资源简介

黑龙江省齐齐哈尔市2026年中考数学真题
1．月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上126℃.夜间平均温度零下150℃.若将零上126℃记作+126℃，则零下150℃可记作（　　）
A．+150℃ B．-150℃ C．+24℃ D．-24℃
2．运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力.下列关于体育运动的图标中是轴对称图形（　　）
A． B．
C． D．
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，一块含30°角的直角三角板的两个顶点分别在直线a和b上，若直线a∥b，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°
5．如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
6．如果关于x的分式方程的解为正数，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＞5且m≠8 B．m＞1且m≠7 C．mv＞5 D．m＜5且m≠-4
7．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同.第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（　　）
A． B． C． D．
8． 5月18日是国际博物馆日、某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元.某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿边BA向终点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动.若P，Q两点每秒运动的路程相同，点Q运动的路程为x（x＞0），△BPQ的面积为y，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图所示的是二次函数（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）.下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c-n）；④若点P（t，y1），都在抛物线上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程的两根之和为C.其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
11．我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过159000亿亿次/秒.将159000用科学记数法表示为　 　.
12．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长为　 　.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点P，作射线BP交AC于点D.若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为　 　.
14．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴正半轴上，E是边AD的中点，点F在边BC上，反比例函数的图象经过点E，F.若AD＝6，则k的值为　 　.
15．菱形ABCD中，点E是边AD的中点，交直线BC于点F.若则菱形ABCD的边长为　 　.
16．数学活动课上，同学们把底角为：的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究.如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l上，OA1＝1，点B1在x轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C1”：过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点，以A2B2为底边向右作“友好三角形，过点C1作的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A3，B3，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C3”……按此规律，点C2026的纵坐标为　 　，
17．
（1）计算：；
（2）分解因式：
18．求不等式组的所有整数解.
19．解方程：
20． 2026年是长征胜利90周年.某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为100分，学生的成绩均高于60分且为整数.现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩x（分）按A，B，C，D四个等级（B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查抽取了　 　名学生的成绩：
（2）扇形统计图中，“B等级”对应的扇形圆心角为　 　度；
（3）请直接补全条形统计图；
（4）若参加本次竞赛的学生有2700人，请估计本次竞赛中获得“A等级”的学生约有多少人.
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点E在AC的延长线上，且∠CDE+∠ABD＝90°，
（1）求证：DE是⊙O的切线：
（2）若求阴影部分的面积.
22． 2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“踃豜学步”到“风驰电掣”的迭代升级，某公司对人形机器人甲、乙进行奔鉋测试，在一条笔直的测试路上有A，B两地，机器人甲、乙分别从A，B两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向B地，到达B地后，立即以n米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向A地，到达A地后停止运动，机器人乙到达A地一段时间后，机器人甲也到达A地并停止运动.机器人甲、乙之间的距离y（米）与机器人甲行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为　 　米，图中m的值为　 　：
（2）求线段FG所在直线的函数解析式：
（3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米 （直接写出答案即可）
23．综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动.
已知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG，BA=2，BE=1，先将矩形EBFG.的边BE，BF分别落在矩形ABCD的边BA，BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为a，连接AE、CF.
（1）【问题初探】
如图1，当k＝1，0°＜a＜90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是　 　，AE与CF的数量关系是　 　：
（2）【类比推理】
如图2，当时，试探究AE与CF的数量关系，请写出结论，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当时，点M为边BC的中点，直线EG交线段BC于点N.若EN＝MN，则CF的长为　 　；
（4）【拓展延伸】
如图4，当时，过点E作EQ⊥BC.垂足为Q，在线段BE上取点P，使连接AP.若△ABP的面积为S，则S的取值范围是　 　.
24．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线AC，BC，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E.
