资源简介

山西省2026年初中学业水平考试数学试题
1． 如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作+0.06米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（　　）
A．- 0.05米 B．+0.05米 C．-0.11米 D．+0.11米
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：正负数用于表示一对具有相反意义的量，题目规定水位升高用正数表示，则水位下降应用负数表示。
因此水位下降0.05米时，水位变化记作-0.05米。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义，属于基础概念题型。正负数的核心作用是刻画意义相反的两类量，当升高被定义为正方向时，与之相反的下降就对应负方向，结合下降的具体数值，即可直接得到对应的水位变化记法。
2．学校开展非遗文化体验活动.下列是同学们设计的活动项目图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一验证：选项A、B、D的图案均无法找到满足条件的对称轴，不是轴对称图形；选项C的图案沿竖直中线折叠后，左右两部分完全重合，属于轴对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，是几何基础概念题。解题时依据轴对称图形的定义，对四个选项的图案分别寻找对称轴，存在对称轴的即为轴对称图形，不存在的则不符合要求，逐一排查即可得到正确选项。
3．下列运算正确的是（　　）
A．6a-2a＝4 B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵合并同类项仅对系数运算，字母与指数保持不变，∴，选项A错误；
∵同底数幂相乘，底数不变、指数相加，∴，选项B正确；
∵同底数幂相除，底数不变、指数相减，∴，选项C错误；
∵积的乘方需对每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘，∴，选项D错误。
故答案为：B
【分析】本题考查整式运算与幂的运算法则，涵盖合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方多个知识点。解题时对应各类运算的规则逐项计算，合并同类项时注意保留字母部分，幂的运算严格遵循指数的加减、相乘规律，积的乘方需注意负号的偶次幂结果为正，逐项验证后即可筛选出正确选项。
4．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通.如图是它的示意图及主视图，其左视图为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体左侧观察，零件外部轮廓为下方带底座的矩形结构；前后贯通的圆孔在左侧视角下不可见，其轮廓需用虚线表示，呈现为两条水平虚线，与选项A的图形一致。
故答案为：A
【分析】本题考查几何体三视图的判断，重点是不可见轮廓线的表示规则。左视图是从左向右观察几何体得到的平面图形，绘制时可见的棱边用实线，被遮挡、不可见的棱边或孔洞轮廓必须用虚线表示，结合零件的结构特征即可匹配对应图形。
5．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形.为验证AB与CD是否平行，已测得∠BEF＝48°，仅用下列一个测量结果即可判定AB与CD平行的是（　　）
A．∠DCF＝32° B．∠CDE＝48° C．∠CFE＝80° D．∠EBG＝69°
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：选项A中，与不构成平行线判定的三类角关系，无法推出；
选项B中，若，则，二者是直线、被直线所截形成的内错角，∵内错角相等，两直线平行，∴可判定；
选项C中，与已知角无法推导出行判定所需的数量关系，不能判定平行；
选项D中，与为同旁内角，但和不为，无法判定平行。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的判定定理，结合实际场景考查内错角相等判定两直线平行的应用。解题时分析每个选项给出的角度与已知角的位置关系，判断是否满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的判定条件，符合判定定理的即可作为平行的依据。
6．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图.将其放在平面直角坐标系内，若用（-5，3）表示赏荷栈道的位置，用（-4，-2）表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（　　）
A．（3，0） B．（3， 1） C．（2，1） D．（1，3）
【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据赏荷栈道与泽众书院的坐标，可确定平面直角坐标系的原点位置与坐标轴正方向。
在此坐标系中读取目标景点的横、纵坐标，横坐标为3，纵坐标为1，即坐标为。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，属于坐标基础应用题型。解题时先通过两个已知点的坐标反推坐标系的原点与坐标轴方向，建立完整的坐标系后，再读取目标景点对应的横、纵坐标数值即可得到结果。
7． 已知点A（1， a）， 点B（4，b）， 点C（7，c）都在反比例函数 的图象上，则a，b，c的关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中比例系数，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小。
∵三个点的横坐标均为正数，∴三点都在第一象限。
又∵，根据第一象限内的增减性可得。
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，利用函数增减性比较函数值大小。解题时先由的正负判断函数图象所在象限与增减规律，再判断三点所在的象限，结合横坐标的大小关系，依据同一象限内的增减性，即可推导出三个函数值的大小顺序。
8．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作，今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1200（1+x）＝1600 B．1200（1+2x）＝1600
C． D．
【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为，
∵3月份产量为1200台，
∴4月份产量为台，
5月份在4月份基础上继续增长，产量为台。
结合5月份实际产量1600台，可列方程。
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于平均增长率问题。解题时遵循增长率的数量关系：初始量经过一次增长后为初始量增长率)，经过两次增长后为初始量增长率，结合3月初始产量与5月最终产量，即可列出对应方程。
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H.当点G是OA 的中点时， 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由平移得，
∴，
∵点是的中点，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
故答案为：A
【分析】本题综合考查正方形的性质、平移的性质与相似三角形的判定及性质，求解线段比例。解题时先根据平移的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质结合中点证明得到，再根据正方形的性质结合题意等量代换即可求解。
10．用m，n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（　　）
A．6 B．13 C．31 D．56
【答案】D
【知识点】整式的加减运算；数的整除性
【解析】【解答】解：根据数位表示规则，原两位数可表示为，其中，，且、均为整数。
由题意得新数为，
则新数与原数的差为：
∵、为整数，∴差值一定是7的整数倍。
观察选项，只有56是7的倍数，符合要求。
故答案为：D
【分析】本题考查整式的加减运算与数字表示规律，结合倍数判断考查代数推理能力。解题时先用含数位数字的代数式表示出原两位数与新数，通过整式减法化简差值，发现差值为7的整数倍，再逐一验证选项中哪个数是7的倍数，即可得到答案。
11．比较大小： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
【答案】=
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，可得
左右两边数值相等
故答案为：=
【分析】本题考查二次根式的性质运算与实数大小比较。解题时利用二次根式的平方运算规则对左侧式子化简，得到化简后的数值后，与右侧数字直接比较大小即可得出结果。
12．计算 的结果是　 　．
【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：先对第一个分式的分母因式分解：，
确定最简公分母为，通分后计算：
故答案为：
【分析】本题考查异分母分式的加法运算，涵盖因式分解、通分、约分等知识点。解题时先对多项式分母因式分解，找到两个分式的最简公分母，将异分母分式转化为同分母分式后分子相加，最后对分子分母约分得到最简分式。
13．小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同.小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上.小伟从中随机抽取一张，燕式七巧板 曲线七巧板 心形九巧板不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：分别用A、B、C代表“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”的书签，不放回抽取两张，所有等可能的结果有：、、、、、，共6种。
其中恰好抽到“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有、，共2种。
根据概率公式，所求概率为
故答案为：
【分析】本题考查不放回抽样的概率计算，适用列举法求解。解题时先列举出所有等可能的抽取结果，再统计符合题目要求的结果数量，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算即可得到对应概率。
14．某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超20000册时，投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示.当印刷数量为5000册时，投入成本是　 　元.
