赛成绩折线统计图（如下）；
b.九年级学生科学竞赛成绩数据为：8，8，5，10，9，7，9，8.
　 平均数 众数 中位数
七年级 6 8 7
八年级 7 6、7、8 n
九年级 8 m 8
【分析数据】右上表为七、八、九年级所抽取学生参加科学竞赛成绩的平均数、众数、中位数；
【解决问题】
（1）m=　 　，n=　 　；
（2）设七、八年级学生科学竞赛成绩的方差分别是，，比较大小：　 　；
（3）在“是否愿意利用课余时间参加科学讲座 ”这一问题的调查中.已知七、八、九三个年级选择“非常愿意”的学生所占百分比分别为32%，48%和75%，求出该校全体学生中选择“非常愿意”的学生所占百分比.
17．某校数学学习小组以“利用斜坡观测实物高度”为主题分组开展综合与实践活动.
【活动准备】查找资料，准备好卷尺、标杆等测量工具
【活动地点】图①是该校附近斜坡的横断面示意图.测得该斜坡坡度i=1：2.4，BM段为水平路面，B点位置设有指示牌BP，它与地面垂直.
【活动过程】
活动1：如图①所示，学习小组测得斜坡AB长为39米.
（1）求点B到水平线AZ的距离；
（2）活动2：如图②所示，当指导老师李老师驾驶一辆小轿车在斜坡上点D处，他的眼睛到斜坡的距离FD为1.2米.李老师平视前方（视线与斜坡AB平行），他刚巧能观测到指示路牌的牌杆顶端Q点.
求指示牌牌杆BQ的高度；
（3）活动3：如图③，矩形ECKG为一辆大巴车的侧面示意图，CK长为10米，EC长为3.2米.李老师利用大巴车停在该斜坡上的机会再次进行观测，此时大巴车的前下端点K与点B重合.李老师发现当他位于D点与大巴车车尾C点相距15米时，他透过点E刚巧能看到指示路牌的顶端P点.
求指示牌BP的高度.
18．如图，已知AB是⊙O的直径，AF平分∠EAC，且∠E=90°，AC=BC，连接AG.
（1）求证：EC是⊙O的切线；
（2）若求线段AE的长.
19．实践与操作：如何制作简易风筝
【问题情境】风筝起源于中国东周春秋时期，至今已有2000多年的历史，某数学兴趣小组计划制作一个筝形风筝参加学校文化节.
【设计原理】筝形风筝由两条垂直的竹条骨架构成，其中较长的主骨架垂直平分较短的横骨架，这种结构易于保持平衡，飞行稳定.
【制作步骤】
步骤一骨架制作：如题1图是简易“筝形”风筝的骨架结构图，现以两条线段AC，BD作为骨架，且AC>BD，AC与BD的和为80cm，四边形ABCD的面积为
（1）直接写出骨架的长度：AC=　 　cm，BD=　 　cm；
步骤二蒙面制作：若（1）中骨架满足AO：OC=1：2，考虑到实际需要，蒙面（风筝面）边缘离骨架的端点要留出一定距离.现把BD以上部分的蒙面设计为抛物线形状，如题图2建立平面直角坐标系，过距离点A，点B，点D分别为4cm，2cm，2cm的三点E，F，G绘制抛物线.
（2）求过E，F，G三点的二次函数解析式；
步骤三蒙面取材：已知BD以下部分的蒙面设计为等腰△FHG，点H在OC延长线上且FH∥BC，如图2，经过思考与分析，小超同学先剪下一张筝形纸片来裁剪无拼接的风筝蒙面（包括BD以上抛物线部分及BD以下三角形FHG部分），如图3.小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN的对角线交点为O，其中P，M，N三点落在坐标轴上，PM∥AB，PN∥AD.