（1）求抛物线的解析式：
（2）求PE的最大值及PE最大时点P的坐标：
（3）如图2，若将抛物线沿射线AC方向平移，个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，且.则点Q的坐标为　 　：
（4）当PE最大时，作直线OE，若点M为直线BC上的一个动点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转90°得到OM'，取OM'的中点N，过点N作垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF的最小值为　 　.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上126℃记作+126℃
∴零下150℃可记作-150℃
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；有理数的乘方法则；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，作EF∥a
∵a∥b
∴EF∥b
∴∠FEB=∠1=20°
∵∠AEB=90°
∴∠AEF=90°-20°=70°
∵EF∥a
∴∠2=∠AEF=70°
故答案为：D
【分析】作EF∥a，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
5．【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的俯视图是
故答案为：C
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2-m-(x-3)=-2x
移项，合并同类项可得，x=m-5
∵x-3≠0，即x≠3
∴m-5≠3，解得：m≠8
∵方程的解为正数
∴m-5>0，解得：m>5
综上所述，m的取值范围为：m＞5且m≠8
故答案为：A
【分析】去分母，转换为整式方程，解方程可得x=m-5，再根据分母有意义的条件及方程的解为正数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
两次摸球的所有结果为（热爱，热爱），（热爱，奔赴），（奔赴，热爱），（奔赴，奔赴），共4中
其中两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的结果有1种
∴两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为
故答案为：C
【分析】根据列举法列出所有等可能的结果，再求出两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买甲种文创x个，乙种文创y个，x，y均为正整数
由题意可得：3x+5y=60
整理得，
∵x是正整数
∴为正整数
∴，解得：0∴符合题意的整数y的值为3，6，9，共3种
故答案为：A
【分析】设购买甲种文创x个，乙种文创y个，x，y均为正整数，根据题意建立二元一次方程，整理得，根据x，y均为正整数，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6
∴
①当0过点Q作QD⊥AB于点D
则
∴
此时图象为开口向上的抛物线，当x=8时，
②当8∴BP=x，BQ=6-(x-8)=14-x
∴
∴
此时图象为开口向下的抛物线，当x=8时，y=19.2，当x=10时，
③当10此时BP=AB=10，即△BPQ为△ABQ，BQ=14-x，以BQ为底，AC为高
∴
此时图象为线段，当x=10时，y=16
当x=14时，y=0
综上所述，图象D符合题意
故答案为：D
【分析】（1）根据勾股定理可得AB，解直角三角形可得，分情况讨论：①当010．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图象可得，函数开口朝下，与y轴交于正半轴
∴a<0，c>0
∵顶点坐标为（1，n）
∴，即b=-2a>0
∴abc<0，①错误
∵抛物线与x轴正半轴交于点B（m，0），（3＜m＜4）
当x=3时，y=9a+3b+c>0
∵b=-2a
∴9a-6a+c>0，即3a+c>0，②错误
∵抛物线的顶点坐标为（1，n）
∴，即
∴b2＝4ac-4an=4a（c-n），③正确
由题意可得，抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大
∵点P（t，y1）带对称轴的距离为|t-1|，点到对称轴的距离为|3-t-1|=|2-t|
∵
∵
∴2t-3<0
∴
∴|t-1|<|2-t|
∴y1＞y2，④正确
由题意可得，点A(0，c)，点B(m，0)
∴OA=c，OB=m
当OA=OB时，m=c
∴B(c，0)
将点B坐标代入，得：ac2+bc+c=0
∵c=m≠0
∴ac+b+1=0
∴b+1=-ac
设方程的两根分别为
∴，⑤正确
故答案为：B
【分析】根据二次函数图象，性质与系数关系，结合抛物线的对称性，二次方程根与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．【答案】1.59×103
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：159000用科学记数法表示为1.59×103
故答案为：1.59×103
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
12．【答案】9
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥的母线长为l
由题意可得：
解得：l=9
故答案为：9
【分析】设该圆锥的母线长为l，根据圆锥的母线长为侧面展开图的扇形的半径建立方程，解方程即可求出答案.
13．【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法可得，BD平分∠ABC
∴点D到AB的距离等于DC的长，即为2
∴
故答案为：7
【分析】由作法可得，BD平分∠ABC，根据角平分线性质可得点D到AB的距离等于DC的长，即为2，再根据三角形面积即可求出答案.