印刷数量x（册） 0 500 1000 1500 … 20000
投入成本y（元） 24000 27000 30000 33000 … 144000
【答案】54000
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：观察表格数据，每增加500，对应增加3000，变化量恒定，因此与满足一次函数关系。
设函数解析式为，
将、代入得：
解得，，
∴函数解析式为。
当时，。
故答案为：54000
【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求解析式并代入求值。解题时先根据表格数据的变化规律判断函数类型为一次函数，设出一次函数一般形式，选取两组对应值代入求出系数与常数，再将代入解析式计算即可得到对应的成本值。
15． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10.点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G.若CF＝CG＝5，则线段BF的长为　 　．
【答案】14
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，∴。
∵，∴，
∴，。
结合，可得，∴，
∴，即为中点。
过点作于，于。
∵，，∴。
根据平行线分线段成比例，，∴，
∴。
∵四边形有三个角为直角，∴四边形是矩形，∴。
在中，，
∴
在中，
在中，，
∵，∴
故答案为：14
【分析】本题综合考查平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，属于几何综合填空题。解题时过点作，交于点，先根据平行线的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意等量代换得到，再结合题意进行线段的运算得到，即为中点；过点作于，于，根据平行公理及其推理结合平行线分线段成比例得到，则，再根据矩形的判定与性质结合勾股定理求出NC，则NF=8，进而根据正切函数结合题意解直角三角形即可求解。
16．（1）计算：
（2）解不等式组：
【答案】（1）解：原式
＝-2+12-16
＝-6.
（2）解：解不等式①，得 x≤5.
解不等式②，得 x＞2.
所以，原不等式组的解集是2＜x≤5．
【知识点】解一元一次不等式组；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，涉及有理数加减、绝对值、除法、乘方等运算。解题时遵循运算顺序，先计算括号内的加法、绝对值与乘方运算，再计算除法，最后从左到右依次进行加减运算，逐步化简得到最终结果；
（2）本题考查一元一次不等式组的解法。解题时分别解出两个一元一次不等式的解集，第一个不等式通过移项直接求解，第二个不等式先去括号再移项、系数化为1求解，最后取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
17．《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例.某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡.现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜，这些铜和锡恰好全部用完时，可制作多少个鼎和多少面铜镜
【答案】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作x个鼎和y面铜镜
根据题意，得
解，得
答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于配套类应用题。解题时先设制作鼎的数量为个，制作铜镜的数量为面，根据铜的总用量列出第一个方程：制作鼎消耗的铜加上制作铜镜消耗的铜等于60千克；根据锡的总用量列出第二个方程：制作鼎消耗的锡加上制作铜镜消耗的锡等于20千克，联立得到二元一次方程组，求解方程组即可得到鼎和铜镜的数量。
18．某校开展“讲绿水青山故事·绘美丽中国画卷”公益短视频评选活动.现有甲、乙、丙三个短视频作品参加校级评选，由8位评委对参选作品进行评分（满分为10分），最终推荐一个作品参加公益展播.
数据整理：评委对三个短视频作品的评分数据如下：
分析决策：为确定最终参加公益展播的作品，对评委评分数据分析如下：
作品 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
甲 8.5 8.5 a 2
乙 7.5 b 6 3.5
丙 c 8 8 0.5
（1）表中a＝　 　， b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据上表中对评委评分数据的分析，你认为应推荐哪个短视频作品参加公益展播 请选择两个统计量说明推荐理由.
【答案】（1）10；7；8.5
（2）解：答案不唯一，例如：
①我推荐丙作品参加公益展播.
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为8.5分、7.5分、8.5分，因为8.5＞7.5，所以从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；甲、乙、丙三个作品评委评分的方差分别为2，3.5，0.5， 因为3.5＞2＞0.5，所以从方差的角度看，评委对丙作品的评分更一致
②我推荐甲作品参加公益展播
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为8.5分、7.5分、8.5分，因为8.5＞7.5，所以从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；甲、乙、丙三个作品评委评分的中位数分别为8.5分、7分、8分，因为8.5＞8＞7，所以从中位数的角度看，评委对甲作品的评分更高.
【知识点】扇形统计图；折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）根据甲作品评委评分统计图可知，分占比最大，
甲作品的众数为分，即；
根据乙、丙作品评委评分统计图可知，
乙作品的分数从小到大排序为：，，，，，，，，位于第位和第位的数据为和，
乙作品的中位数为，即；
丙作品的分数为：，，，，，，，，
丙作品的平均数为，即；
【分析】（1）本题考查统计中众数、中位数、平均数的计算。解题时，对于，根据甲作品的评分占比，找出出现次数最多的分数即为众数；对于，将乙作品的8个评分从小到大排序，取第4和第5个数据的平均数即为中位数；对于，根据丙作品的所有评分，用总分除以评委人数8即可得到平均数；
（2）本题考查统计量的实际意义与决策应用。解题时可以选择不同的统计量组合给出推荐理由，若推荐丙作品，可结合平均数说明整体评分水平，结合方差说明评分的稳定性；若推荐甲作品，可结合平均数说明整体水平，结合中位数说明中等水平的评分高低，合理选择两个统计量阐述理由即可。
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且 过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点 E，连接AC，OD. 若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的面积（结果保留π）.