（3）小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为多少平方厘米
20．如图1，在菱形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F与点B关于AE对称，射线AE分别与直线DF、BC分别交于点G、H。
（1）如图2，已知.点F恰好落在对角线AC上时，
①=　 　；
②若AD=4，则AE·AG=　 　；
（2）试猜想图1中∠G与有怎样的数量关系，并说明理由；
（3）如图3，已知若点F恰好落在菱形ABCD的某条边所在的直线上（不与顶点重合），请求出此时的值。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 它的主视图是 ：
故答案为：A
【分析】根据主视图的定义可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；完全平方公式及运用；完全平方式；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A： ab-a=a（b-1），所以A不正确；
B：2，所以B不正确；
C：，所以C正确；
D：，所以D不正确。
故答案为：C，
【分析】根据提公因式因式分解，可得出A不正确；根据单项式乘单项式法则可得出B不正确；根据积的乘方及幂的乘方可得出C正确；根据完全平方公式可得出D不正确。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵ CB∥OA，
∴∠CBO=∠AOB，
∵ ∠CBO=122°，
∴∠AOB=122°，
∵ ∠BON=90°，
∴ ∠AON=∠AOB-∠BON=122°-90°=32°。
故答案为：B。
【分析】首先根据平行线的性质得出∠CBO=∠AOB=122°，进而再根据两角的差，即可求得 ∠AON的度数 。
4．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率；概率公式
【解析】【解答】解：根据题意，得：，解得：m=8
故答案为：D
【分析】首先用频率去估计概率，进而根据概率计算公式，即可得出答案。
5．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式组
由①得：x＞-2，
由②得：x≤2，
所以不等式组的解集为-2＜x≤2，
在数轴上表示，如图所示：
故答案为：A.
【分析】解不等式组求得解集，并在数轴上表示解集，即可得出答案。
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；列一元二次方程
【解析】【解答】解： 设栅栏AB的长为xm， 则AD=BC=，
根据题意，得：×x=672，
即 ：
故答案为：A.
【分析】 设栅栏AB的长为xm， 则AD=BC=，根据矩形面积为672m2，即可得出方程。
7．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；偶次方的非负性；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：=（x+2）2+2-n，=（x+m）2-m2-4m
∵无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，
∴2-n＞-m2-4m
整理为：（m+2）2-2-n＞0，
∵无论m取任何实数，（m+2）2总为非负数，
∴-2-n＞0，
解得 n<-2
故答案为：A。
【分析】首先把二次函数由一般式转化为顶点式，=（x+2）2+2-n，=（x+m）2-m2-4m，进而根据“仰顶函数”的定义，可得出2-n＞-m2-4m，整理为（m+2）2-2-n＞0，进而根据（m+2）2的非负性，即可得出-2-n＞0，解得n<-2。
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；相似三角形的判定；解直角三角形；角平分线的概念；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，BC===4，
由三角函数可知，sin∠BCA=
即∠BCA=30°，
∴∠ABC=90°-∠BCA=60°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=30°，
设∠CAD=a，则∠BAD=90°+a，
∴∠ADB=180°-∠ABD-∠BAD=60°-a，
∵∠ADC=150°，
∴∠BDC=∠ADC-∠ADB=90°+a，
∴∠ACD=180°-∠CAD-∠ADC=30°-a，
∴∠ABD=∠DBC=30°，∠BAD=∠BDC=90°+a，
∴AABD～△DBC，
∴
即BD2=AB·BC=8，
BD=.
故答案为：D.
【分析】 首先通过解直角三角形可得出BC=4，∠BCA=30°，∠ABC=60°，再根据角平分线的定义，可得出∠ABD=∠DBC=30°，设∠CAD=a，则∠BAD=90°+a，从而根据角度计算可得出∠ABD=∠DBC=30°，∠BAD=∠BDC=90°+a，进而△ABD～△DBC，可得出，通过计算即可得出BD=.
9．【答案】(-5，2)(答案不唯一)
【知识点】点的坐标
【解析】【解答】解：∵点P到x轴、y轴的距离分别为2，5
∴点P的坐标可以为(-5，2)
故答案为：(-5，2)
【分析】根据点的坐标即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：由题意可得：
共有6种结果：红红，黄黄，蓝蓝；红红，蓝黄，黄蓝；黄红，红黄，蓝蓝；黄红，蓝黄，红蓝；蓝红，红黄，黄蓝；蓝红，黄黄，红蓝；
其中每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的有2种结果，因此每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配的概率是
故答案为：.