14．【答案】-24
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行线的性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠ADC=90°
∴∠DEC=∠BCE
∴
∵AD=6，E为AD中点
∴DE=3
∴DC=2
∵BC=AD=6，
∴BF=2，CF=4
设点F坐标为(-4，m)，则E(-3，m+2)
∴-4m=-3(m+2)
解得：m=6
∴F(-4，6)
将点E坐标代入可得，k=-4×6=-24
故答案为：-24
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，∠ADC=90°，根据直线平行性质可得∠DEC=∠BCE，根据正切定义可得，根据边之间的关系可得BF=2，CF=4，设点F坐标为(-4，m)，则E(-3，m+2)，建立方程，解方程可得F(-4，6)，再根据待定系数法将点F坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
15．【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设菱形ABCD的边长为a
∴AD∥BC，CD=AD=a
∵点E是AD的中点
∴
∵DE=3CF
∴
∵EF⊥BC
∴EF的长度为平行线AD与BC之间的距离
当点F在线段BC上时，过点E作EH∥CD，交直线BC与点H
∵AD∥BC，EH∥CD
∴四边形EHCD是平行四边形
∴
∴
∵EF⊥BC
∴∠EFH=90°
∴△EFH为直角三角形
∴FH2+EF2=EH2，即
解得：(舍去)
当点F在BC的延长线山时，过点E作EH∥CD，交直线BC于点H
∵AD∥BC，EH∥CD
∴四边形EHCD是平行四边形
∴
∴
∵EF⊥BC
∴∠EFH=90°
∴△EFH为直角三角形
∴FH2+EF2=EH2，即
解得：(舍去)
综上所述，菱形ABCD的边长为或
故答案为：或
【分析】设菱形ABCD的边长为a，根据菱形性质可得AD∥BC，CD=AD=a，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得，分情况讨论：当点F在线段BC上时，过点E作EH∥CD，交直线BC与点H；当点F在BC的延长线山时，过点E作EH∥CD，交直线BC于点H，根据平行四边形判定定理可得四边形EHCD是平行四边形，根据边之间的关系可得FH，根据直角三角形判定定理可得△EFH为直角三角形，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴于点D
∵∠A1OD=30°，OA1=1
∴
∴
∴
∵
∴A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为
∴∠A2A1C1=∠A1OB1=30°
同理可得，
∴
∴A2的纵坐标为
同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为
∵∠A1OD=30°
∴
∴，则
∴
∴A3的纵坐标为
......
∴的纵坐标为
∵Ancn∥x轴，则Cn的纵坐标为
∴点C2026的纵坐标为
故答案为：
【分析】过点A1作A1D⊥x轴于点D，解直角三角形可得A1D，OD，OB1，根据边之间的关系可得，根据点的坐标可得，根据直线平行判定定理可得A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为，即∠A2A1C1=∠A1OB1=30°，同理可得，，根据边之间的关系可得OA2，根据直线平行判定定理可得同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为，根据边之间的关系可得OA3，总结规律，即可求出答案.
17．【答案】（1）解：原式：
＝-6
（2）解：原式：
＝xy（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
18．【答案】解：解不等式①，得x＞
解不等式②，得x≤3.
∴原不等式组的解集为＜x≤3
∴满足不等式组的所有整数解是1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
19．【答案】解：
（x-6）（x+1）＝0
x-6＝0或x+1＝0
x1＝6，x2＝-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
20．【答案】（1）50
（2）144
（3）解：C组人数为：50-15-20-3=12
补全图形如下：
（4）解：
答：估计本次竞赛中获得“A等级”的学生约有810人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：3÷6%=50人
故答案为：50
（2）B等级对应的扇形圆心角为
故答案为：144
【分析】（1）根据D组的人数与占比即可求出答案.
（2）根据360°×B组的占比即可求出答案.