【答案】解：连接OC，
∵ CE与⊙O相切于点 C， ∵OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵∠ACE＝115°，
∴∠ACO＝∠ACE-∠OCE＝115°-90°＝25°.
∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝25°.
∠COB是△AOC的外角， ∴∠COB＝∠A+∠ACO＝50°.
：BD＝BC， ∴∠BOD＝∠COB＝50°.
∵OB＝6， ∴ S扇形BOD．
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理与扇形面积计算，属于圆的综合计算题。解题时先连接，根据切线的性质得到与垂直，即为，用减去得到的度数；再由得到等腰三角形，推出的度数，利用圆周角定理得到圆心角的度数；接着根据等弧所对的圆心角相等，得到与相等，最后代入扇形面积公式，结合半径的长度计算出扇形的面积。
20．项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件.图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井.
某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告.
项目主题 藻井的调查与测算
驱动任务 调 查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构.
造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井.
测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长
图示 图Ⅰ为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线（点A，B在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点C，D在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内.
数据 在点D处测得点A的仰角为60°，AD＝6米；在点C处测得点B的仰角为45°， CD＝11米.
结果 …
活动反思 …
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长（结果精确到0.1米.参考数据：
【答案】解：过点A作AE⊥DC于点E，过点B作BF⊥DC于点F，
则∠AED＝∠BFC ＝90°
由题意得，四边形AEFB 为矩形.
∴AE＝BF， AB＝EF.
在Rt△ADE中， ∠D＝60°， AD＝6，
在Rt△BCF中，
∵CD＝DE+EF+FC＝11， ∴EF＝CD-DE-FC＝11-3-3 ＝8-3
（米）.
答：该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为2.8米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形在实际测量中的应用，涉及仰角问题与矩形的性质。解题时过点、分别向水平直线作垂线，构造两个直角三角形与一个矩形；先在含角的直角三角形中，利用三角函数求出竖直高度与水平线段的长度；再由矩形性质得到另一个直角三角形的竖直直角边长度，结合角的直角三角形两直角边相等，求出的长度；最后根据的总长度，用减去与的长度得到的长度，由矩形对边相等可知与长度相等，代入数值计算并按要求取近似值即可。
21．阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务.
工匠智慧引发的数学思考 【工匠智慧】 如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角. 【数学抽象】 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD中，以点A为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E；以点B为圆心，AB长为半径作弧， 与BE交于点F； 连接BE，BF，AF， 即可得到特定度数的角，如∠ABE和∠EBF等. 【推广迁移】 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角.如图3，已知∠MAN＝α，作图步骤如下：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM，AN于点B，C；②分别以点B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点D；③连接CD，可得 结论 成立的理由如下： 连接BC. 由步骤①可知，AB＝AC. ..
（1）图2中∠ABE＝　 　°，∠EBF＝　 　°；
（2）补全“推广迁移”中的说理过程；
（3）如图4， 四边形ABCD 表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°.现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段DE（点E在BC上），使∠ADE＝85°.请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）45；15
（2）解：∴∠ACB＝∠ABC. 在△ABC中， ∠A＝∠MAN＝α，
∴∠ACB+∠ABC＝180°-∠A＝180°-α.
连接BD. 由步骤②可知，BC＝BD＝CD.
∴△BCD为等边三角形.∴∠BCD＝60°
（3）解：作法不唯一，例如：
如图，线段DE 即为所求作的裁割线.
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：（1）∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
∵以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
【分析】（1）本题考查等腰直角三角形与等边三角形的性质，结合尺规作图求角度。解题时先根据作图得到，结合矩形的直角推出为等腰直角三角形，即可得到的度数；再由作图得到，推出为等边三角形，得到的度数，用减去即可得到的度数；
（2）本题考查几何推理证明，结合等腰三角形与等边三角形的性质推导角度关系。解题时先连接、，根据作图得到，利用等腰三角形内角和求出的表达式；再由作图得到三边相等推出为等边三角形，得到，最后将与相加，整理即可得到的表达式，完成证明；
（3）本题考查尺规作图的迁移应用。解题时参考材料中的推广迁移作图方法，以点为圆心、长为半径作弧得到交点，再以两个交点为圆心、交点间距为半径作弧得到内部交点，连接该点与点交于，即可得到符合角度要求的裁割线。
22．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28.设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）.已知点A（0， 160），B（18， 646）， C（28， 496） 均在描述y1与x关系的抛物线上，且点 B 是这条抛物线的顶点.
（1）建立模型：
求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；
（2）应用分析：
已知低肥力麦田中小麦每田的产量y2与x的函数关系式为
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克.经判断n小于m，请直接写出m与n的差．
【答案】（1）解：由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，
设
因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，
所以，
解，得
所以，y1与x的函数关系式为
（2）解：①已知 将其配方，得
因为a＝-1＜0，0≤x≤28， 所以， 当x＝13时，y2取得最大值.
此时，y2的最大值为309.
已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，
此时，
答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克.
②15
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（2）②∵，，
∴的最大值为646，的最大值为309．
．
令
，
当时，有最大值，为940．
，
．
【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数的顶点式解析式。解题时已知抛物线的顶点坐标，因此设二次函数的顶点式，将点的坐标代入解析式中，解出系数的值，即可得到与的函数关系式，同时标注自变量的取值范围；
（2）①本题考查二次函数的最值与代数式求值。解题时先将低肥力的函数解析式配方化为顶点式，根据二次项系数小于0判断开口向下，顶点处取得最大值，得到产量最大时的施氮量与最大产量；再将该施氮量代入中肥力的函数解析式，求出对应产量，计算两个产量的差值即可；
②本题考查二次函数的最值与函数和的最值计算。解题时先分别求出两个函数各自的最大值，相加得到的值；再令总产量等于两个函数相加，得到新的二次函数，通过配方求出该函数在定义域内的最大值即为的值，最后计算与的差值即可。
23．综合与探究
问题情境：如图1，在 中，AB＝BC，BO是 的中线.将 绕点O顺时针旋转得到. ，其中点B，C的对应点分别为点D，E，线段DE分别与线段OA，AB交于点M，F，线段OE与AB 交于点N.