【分析】先列举出所有结果，共有6种，而 每个笔帽和笔芯的颜色都不匹配 的结果有2种，再根据概率公式：代入计算即可.
11．【答案】2
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设该快递员取一件快递的收益为x元，该天该快递员取快递的件数为a件，则该快递员送一件快递的收益为(x-1)元，该天该快递员送快递的件数为2a件，
根据题意得：ax=2a(x-1)，
即x = 2(x-1)，
解得： x= 2，
该快递员取一件快递的收益为2元.
故答案为：2.
【分析】设该快递员取一件快递的收益为x元，该天该快递员取快递的件数为a件，则该快递员送一件快递的收益为(x-1)元，该天该快递员送快递的件数为2a件，根据题意，可得方程ax=2a(x-1)，解方程即可求解。
12．【答案】6
【知识点】三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】设，则
∵A是BC的中点
∴
∵过C作CD⊥x轴于D，CD交反比例函数第一象限图象于E
∴点E的横坐标为3a
∴
∴
∵△CBE的面积为32
∴
解得：k=6
故答案为：6
【分析】设，则，根据线段中点可得，由题意可得点E的横坐标为3a，则，根据两点间距离可得CE，再根据三角形面积建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定；旋转的性质；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：连接AA'、OB、OB'，如图，
∵∠ACB=90°，BC=3，AB=5，
∴ AC ==4，
∵O点为AC的中点，
∴OA=OC=2，
在Rt△OBC中，
∵BC=3，OC=2，
∴OB = =，
∵△ABC绕AC的中点O逆时针旋转α(0° <90°)得到△A'B'C'，
∴OA'=OA=2，OB=OB'，∠AOA'=∠BOB'，∠OAB=∠OA'C，
∵OC=OA'=2，
∴∠OA'C =∠OCA'，
∴∠OCA'=∠OAB，
∴ OA=OA'=OC，
.点A'在以AC为直径的圆上，
∴ ∠AA'C = 90°，
∴∠ACA’=∠BAC，
∴Rt△ACA'~Rt△BAC，
∴，
即，
解得：AA'=，
∵
即，
解得：BB'=
故答案为：
【分析】连接AA'、OB、OB'，首先根据勾股定理得出AC ==4，进而根据旋转的性质可得出OA=OC=2，进一步的出OB = =，然后通过证明Rt△ACA'~Rt△BAC，可得出，根据相似三角形的性质可得出BB'=。
14．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】首先根据零整数指数幂，特殊锐角的三角函数，绝对值的性质以及负整数指数的性质进行化简，进而再进行实数的加减即可。
15．【答案】（1）二；三
（2）解：当选择习题 1时，
原式
当选择习题 2时，
（x+1)（x-5) =0，
则 x+1=0或 x-5=0，
所以 x1=-1， x2=5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（1）根据分式的减法，配方法解方程进行判断即可求出答案.
（2）习题1：根据分式的减法即可求出答案；
习题2：根据因式分解法解方程即可求出答案.
16．【答案】（1）8；7
（2）>
（3）解：∵10÷5%=200人，
∴七八年级各200人，
58+5%=160人，
∴九年级160人，
∴该初中所有学生中选择“非常原意”的学生所占百分比为50%.