（3）求出C组人数，再补全图形即可.
（4）根据2700乘以A组的占比即可求出答案.
21．【答案】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠ABD＝∠OCD.
∴∠ODC＝∠ABD.
∵∠CDE+∠ABD＝90°，
∴∠CDE+∠ODC＝90°，即∠ODE＝90°.
∴OD⊥DE
∵OD为⊙O的半径。
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接OB，
设⊙O的半径为x，则OD＝OC＝x，OE＝OC+CE＝x+8.
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，
解得x＝5
∴AC＝2x＝10.
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°.
∴∠AOB＝180°-∠BOC＝120°
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可得∠ODC＝∠OCD，根据角之间的关系可得∠CDE+∠ODC＝90°，即∠ODE＝90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接OB，设⊙O的半径为x，则OD＝OC＝x，OE＝OC+CE＝x+8，根据勾股定理建立方程，解方程可得x＝5，根据特殊角的三角函数值可得∠BAC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，根据补角可得∠AOB，根据圆周角的推论可得∠ABC，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据勾股定理可得AB，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
22．【答案】（1）3600；6
（2）解：机器人甲到达B地的时间为（分），此时两机器人之间的距离为240×10＝2400（米），
∴G（10，2400）
设线段FG所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）
将F（6，0），G（10，2400）代入得
解得
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝600x-3600
（3）5分或7分或20分
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，A，B两地之间的距离为3600米
∴m的值为3600÷(360+240)=6
故答案为：3600；6
（3） 机器人乙到达A地的时间为3600=240=15（分钟）
∴点H的坐标为(15，2100)
∴机器人甲返回A地的速度为240+(2400-2100)÷(15-10)=300（米/分）
∴机器人甲返回A地的时间为15+ 2100÷300 =22（分钟）
设线段EF所在直线的函数解析式为y=ax+c(a≠0)
将E(0，3600)，F(6，0)代入y=ax+c
可得：，解得：
∴线段EF所在直线的函数解析式为y=-600x+3600
同理：线段HK所在直线的函数解析式为y=-300x+6600
当y=600时，600=-600x+3600
解得：x=5
当y=600时，600x-3600=600
解得：x=7；
当y=600时，-300x+6600=600
解得：x=20
答：机器人甲行进的时间5分或7分或20分时，机器人甲、乙相距600米
【分析】（1）根据图象信息即可求出答案.
（2）根据题意求出点G的坐标，设线段FG所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点F，G坐标代入解析式即可求出答案.
（3）设线段EF所在直线的函数解析式为y=ax+c(a≠0)，根据待定系数法将点E，F坐标代入解析式可得线段EF所在直线的函数解析式为y=-600x+3600，同理：线段HK所在直线的函数解析式为y=-300x+6600，分情况讨论，将y=600代入解析式，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）∠AEB＝∠CFB；AE＝CF
（2）解：
证明：由旋转的性质知∠ABE＝∠CBF.
∴△CBF∽△ABE
（3）3或
（4）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵k=1
∴，即BC=BA，BF=BE
由旋转性质可得，∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴∠AEB=∠CFB，AE=CF
故答案为：∠AEB＝∠CFB；AE＝CF
（3）∵，BA=2，BE=1
∴
∵M是BC的中点
∴
∵EN=MN，∠BEN=90°
在Rt△BEN中，BE2+EN2=BN2
即
解得：
∴
∴
∴∠EBN=30°
当点E在BC上方时，过点E作EH⊥AB，垂足为H
∵∠EBN=30°
∴∠ABE=60°
∴
∴
∴
∴
当点E在BC下方时，过点F作FI⊥BC交CB的延长线于点I
∵∠EBN=30°，∠EBF=90°
∴∠FBI=60°
∴
∴
∴
故答案为：3或
（4）由题意可得，∠ABP=∠BEQ=，BA=2，BE=1
∴，
由题意可额，△ABP中AB边上的高为
∴
∵
∴当=45°时，即时，此时最大
∴
∴，即
故答案为：
【分析】（1）由题意可得，即BC=BA，BF=BE，根据旋转性质可得∠ABE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）由旋转的性质知∠ABE＝∠CBF，由题意可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）由题意可得，根据线段中点可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得BN，根据特殊角的三角函数值可得∠EBN=30°，分情况讨论：当点E在BC上方时，过点E作EH⊥AB，垂足为H，解直角三角形可得HE，BH，根据边之间的关系可AH，再根据勾股定理即可求出答案；当点E在BC下方时，过点F作FI⊥BC交CB的延长线于点I，解直角三角形可得FI，BI，根据边之间的关系可得CI，再根据勾股定理即可求出答案；
（4）由题意可得，∠ABP=∠BEQ=，BA=2，BE=1，解直角三角形可得EQ，BP，由题意可额，△ABP中AB边上的高为，再根据三角形面积可得，当=45°时，即时，此时最大，即，即，即可求出答案.