（1）推理证明：
求证：△AON≌△EOM；
（2）拓展延伸：
在旋转过程中，当 时，探究下列问题.
①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由；
②已知OB＝2，OA＝3.在射线DO上取一点G，在射线BO上取一点H，使OH＝OG.当以点A，G，H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，请直接写出线段BH的长.
【答案】（1）证明：∵AB＝BC， BO是△ABC的中线，∴∠A＝∠C， AO＝CO.
∵△BOC旋转得到△DOE， ∴∠E＝∠C，EO＝CO.
∴∠A＝∠E， AO＝EO
∵∠AON＝∠EOM， ∴△AON≌△EOM.
（2）解：①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由；
解： DO＝DF.理由如下：
∵AB＝BC，BO是△ABC的中线，
∵.∠ABO＝∠CBO.
∴△BOC旋转得到△DOE，∴∠D＝∠CBO， OD＝OB.
∴∠ABO＝∠D.
∵OD∥AB， ∴∠D＝∠AFD. ∴∠AFD＝∠ABO.
∴DF∥OB. ..四边形DFBO是平行四边形.
∵OD＝OB， ∴ DFBO是菱形.∴DO＝DF.
②或
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（2）②解：如下图所示，当点在线段上时，
过点作于点，过点作于点，
，
，
，
又，是的中线，
，
，
，
，，
，，
设，，
则，
，
由旋转可知，
，
，
于点，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
若，
，，
，
，
，
又，
，
解得：，
，
；
若，
则有，，
，
，
，
，，，
，
解得：（不符合题意，舍去）；
如下图所示，当点在射线上且在直线上方时，
过点作，于点Q，过点作，过点作，交的延长线于点J，
，
，
，
，，
∴，
∴四边形均为矩形，
∴，
由旋转可知，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
若，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
；
若，
则有，
，，
，
，
，
，，，，
，
∴，
∴，
；
综上所述，或或．
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，结合等腰三角形与旋转的性质证明。解题时先由等腰三角形三线合一得到、，再根据旋转的性质得到、，通过等量代换得到、，结合对顶角相等得到一组角相等，利用角边角定理即可证明两个三角形全等；
（2）①本题考查菱形的判定与性质，结合平行线与旋转性质推导线段相等。解题时先由等腰三角形与旋转的性质得到角的等量关系，结合平行推出角相等，进而得到平行于，判定四边形为平行四边形，再由旋转得到，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到菱形的边相等，从而推出与相等；②本题考查直角三角形的存在性问题，属于分类讨论的几何综合题。解题时需分情况讨论直角的位置，结合为直角边的条件，分别过相关点作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解，结合的条件计算出的长度，最终根据点的位置计算的长度，注意考虑点在线段上与射线延长线上等多种情况。
1 / 1山西省2026年初中学业水平考试数学试题
1． 如果水库的水位升高0.06米时水位变化记作+0.06米，那么水位下降0.05米时水位变化记作（　　）
A．- 0.05米 B．+0.05米 C．-0.11米 D．+0.11米
2．学校开展非遗文化体验活动.下列是同学们设计的活动项目图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A．6a-2a＝4 B． C． D．
4．一个机器零件，上面的孔洞前后贯通.如图是它的示意图及主视图，其左视图为（　　）
A． B．
C． D．
5．图1为木质花窗的局部，将其部分抽象成如图2所示的平面图形.为验证AB与CD是否平行，已测得∠BEF＝48°，仅用下列一个测量结果即可判定AB与CD平行的是（　　）
A．∠DCF＝32° B．∠CDE＝48° C．∠CFE＝80° D．∠EBG＝69°
6．如图为省城迎泽公园部分景点分布示意图.将其放在平面直角坐标系内，若用（-5，3）表示赏荷栈道的位置，用（-4，-2）表示泽众书院的位置，则中国共产党太原历史展览馆的位置表示为（　　）
A．（3，0） B．（3， 1） C．（2，1） D．（1，3）
7． 已知点A（1， a）， 点B（4，b）， 点C（7，c）都在反比例函数 的图象上，则a，b，c的关系是（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．a＞c＞b D．a＞b＞c
8．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作，今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台.若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为x，则下列方程正确的是（　　）
A．1200（1+x）＝1600 B．1200（1+2x）＝1600
C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.将线段AD沿射线AB方向平移，点A，D 的对应点分别为点E，F，线段EF分别与OA，OD交于点G，H.当点G是OA 的中点时， 的值为（　　）
A． B． C． D．
10．用m，n分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，将其十位数字的3倍与个位数字的8倍相加得到一个新数，新数与原两位数的差可能是（　　）
A．6 B．13 C．31 D．56
11．比较大小： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）．
12．计算 的结果是　 　．
13．小思有三张分别印有“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”图案的书签，它们除正面图案外，其余完全相同.小思要将其中的两张送给小伟，将它们背面朝上放在桌面上.小伟从中随机抽取一张，燕式七巧板 曲线七巧板 心形九巧板不放回，再随机抽取一张，他抽到的两张书签恰好印有“曲线七巧板”和“心形九巧板”图案的概率是　 　．
14．某出版社出版一种科普读物，当印刷数量不超20000册时，投入成本y（元）与印刷数量x（册）之间满足我们学过的一种函数关系，部分数据如下表所示.当印刷数量为5000册时，投入成本是　 　元.
印刷数量x（册） 0 500 1000 1500 … 20000
投入成本y（元） 24000 27000 30000 33000 … 144000
15． 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AB＝10.点E是AB边上的一点，且AE＝3，连接DE，过点E作DE的垂线，交BC的延长线于点F，交CD边于点G.若CF＝CG＝5，则线段BF的长为　 　．
16．（1）计算：
（2）解不等式组：
17．《考工记》是我国古代的一部工科巨著，其中记载了制作鼎和铜镜的铜锡比例.某工厂按书中记载比例制作鼎和铜镜，制作一个鼎需要12千克铜和2千克锡，制作一面铜镜需要1千克铜和1千克锡.现用60千克铜和20千克锡制作鼎和铜镜，这些铜和锡恰好全部用完时，可制作多少个鼎和多少面铜镜
18．某校开展“讲绿水青山故事·绘美丽中国画卷”公益短视频评选活动.现有甲、乙、丙三个短视频作品参加校级评选，由8位评委对参选作品进行评分（满分为10分），最终推荐一个作品参加公益展播.