【知识点】折线统计图；中位数；方差；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）解：(1)）：8出现了3次，出现的次数最多，
∴众数是8，即m=8；
把8年级的学生科学竞赛成绩从小到大排列为：4、5，6，6，7，7，8，8.9，10，
∴中位数是n=
故第1空答案为：8；第2空答案为：7；
（2）从折线统计图可以看出，七年级科学竞赛成绩的波动幅度较大，故方差较大；八年级科学竞赛成绩波动幅度较小，故方差较小，所以 > ；
故答案为：>；
【分析】（1）分别根据众数，中位数的定义，即可得出答案；
（2）根据方差意义，根据折线图的波动情况，即可得出答案；
（3）首先求出各年级选择“非常原意”的学生，进而用选择“非常原意”的学生数除以各年级学生的总数，即可得出答案。
17．【答案】（1）解：如图，延长PB交斜坡底面水平线于点G，
由题意得∠AGB=90°，
∵该斜坡坡度i=1：2.4，
设BG=x米，则AG=2.4x米，
在RtABG中，AB=39米，
即
解得x=15（负值舍去），
即BG=15米，
答：斜坡AB的高度为15米
（2）解：过点B作BH⊥FQ于点H，延长PB交斜坡底面水平线于点G，
则∠BHF=90°，
由题意得FQBD，
∴四边形BHFD是矩形，
∴BH=DF=1.2米，
∵∠QBH+∠ABG=∠ABG+∠A=90°，
∴∠QBH=∠A，
由（1）知BG=15米，则AG=36米，
∴BQ=1.3米，
答：指示牌牌杆BQ的高度为1.3米
（3）解：作交DB延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，延长PB交斜坡底面水平线于点H，
则四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形，
米，FD=CR=OQ=1.2米，
（米），
同理（1）得BH=15米，则.AH=36米，
∵∠ABH=∠PBO，∠O=∠H=90°，
∵EC⊥AB，PQ⊥AB
∴ER∥PQ
∴FER∽△FPQ，
∴
即50+2BO=15PO-18，
∴PO=4.8米，
∵∠ABH=∠PBO，∠O=∠H=90°，
∴BP=5.2米，
答：指示牌BP的高度为5.2米.
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据坡度的定义，可得出进而设BG=x米，则AG=2.4x米，根据勾股定理，即可得出解方程即可得出答案；
（2）过点B作BH⊥FQ于点H，延长PB交斜坡底面水平线于点G，首先可判定四边形BHFD是矩形，进而通过解直角三角形即可得出答案；
（3）作交DB延长线于点O，作FQ⊥PO于点Q，交CE于点R，延长PB交斜坡底面水平线于点H，首先得出四边形CRQO为矩形，四边形FDCR为矩形，进而通过证明△FER∽△FPQ，得出进而即可得出PO=4.8米。进而根据正切的定义，可得出即可得出BP=5.2米。
18．【答案】（1）证明：如图，连接OF.
∵OA=OF，
∴∠FAC=∠AFO.
∵AF平分∠EAC，
∴∠EAF=∠FAC，
∴∠EAF=∠AFO，
∴OF∥AE.
∴∠OFC=∠E=90°，
∴OF⊥EC，
∴EC是O的切线.
（2）解：连接BG.
∵圆弧AG=圆弧BG，
∴AG=BG.
∵AB是圆O的直径，
∴∠AGB=90°，∠AFB=90°.
∵∠EAF=∠FAC，∠E=∠AFB，
∴△AEF∽△AFB.
∴AE=3.
【知识点】勾股定理；切线的判定；切线的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）如图，连接OF.首先证明OF∥AE.得出∠OFC=∠E=90°，根据切线的定义，即可得出结论；
（2）连接BG.首先证明△AEF∽△AFB.可得出进而得出AE=3.
19．【答案】（1）60；20
（2）解：∵AO：OC=1：2，AC=60cm，
∴AO=20cm，OC=40cm，
∴A（0，20），B（-10，0），D（10，0）.