24．【答案】（1）解：将A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式得
，解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点
当x＝0时，
∴C（0，4）.
∵B（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝-x+4
∵PD⊥x轴，
∴E（m，-m+4）.
∴当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）
（3）（5，2）或
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（3）中，当x=0时，y=4，即C(0，4)
∵A(-2，0)，
∴将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线
∴新抛物线的解析式为
当点Q在x轴上方时，设直线AC的解析式为y=px+4
将A(-2，0)代入可得，0=-2p+4，解得：p=2
∴直线AC的解析式为y=2x+4
∵∠CBQ=∠ACB
∴BQ∥AC
∴设直线BQ的解析式为y=2x+t
将B(4，0)代入，可得0=8+t，解得：t=-8
∴直线BQ的解析式为y=2x-8
联立方程组
解得：或(舍去)
∴Q（5，2）
当点Q在x轴下方时，设
∵OB=OC=4，OA=2
∴∠OCB=∠OBC
∵∠CBQ=∠ACB
∴∠ABQ=∠ACO
∴
∴
解得：或(舍去)
∴
综上所述，点Q的坐标为（5，2）或
（4）如图
由（2）知，P(2，4)，E(2，2)，直线BC的解析式为y=-x+4
设M(m，-m+4)，则M'(-m+4，-m)
∴
∵E(2，2)，O(0，0)
∴直线OE的解析式为y=x，则OE与x轴正方向成45°
∵NF⊥OE于点F
∴设F(t，t)，且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N，点F作x轴，y轴的平行线，设交点为k，则△NKF为等腰直角三角形
∴，即0
∴m=2-2t，则N(t+1，t-1)
∴，设G(-3，1)
∴AN=FG
∴，问题转换为直线OE上的点F到点G(-3，1)和点P(2，4)的距离和的最小值
设点G关于直线y=x的对称点G'，则G'(1，-3)，则AN+PF的最小值为G'P的长度
∵
∴AN+PF的最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设点，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，4），求出直线BC的解析式为y＝-x+4，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得E（m，-m+4），根据两点间距离，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）由题意可得将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则新抛物线的解析式为，分情况讨论：当点Q在x轴上方时，设直线AC的解析式为y=px+4，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y=2x+4，根据直线平行判定定理可得BQ∥AC，则设直线BQ的解析式为y=2x+t，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得直线BQ的解析式为y=2x-8，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案；当点Q在x轴下方时，设，根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，则∠ABQ=∠ACO，根据正切定义，建立方程，解方程即可求出答案.
（4）由（2）知，P(2，4)，E(2，2)，直线BC的解析式为y=-x+4，设M(m，-m+4)，则M'(-m+4，-m)，则，求出直线OE的解析式为y=x，则OE与x轴正方向成45°，设F(t，t)，且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N，点F作x轴，y轴的平行线，设交点为k，则△NKF为等腰直角三角形，建立方程，解方程可得则N(t+1，t-1)，根据两点间距离公式，结合边之间的关系可得，问题转换为直线OE上的点F到点G(-3，1)和点P(2，4)的距离和的最小值，设点G关于直线y=x的对称点G'，则G'(1，-3)，则AN+PF的最小值为G'P的长度，再根据两点间距离即可求出答案.