数据整理：评委对三个短视频作品的评分数据如下：
分析决策：为确定最终参加公益展播的作品，对评委评分数据分析如下：
作品 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差
甲 8.5 8.5 a 2
乙 7.5 b 6 3.5
丙 c 8 8 0.5
（1）表中a＝　 　， b＝　 　，c＝　 　；
（2）根据上表中对评委评分数据的分析，你认为应推荐哪个短视频作品参加公益展播 请选择两个统计量说明推荐理由.
19．如图，AB是⊙O的直径，点C，D是⊙O上的两点，且 过点C作⊙O的切线与AB的延长线交于点 E，连接AC，OD. 若∠ACE＝115°，OB＝6，求扇形BOD（即阴影部分）的面积（结果保留π）.
20．项目式学习
项目背景：藻井是我国古建筑室内顶部的装饰构件.图为山西某古建筑大殿内顶部的藻井.
某校学生到此地开展综合实践活动，对该建筑内藻井进行了调查与测算，形成如下活动报告.
项目主题 藻井的调查与测算
驱动任务 调 查藻井的工艺与造型，测算藻井的相关数据
活动过程 调查 工艺 该藻井以木构技术为核心，通过斗拱、悬挑等工艺形成逐层向上收缩的三层结构.
造型 该藻井自下而上每层轮廓依次为长方形、菱形、菱形，分别称为长方形井、菱形井、菱形井.
测算 对象 中间层菱形井中较长对角线的长
图示 图Ⅰ为藻井仰视平面图，其中线段AB为中间层菱形井较长的对角线（点A，B在同一水平直线上）；图2为测量方案示意图，其中测量点C，D在同一水平直线上，且点A，B，C，D在同一竖直平面内.
数据 在点D处测得点A的仰角为60°，AD＝6米；在点C处测得点B的仰角为45°， CD＝11米.
结果 …
活动反思 …
请根据上述数据，计算该藻井中间层菱形井对角线AB的长（结果精确到0.1米.参考数据：
21．阅读与思考
阅读下列材料，完成相应任务.
工匠智慧引发的数学思考 【工匠智慧】 如图1，木工师傅用一根没有弹性的绳子和一把直尺在矩形木板上画特定度数的角. 【数学抽象】 将图1的操作过程抽象成尺规作图，步骤如下：如图2，在矩形木板ABCD中，以点A为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E；以点B为圆心，AB长为半径作弧， 与BE交于点F； 连接BE，BF，AF， 即可得到特定度数的角，如∠ABE和∠EBF等. 【推广迁移】 受上述作法的启发，可以用尺规作出与已知角有关的特定度数的角.如图3，已知∠MAN＝α，作图步骤如下：①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AM，AN于点B，C；②分别以点B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧在∠MAN内部交于点D；③连接CD，可得 结论 成立的理由如下： 连接BC. 由步骤①可知，AB＝AC. ..
（1）图2中∠ABE＝　 　°，∠EBF＝　 　°；
（2）补全“推广迁移”中的说理过程；
（3）如图4， 四边形ABCD 表示一块木板，∠BAD＝130°，∠ADC＞85°.现要将此木板裁割成两部分，裁割线为线段DE（点E在BC上），使∠ADE＝85°.请用尺规在木板上作出裁割线DE（要求：在木板上保留作图痕迹，不写作法）
22．综合与实践
问题情境：为探究不同土壤肥力条件下小麦产量与施氮量的关系，科研团队在某地选择土壤基础肥力不同的若干试验田开展研究，并对试验数据进行整理分析.研究发现，在中肥力与低肥力两种麦田中，小麦每亩的产量y（千克）与每亩施氮量x（千克）的关系可近似用下图中的两条抛物线描述，其中0≤x≤28.设中肥力麦田每亩的产量为y1（千克），低肥力麦田每亩的产量为y2（千克）.已知点A（0， 160），B（18， 646）， C（28， 496） 均在描述y1与x关系的抛物线上，且点 B 是这条抛物线的顶点.
（1）建立模型：
求中肥力麦田中小麦每亩的产量y1与x的函数关系式；
（2）应用分析：
已知低肥力麦田中小麦每田的产量y2与x的函数关系式为
①假设低肥力、中肥力两种麦田每亩施氮量相同.当低肥力麦田每亩的产量最大时，求每亩的施氮量，以及此时两种麦田小麦每亩产量的差；
②现有面积均为1亩的中肥力、低肥力麦田各一块.当两块麦田每亩施氮量不同，且每亩的产量分别达到最大时，两块麦田的总产量为m千克；当两块麦田每亩施氮量相同时，两块麦田总产量的最大值为n千克.经判断n小于m，请直接写出m与n的差．
23．综合与探究
问题情境：如图1，在 中，AB＝BC，BO是 的中线.将 绕点O顺时针旋转得到. ，其中点B，C的对应点分别为点D，E，线段DE分别与线段OA，AB交于点M，F，线段OE与AB 交于点N.
（1）推理证明：
求证：△AON≌△EOM；
（2）拓展延伸：
在旋转过程中，当 时，探究下列问题.