∵过距离点A，点B，点D三点分别为4cm，2cm，2cm的E，F，G三点绘制抛物线，
∴E（0，24），F（-12，0），G（12，0），
设所求抛物线表达式为
把F（-12，0）代入得0=144a+24，解得
∴抛物线的函数表达式是
（3）解：∵FH∥BC，
即
∴OH=48cm，
设直线AB的解析式为y=mx+n，代入A（0，20），B（-10，0），
解得
∴直线AB的解析式为y=2x+20，
∵PM∥AB，
∴可知直线PM的解析式为y=2x+b，
∴P（0，b），
令
则
令
解得b=30，
∴P（0，30），
∴OP=30cm，直线PM的解析式为y=2x+30，
∴PH=OP+OH=78（cm），
令2x+30=0，解得x=-15，
∴M（-15，0），
即MN=30cm，
即筝形纸片PMHN面积至少为
答：小超同学剪下的这张筝形纸片PMHN面积至少为1170平方厘米.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：（1）解：(1)设AC=xcm，则BD的长为(80-x)cm，
由题意得：(80-x）=600，
解得x1= 20，x2 = 60，
∵AC > BD，
∴AC=60cm，BD= 20cm，
故答案为：60，20；
【分析】（1）)设AC=xcm，则BD的长为(80-x)cm，根据 四边形ABCD的面积为可得出(80-x）=600，解方程即可得出答案；
（2）首先得出A（0，20），B（-10，0），D（10，0）.E（0，24），F（-12，0），G（12，0），进而利用待定系数法即可得出抛物线的函数表达式是；
（3）首先根据FH∥BC，可得出得出OH=48cm，进而利用待定系数法可得出直线AB的解析式为y=2x+20，再根据PM∥AB，可得出直线PM的解析式为y=2x+b，令根据根的判别式可得出b=30，可得直线PM的解析式为y=2x+30，令2x+30=0，解得x=-15，可得出MN=30cm，进而得出筝形纸片PMHN面积至少为
20．【答案】（1）45°；16
（2）解：猜想：
证明∵四边形ABCD是菱形，
∵点F与点B关于AE对称，
∴AB=AF，∠BAE=∠FAE，
∴AF=AD，
∴∠AFD=∠ADF.
设∠BAE=∠FAE=α，则∠BAF=2α，
在△DAF中，∠AFD=∠G+∠FAG，且∠DFA=∠ADF，
整理得：
（3）解：分三种情况如下：
情况1：点F落在直线BC上（对应），
∵四边形ABCD是菱形，设
由轴对称性质，AB=AF=5，
在△ABF中，作AH⊥BC于H，则BH=AB·cos∠ABC=3，AH=4，∴BF=2BH=6，CF=BF-BC=1，
∵AD∥BC，
∴ADE∽HBE，ADG∽HFG，
由相似比可得：
结合BF=BC+CF=5+CF，FC=1，解得
情况2：点F落在直线CD上（对应 ）
由轴对称性质，设AB=AF=AD=5，
作AP⊥CD于P，则DP=AD·cos∠ADC=3，AP=4，
∴DF=2DP=6，CF=DF-CD=1，
∵AB∥CD
∴∠G=∠BAH=∠FAG，
∴FG=FA=5，
∵ADBC，
∴ADE∽HBE，DAG∽△CHG，
又
解得
情况3：点F落在直线AB上
由轴对称性质，设AB=AF=5，AE⊥BF，F在BA延长线上，AF=5，结合菱形边长AD=5，可得F在A点上方，延长BH交FG于M，
∵AD∥BC，
∴△ADF∽△BMF，△ADE∽△HBE，△HMG∽△ADG，
解得
综上，的值为或
【知识点】菱形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）①∵ ∠ABC= 90°
∴菱形ABCD为正方形，AB=AD，∠ADB=45°
∵点F与点B关于AE对称
∴AB= AF，∠BAE=∠FAE
∴AF=AD
∴∠AFD=∠ADF
设∠BAE=∠FAE=α
∴∠DAF =90°-2α
∴∠AFD=∠ADF==45°十α
∵∠AFD是△AFG的外角
∴∠AFD = ∠FAG+ ∠G = α+ ∠G = 45°+α
∴∠G = 45°
故答案为：45°
②由①可知∠G=45°
∵∠ADB=45°
∴∠G= ∠ADB
∵∠DAE=∠GAD
∴
∴
∴AD2=AE·AG
∵AD=4
∴AE·AG =16
故答案为：16；
【分析】（1）①设∠BAE=∠FAE=α，可得出∠AFD=∠ADF==45°十α，进而根据三角形外角的性质即可得出∠G = 45°；②通过证明，可得出AD2=AE·AG，进而即可得出AE·AG =16；
（2）首先根据菱形的性质可得出再根据轴对称的性质，即可得出∠AFD=∠ADF.设∠BAE=∠FAE=α，则∠BAF=2α，进而整理为
（3）可三种情况如下：情况1：点F落在直线BC上（对应），通过证明△ADE∽△HBE，△ADG∽△HFG，可得出情况2：点F落在直线CD上（对应 ），通过证明△ADE∽△HBE，△DAG∽△CHG，可得出情况3：点F落在直线AB上，可得综上，的值为或
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