1 / 1黑龙江省齐齐哈尔市2026年中考数学真题
1．月球表面昼夜温差非常大，白天平均温度零上126℃.夜间平均温度零下150℃.若将零上126℃记作+126℃，则零下150℃可记作（　　）
A．+150℃ B．-150℃ C．+24℃ D．-24℃
【答案】B
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵零上126℃记作+126℃
∴零下150℃可记作-150℃
故答案为：B
【分析】根据正负数表示具有相反意义的量即可求出答案.
2．运用科学的体育与健康知识指导体育运动和生活实践，才能形成终身保持健康的能力.下列关于体育运动的图标中是轴对称图形（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A不是轴对称图形，不符合题意；
B是轴对称图形，符合题意；
C不是轴对称图形，不符合题意；
D不是轴对称图形，不符合题意；
故答案为：B
【分析】将图形沿某一条直线折叠后能够重合的图形为轴对称图形.
3．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；有理数的乘方法则；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A：，正确，符合题意；
B：，错误，不符合题意；
C：，错误，不符合题意；
D：，错误，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据合并同类项法则，积的乘方，同底数幂的除法，幂的乘方逐项进行判断即可求出答案.
4．如图，一块含30°角的直角三角板的两个顶点分别在直线a和b上，若直线a∥b，∠1＝20°，则∠2的度数为（　　）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，作EF∥a
∵a∥b
∴EF∥b
∴∠FEB=∠1=20°
∵∠AEB=90°
∴∠AEF=90°-20°=70°
∵EF∥a
∴∠2=∠AEF=70°
故答案为：D
【分析】作EF∥a，根据直线平行性质及角之间的关系即可求出答案.
5．如图是由7个完全相同的小正方体搭成的立体图形，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：由题意可得：
它的俯视图是
故答案为：C
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
6．如果关于x的分式方程的解为正数，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＞5且m≠8 B．m＞1且m≠7 C．mv＞5 D．m＜5且m≠-4
【答案】A
【知识点】分式方程的解及检验；解分式方程
【解析】【解答】解：
去分母可得，2-m-(x-3)=-2x
移项，合并同类项可得，x=m-5
∵x-3≠0，即x≠3
∴m-5≠3，解得：m≠8
∵方程的解为正数
∴m-5>0，解得：m>5
综上所述，m的取值范围为：m＞5且m≠8
故答案为：A
【分析】去分母，转换为整式方程，解方程可得x=m-5，再根据分母有意义的条件及方程的解为正数，建立不等式，解不等式即可求出答案.
7．将分别标有“热爱”和“奔赴”的两个小球放在一个不透明的口袋中，小球除标记的词语外完全相同.第一次随机摸出一个小球，记录结果后放回口袋，第二次再随机摸出一个小球，两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】解：由题意可得：
两次摸球的所有结果为（热爱，热爱），（热爱，奔赴），（奔赴，热爱），（奔赴，奔赴），共4中
其中两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的结果有1种
∴两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的概率为
故答案为：C
【分析】根据列举法列出所有等可能的结果，再求出两次摸出的小球标记的词语都为“热爱”的结果，再根据概率公式即可求出答案.