①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由；
②已知OB＝2，OA＝3.在射线DO上取一点G，在射线BO上取一点H，使OH＝OG.当以点A，G，H为顶点的三角形是直角三角形，且GH为直角边时，请直接写出线段BH的长.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：正负数用于表示一对具有相反意义的量，题目规定水位升高用正数表示，则水位下降应用负数表示。
因此水位下降0.05米时，水位变化记作-0.05米。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数的实际意义，属于基础概念题型。正负数的核心作用是刻画意义相反的两类量，当升高被定义为正方向时，与之相反的下降就对应负方向，结合下降的具体数值，即可直接得到对应的水位变化记法。
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：沿一条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形。
对各选项逐一验证：选项A、B、D的图案均无法找到满足条件的对称轴，不是轴对称图形；选项C的图案沿竖直中线折叠后，左右两部分完全重合，属于轴对称图形。
故答案为：C
【分析】本题考查轴对称图形的识别，是几何基础概念题。解题时依据轴对称图形的定义，对四个选项的图案分别寻找对称轴，存在对称轴的即为轴对称图形，不存在的则不符合要求，逐一排查即可得到正确选项。
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：∵合并同类项仅对系数运算，字母与指数保持不变，∴，选项A错误；
∵同底数幂相乘，底数不变、指数相加，∴，选项B正确；
∵同底数幂相除，底数不变、指数相减，∴，选项C错误；
∵积的乘方需对每个因式分别乘方，幂的乘方底数不变、指数相乘，∴，选项D错误。
故答案为：B
【分析】本题考查整式运算与幂的运算法则，涵盖合并同类项、同底数幂乘除、积的乘方多个知识点。解题时对应各类运算的规则逐项计算，合并同类项时注意保留字母部分，幂的运算严格遵循指数的加减、相乘规律，积的乘方需注意负号的偶次幂结果为正，逐项验证后即可筛选出正确选项。
4．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：从几何体左侧观察，零件外部轮廓为下方带底座的矩形结构；前后贯通的圆孔在左侧视角下不可见，其轮廓需用虚线表示，呈现为两条水平虚线，与选项A的图形一致。
故答案为：A
【分析】本题考查几何体三视图的判断，重点是不可见轮廓线的表示规则。左视图是从左向右观察几何体得到的平面图形，绘制时可见的棱边用实线，被遮挡、不可见的棱边或孔洞轮廓必须用虚线表示，结合零件的结构特征即可匹配对应图形。
5．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：选项A中，与不构成平行线判定的三类角关系，无法推出；
选项B中，若，则，二者是直线、被直线所截形成的内错角，∵内错角相等，两直线平行，∴可判定；
选项C中，与已知角无法推导出行判定所需的数量关系，不能判定平行；
选项D中，与为同旁内角，但和不为，无法判定平行。
故答案为：B
【分析】本题考查平行线的判定定理，结合实际场景考查内错角相等判定两直线平行的应用。解题时分析每个选项给出的角度与已知角的位置关系，判断是否满足同位角相等、内错角相等或同旁内角互补的判定条件，符合判定定理的即可作为平行的依据。
6．【答案】B
【知识点】用坐标表示地理位置；平面直角坐标系的构成
【解析】【解答】解：根据赏荷栈道与泽众书院的坐标，可确定平面直角坐标系的原点位置与坐标轴正方向。
在此坐标系中读取目标景点的横、纵坐标，横坐标为3，纵坐标为1，即坐标为。
故答案为：B
【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标确定，属于坐标基础应用题型。解题时先通过两个已知点的坐标反推坐标系的原点与坐标轴方向，建立完整的坐标系后，再读取目标景点对应的横、纵坐标数值即可得到结果。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数中比例系数，
∴函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小。
∵三个点的横坐标均为正数，∴三点都在第一象限。
又∵，根据第一象限内的增减性可得。
故答案为：D
【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，利用函数增减性比较函数值大小。解题时先由的正负判断函数图象所在象限与增减规律，再判断三点所在的象限，结合横坐标的大小关系，依据同一象限内的增减性，即可推导出三个函数值的大小顺序。
8．【答案】C
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设月平均增长率为，
∵3月份产量为1200台，
∴4月份产量为台，
5月份在4月份基础上继续增长，产量为台。
结合5月份实际产量1600台，可列方程。
故答案为：C
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，属于平均增长率问题。解题时遵循增长率的数量关系：初始量经过一次增长后为初始量增长率)，经过两次增长后为初始量增长率，结合3月初始产量与5月最终产量，即可列出对应方程。
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由平移得，
∴，
∵点是的中点，
∴
∴，
∵四边形是正方形，
∴，
∴
故答案为：A
【分析】本题综合考查正方形的性质、平移的性质与相似三角形的判定及性质，求解线段比例。解题时先根据平移的性质得到，进而根据相似三角形的判定与性质结合中点证明得到，再根据正方形的性质结合题意等量代换即可求解。
10．【答案】D
【知识点】整式的加减运算；数的整除性
【解析】【解答】解：根据数位表示规则，原两位数可表示为，其中，，且、均为整数。
由题意得新数为，
则新数与原数的差为：
∵、为整数，∴差值一定是7的整数倍。
观察选项，只有56是7的倍数，符合要求。
故答案为：D
【分析】本题考查整式的加减运算与数字表示规律，结合倍数判断考查代数推理能力。解题时先用含数位数字的代数式表示出原两位数与新数，通过整式减法化简差值，发现差值为7的整数倍，再逐一验证选项中哪个数是7的倍数，即可得到答案。
11．【答案】=
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，可得
左右两边数值相等
故答案为：=
【分析】本题考查二次根式的性质运算与实数大小比较。解题时利用二次根式的平方运算规则对左侧式子化简，得到化简后的数值后，与右侧数字直接比较大小即可得出结果。
12．【答案】
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：先对第一个分式的分母因式分解：，
确定最简公分母为，通分后计算：
故答案为：
【分析】本题考查异分母分式的加法运算，涵盖因式分解、通分、约分等知识点。解题时先对多项式分母因式分解，找到两个分式的最简公分母，将异分母分式转化为同分母分式后分子相加，最后对分子分母约分得到最简分式。
13．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：分别用A、B、C代表“燕式七巧板”“曲线七巧板”“心形九巧板”的书签，不放回抽取两张，所有等可能的结果有：、、、、、，共6种。
其中恰好抽到“曲线七巧板”和“心形九巧板”的结果有、，共2种。
根据概率公式，所求概率为
故答案为：
【分析】本题考查不放回抽样的概率计算，适用列举法求解。解题时先列举出所有等可能的抽取结果，再统计符合题目要求的结果数量，根据“概率=符合条件的结果数÷总结果数”的公式计算即可得到对应概率。
14．【答案】54000
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【解答】解：观察表格数据，每增加500，对应增加3000，变化量恒定，因此与满足一次函数关系。
设函数解析式为，
将、代入得：
解得，，
∴函数解析式为。
当时，。
故答案为：54000
【分析】本题考查一次函数的实际应用，利用待定系数法求解析式并代入求值。解题时先根据表格数据的变化规律判断函数类型为一次函数，设出一次函数一般形式，选取两组对应值代入求出系数与常数，再将代入解析式计算即可得到对应的成本值。
15．【答案】14
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：过点作，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，∴。
∵，∴，
∴，。
结合，可得，∴，
∴，即为中点。
过点作于，于。
∵，，∴。
根据平行线分线段成比例，，∴，
∴。
∵四边形有三个角为直角，∴四边形是矩形，∴。
在中，，
∴
在中，
在中，，
∵，∴
故答案为：14
【分析】本题综合考查平行线的性质、等腰三角形的判定、矩形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，属于几何综合填空题。解题时过点作，交于点，先根据平行线的性质得到，进而根据等腰三角形的性质结合题意等量代换得到，再结合题意进行线段的运算得到，即为中点；过点作于，于，根据平行公理及其推理结合平行线分线段成比例得到，则，再根据矩形的判定与性质结合勾股定理求出NC，则NF=8，进而根据正切函数结合题意解直角三角形即可求解。
16．【答案】（1）解：原式
＝-2+12-16
＝-6.