8． 5月18日是国际博物馆日、某博物馆推出甲、乙两种文创纪念品，甲种文创纪念品每个3元，乙种文创纪念品每个5元.某游客欲将60元钱全部用于购买甲、乙两种文创纪念品（两种都要买），不同的购买方案有（　　）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】A
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设购买甲种文创x个，乙种文创y个，x，y均为正整数
由题意可得：3x+5y=60
整理得，
∵x是正整数
∴为正整数
∴，解得：0∴符合题意的整数y的值为3，6，9，共3种
故答案为：A
【分析】设购买甲种文创x个，乙种文创y个，x，y均为正整数，根据题意建立二元一次方程，整理得，根据x，y均为正整数，建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，动点P从点B出发沿边BA向终点A匀速运动，同时动点Q从点A出发，沿边AC→CB向终点B匀速运动，两动点运动到各自终点停止运动.若P，Q两点每秒运动的路程相同，点Q运动的路程为x（x＞0），△BPQ的面积为y，则下列图象能反映y与x之间函数关系的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；解直角三角形；动点问题的函数图象；三角形-动点问题
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6
∴
①当0过点Q作QD⊥AB于点D
则
∴
此时图象为开口向上的抛物线，当x=8时，
②当8∴BP=x，BQ=6-(x-8)=14-x
∴
∴
此时图象为开口向下的抛物线，当x=8时，y=19.2，当x=10时，
③当10此时BP=AB=10，即△BPQ为△ABQ，BQ=14-x，以BQ为底，AC为高
∴
此时图象为线段，当x=10时，y=16
当x=14时，y=0
综上所述，图象D符合题意
故答案为：D
【分析】（1）根据勾股定理可得AB，解直角三角形可得，分情况讨论：①当010．如图所示的是二次函数（a，b，c为常数，a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），与y轴交于点A，与x轴正半轴交于点B（m，0）（3＜m＜4）.下列结论：
①abc＞0；②3a+c＜0；③b2＝4a（c-n）；④若点P（t，y1），都在抛物线上，则y1＞y2；⑤若OA＝OB，则关于x的方程的两根之和为C.其中正确结论的个数是（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由图象可得，函数开口朝下，与y轴交于正半轴
∴a<0，c>0
∵顶点坐标为（1，n）
∴，即b=-2a>0
∴abc<0，①错误
∵抛物线与x轴正半轴交于点B（m，0），（3＜m＜4）
当x=3时，y=9a+3b+c>0
∵b=-2a
∴9a-6a+c>0，即3a+c>0，②错误
∵抛物线的顶点坐标为（1，n）
∴，即
∴b2＝4ac-4an=4a（c-n），③正确
由题意可得，抛物线开口向下，点到对称轴的距离越近，函数值越大
∵点P（t，y1）带对称轴的距离为|t-1|，点到对称轴的距离为|3-t-1|=|2-t|
∵
∵
∴2t-3<0
∴
∴|t-1|<|2-t|
∴y1＞y2，④正确
由题意可得，点A(0，c)，点B(m，0)
∴OA=c，OB=m
当OA=OB时，m=c
∴B(c，0)
将点B坐标代入，得：ac2+bc+c=0
∵c=m≠0
∴ac+b+1=0
∴b+1=-ac
设方程的两根分别为
∴，⑤正确
故答案为：B
【分析】根据二次函数图象，性质与系数关系，结合抛物线的对称性，二次方程根与系数的关系逐项进行判断即可求出答案.
11．我国人工智能高速发展，实现了综合实力整体性、系统性跃升，智能算力规模已超过159000亿亿次/秒.将159000用科学记数法表示为　 　.
【答案】1.59×103
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：159000用科学记数法表示为1.59×103
故答案为：1.59×103
【分析】科学记数法是把一个数表示成a与10的n次幂相乘的形式.
12．若圆锥的底面半径为4，侧面展开图的圆心角为160°，则其母线长为　 　.
【答案】9
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：设该圆锥的母线长为l
由题意可得：
解得：l=9
故答案为：9
【分析】设该圆锥的母线长为l，根据圆锥的母线长为侧面展开图的扇形的半径建立方程，解方程即可求出答案.
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以点B为圆心，适当长为半径作弧，交AB于点M，交BC于点N，分别以M，N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧在∠ABC内部交于点P，作射线BP交AC于点D.若CD＝2，AB＝7，则△ABD的面积为　 　.
【答案】7
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：由作法可得，BD平分∠ABC
∴点D到AB的距离等于DC的长，即为2
∴
故答案为：7
【分析】由作法可得，BD平分∠ABC，根据角平分线性质可得点D到AB的距离等于DC的长，即为2，再根据三角形面积即可求出答案.