（2）解：解不等式①，得 x≤5.
解不等式②，得 x＞2.
所以，原不等式组的解集是2＜x≤5．
【知识点】解一元一次不等式组；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）本题考查有理数的混合运算，涉及有理数加减、绝对值、除法、乘方等运算。解题时遵循运算顺序，先计算括号内的加法、绝对值与乘方运算，再计算除法，最后从左到右依次进行加减运算，逐步化简得到最终结果；
（2）本题考查一元一次不等式组的解法。解题时分别解出两个一元一次不等式的解集，第一个不等式通过移项直接求解，第二个不等式先去括号再移项、系数化为1求解，最后取两个解集的公共部分，即为不等式组的解集。
17．【答案】解：设这些铜和锡恰好全部用完时，可制作x个鼎和y面铜镜
根据题意，得
解，得
答：这些铜和锡恰好全部用完时，可制作4个鼎和12面铜镜．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，属于配套类应用题。解题时先设制作鼎的数量为个，制作铜镜的数量为面，根据铜的总用量列出第一个方程：制作鼎消耗的铜加上制作铜镜消耗的铜等于60千克；根据锡的总用量列出第二个方程：制作鼎消耗的锡加上制作铜镜消耗的锡等于20千克，联立得到二元一次方程组，求解方程组即可得到鼎和铜镜的数量。
18．【答案】（1）10；7；8.5
（2）解：答案不唯一，例如：
①我推荐丙作品参加公益展播.
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为8.5分、7.5分、8.5分，因为8.5＞7.5，所以从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；甲、乙、丙三个作品评委评分的方差分别为2，3.5，0.5， 因为3.5＞2＞0.5，所以从方差的角度看，评委对丙作品的评分更一致
②我推荐甲作品参加公益展播
理由：甲、乙、丙三个作品评委评分的平均数分别为8.5分、7.5分、8.5分，因为8.5＞7.5，所以从平均数的角度看，评委对甲作品和丙作品的评分较高；甲、乙、丙三个作品评委评分的中位数分别为8.5分、7分、8分，因为8.5＞8＞7，所以从中位数的角度看，评委对甲作品的评分更高.
【知识点】扇形统计图；折线统计图；平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【解答】解：（1）根据甲作品评委评分统计图可知，分占比最大，
甲作品的众数为分，即；
根据乙、丙作品评委评分统计图可知，
乙作品的分数从小到大排序为：，，，，，，，，位于第位和第位的数据为和，
乙作品的中位数为，即；
丙作品的分数为：，，，，，，，，
丙作品的平均数为，即；
【分析】（1）本题考查统计中众数、中位数、平均数的计算。解题时，对于，根据甲作品的评分占比，找出出现次数最多的分数即为众数；对于，将乙作品的8个评分从小到大排序，取第4和第5个数据的平均数即为中位数；对于，根据丙作品的所有评分，用总分除以评委人数8即可得到平均数；
（2）本题考查统计量的实际意义与决策应用。解题时可以选择不同的统计量组合给出推荐理由，若推荐丙作品，可结合平均数说明整体评分水平，结合方差说明评分的稳定性；若推荐甲作品，可结合平均数说明整体水平，结合中位数说明中等水平的评分高低，合理选择两个统计量阐述理由即可。
19．【答案】解：连接OC，
∵ CE与⊙O相切于点 C， ∵OC⊥CE.
∴∠OCE＝90°.
∵∠ACE＝115°，
∴∠ACO＝∠ACE-∠OCE＝115°-90°＝25°.
∵OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝25°.
∠COB是△AOC的外角， ∴∠COB＝∠A+∠ACO＝50°.
：BD＝BC， ∴∠BOD＝∠COB＝50°.
∵OB＝6， ∴ S扇形BOD．
【知识点】三角形外角的概念及性质；切线的性质；扇形面积的计算；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】本题考查圆的切线性质、等腰三角形性质、圆周角定理与扇形面积计算，属于圆的综合计算题。解题时先连接，根据切线的性质得到与垂直，即为，用减去得到的度数；再由得到等腰三角形，推出的度数，利用圆周角定理得到圆心角的度数；接着根据等弧所对的圆心角相等，得到与相等，最后代入扇形面积公式，结合半径的长度计算出扇形的面积。
20．【答案】解：过点A作AE⊥DC于点E，过点B作BF⊥DC于点F，
则∠AED＝∠BFC ＝90°
由题意得，四边形AEFB 为矩形.
∴AE＝BF， AB＝EF.
在Rt△ADE中， ∠D＝60°， AD＝6，
在Rt△BCF中，
∵CD＝DE+EF+FC＝11， ∴EF＝CD-DE-FC＝11-3-3 ＝8-3
（米）.
答：该藻井中间层菱形井对角线AB的长约为2.8米.
【知识点】矩形的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题考查解直角三角形在实际测量中的应用，涉及仰角问题与矩形的性质。解题时过点、分别向水平直线作垂线，构造两个直角三角形与一个矩形；先在含角的直角三角形中，利用三角函数求出竖直高度与水平线段的长度；再由矩形性质得到另一个直角三角形的竖直直角边长度，结合角的直角三角形两直角边相等，求出的长度；最后根据的总长度，用减去与的长度得到的长度，由矩形对边相等可知与长度相等，代入数值计算并按要求取近似值即可。
21．【答案】（1）45；15
（2）解：∴∠ACB＝∠ABC. 在△ABC中， ∠A＝∠MAN＝α，
∴∠ACB+∠ABC＝180°-∠A＝180°-α.
连接BD. 由步骤②可知，BC＝BD＝CD.
∴△BCD为等边三角形.∴∠BCD＝60°
（3）解：作法不唯一，例如：
如图，线段DE 即为所求作的裁割线.
【知识点】角的运算；等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等腰直角三角形；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】解：（1）∵以点为圆心，长为半径作弧，交于点，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴；
∵以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
【分析】（1）本题考查等腰直角三角形与等边三角形的性质，结合尺规作图求角度。解题时先根据作图得到，结合矩形的直角推出为等腰直角三角形，即可得到的度数；再由作图得到，推出为等边三角形，得到的度数，用减去即可得到的度数；
（2）本题考查几何推理证明，结合等腰三角形与等边三角形的性质推导角度关系。解题时先连接、，根据作图得到，利用等腰三角形内角和求出的表达式；再由作图得到三边相等推出为等边三角形，得到，最后将与相加，整理即可得到的表达式，完成证明；
（3）本题考查尺规作图的迁移应用。解题时参考材料中的推广迁移作图方法，以点为圆心、长为半径作弧得到交点，再以两个交点为圆心、交点间距为半径作弧得到内部交点，连接该点与点交于，即可得到符合角度要求的裁割线。
22．【答案】（1）解：由题意得，点B（18，646）是描述y1与x关系的抛物线的顶点，
设
因为点C（28，496）在描述y1与x关系的抛物线上，
所以，
解，得
所以，y1与x的函数关系式为
（2）解：①已知 将其配方，得
因为a＝-1＜0，0≤x≤28， 所以， 当x＝13时，y2取得最大值.
此时，y2的最大值为309.
已知两种麦田每亩施氮量相同，当x＝13时，
此时，
答：当低肥力麦田每亩的产量最大时，每亩的施氮量为13千克，此时两种麦田小麦每亩产量的差为299.5千克.
②15
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的其他应用
【解析】【解答】（2）②∵，，
∴的最大值为646，的最大值为309．
．
令
，
当时，有最大值，为940．
，
．
【分析】（1）本题考查用待定系数法求二次函数的顶点式解析式。解题时已知抛物线的顶点坐标，因此设二次函数的顶点式，将点的坐标代入解析式中，解出系数的值，即可得到与的函数关系式，同时标注自变量的取值范围；
（2）①本题考查二次函数的最值与代数式求值。解题时先将低肥力的函数解析式配方化为顶点式，根据二次项系数小于0判断开口向下，顶点处取得最大值，得到产量最大时的施氮量与最大产量；再将该施氮量代入中肥力的函数解析式，求出对应产量，计算两个产量的差值即可；
②本题考查二次函数的最值与函数和的最值计算。解题时先分别求出两个函数各自的最大值，相加得到的值；再令总产量等于两个函数相加，得到新的二次函数，通过配方求出该函数在定义域内的最大值即为的值，最后计算与的差值即可。
23．【答案】（1）证明：∵AB＝BC， BO是△ABC的中线，∴∠A＝∠C， AO＝CO.
∵△BOC旋转得到△DOE， ∴∠E＝∠C，EO＝CO.
∴∠A＝∠E， AO＝EO
∵∠AON＝∠EOM， ∴△AON≌△EOM.
（2）解：①如图2，判断DO与DF的数量关系，并说明理由；
解： DO＝DF.理由如下：
∵AB＝BC，BO是△ABC的中线，
∵.∠ABO＝∠CBO.
∴△BOC旋转得到△DOE，∴∠D＝∠CBO， OD＝OB.
∴∠ABO＝∠D.
∵OD∥AB， ∴∠D＝∠AFD. ∴∠AFD＝∠ABO.
∴DF∥OB. ..四边形DFBO是平行四边形.
∵OD＝OB， ∴ DFBO是菱形.∴DO＝DF.
②或
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】（2）②解：如下图所示，当点在线段上时，
过点作于点，过点作于点，
，
，
，
又，是的中线，
，
，
，
，，
，，
设，，
则，
，
由旋转可知，
，
，
于点，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
若，
，，
，
，
，
又，
，
解得：，
，
；
若，
则有，，
，
，
，
，，，
，
解得：（不符合题意，舍去）；
如下图所示，当点在射线上且在直线上方时，
过点作，于点Q，过点作，过点作，交的延长线于点J，
，
，
，
，，
∴，
∴四边形均为矩形，
∴，
由旋转可知，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
若，
，，
，
，
，
，
解得：，
，
；
若，
则有，
，，
，
，
，
，，，，
，
∴，
∴，
；
综上所述，或或．
【分析】（1）本题考查三角形全等的判定，结合等腰三角形与旋转的性质证明。解题时先由等腰三角形三线合一得到、，再根据旋转的性质得到、，通过等量代换得到、，结合对顶角相等得到一组角相等，利用角边角定理即可证明两个三角形全等；
（2）①本题考查菱形的判定与性质，结合平行线与旋转性质推导线段相等。解题时先由等腰三角形与旋转的性质得到角的等量关系，结合平行推出角相等，进而得到平行于，判定四边形为平行四边形，再由旋转得到，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，得到菱形的边相等，从而推出与相等；②本题考查直角三角形的存在性问题，属于分类讨论的几何综合题。解题时需分情况讨论直角的位置，结合为直角边的条件，分别过相关点作垂线构造相似三角形，利用相似三角形的对应边成比例列方程求解，结合的条件计算出的长度，最终根据点的位置计算的长度，注意考虑点在线段上与射线延长线上等多种情况。
1 / 1

展开更多......

收起↑