14．如图，平面直角坐标系中，矩形ABCD的边CD在y轴正半轴上，E是边AD的中点，点F在边BC上，反比例函数的图象经过点E，F.若AD＝6，则k的值为　 　.
【答案】-24
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行线的性质；矩形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC，∠ADC=90°
∴∠DEC=∠BCE
∴
∵AD=6，E为AD中点
∴DE=3
∴DC=2
∵BC=AD=6，
∴BF=2，CF=4
设点F坐标为(-4，m)，则E(-3，m+2)
∴-4m=-3(m+2)
解得：m=6
∴F(-4，6)
将点E坐标代入可得，k=-4×6=-24
故答案为：-24
【分析】根据矩形性质可得AD∥BC，∠ADC=90°，根据直线平行性质可得∠DEC=∠BCE，根据正切定义可得，根据边之间的关系可得BF=2，CF=4，设点F坐标为(-4，m)，则E(-3，m+2)，建立方程，解方程可得F(-4，6)，再根据待定系数法将点F坐标代入反比例函数解析式即可求出答案.
15．菱形ABCD中，点E是边AD的中点，交直线BC于点F.若则菱形ABCD的边长为　 　.
【答案】或
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；菱形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：设菱形ABCD的边长为a
∴AD∥BC，CD=AD=a
∵点E是AD的中点
∴
∵DE=3CF
∴
∵EF⊥BC
∴EF的长度为平行线AD与BC之间的距离
当点F在线段BC上时，过点E作EH∥CD，交直线BC与点H
∵AD∥BC，EH∥CD
∴四边形EHCD是平行四边形
∴
∴
∵EF⊥BC
∴∠EFH=90°
∴△EFH为直角三角形
∴FH2+EF2=EH2，即
解得：(舍去)
当点F在BC的延长线山时，过点E作EH∥CD，交直线BC于点H
∵AD∥BC，EH∥CD
∴四边形EHCD是平行四边形
∴
∴
∵EF⊥BC
∴∠EFH=90°
∴△EFH为直角三角形
∴FH2+EF2=EH2，即
解得：(舍去)
综上所述，菱形ABCD的边长为或
故答案为：或
【分析】设菱形ABCD的边长为a，根据菱形性质可得AD∥BC，CD=AD=a，根据线段中点可得，根据边之间的关系可得，分情况讨论：当点F在线段BC上时，过点E作EH∥CD，交直线BC与点H；当点F在BC的延长线山时，过点E作EH∥CD，交直线BC于点H，根据平行四边形判定定理可得四边形EHCD是平行四边形，根据边之间的关系可得FH，根据直角三角形判定定理可得△EFH为直角三角形，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
16．数学活动课上，同学们把底角为：的等腰三角形称为“友好三角形”，并利用“友好三角形”进行规律探究.如图，在平面直角坐标系中，点A1在经过原点的直线l上，OA1＝1，点B1在x轴正半轴上，△A1OB1是以OB1为底边的“友好三角形”，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C1”：过点C1作A1B1的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点，以A2B2为底边向右作“友好三角形，过点C1作的平行线，分别交直线l和x轴正半轴于点A3，B3，以A1B1为底边向右作“友好三角形A1B1C3”……按此规律，点C2026的纵坐标为　 　，
【答案】
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：过点A1作A1D⊥x轴于点D
∵∠A1OD=30°，OA1=1
∴
∴
∴
∵
∴A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为
∴∠A2A1C1=∠A1OB1=30°
同理可得，
∴
∴A2的纵坐标为
同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为
∵∠A1OD=30°
∴
∴，则
∴
∴A3的纵坐标为
......
∴的纵坐标为
∵Ancn∥x轴，则Cn的纵坐标为
∴点C2026的纵坐标为
故答案为：
【分析】过点A1作A1D⊥x轴于点D，解直角三角形可得A1D，OD，OB1，根据边之间的关系可得，根据点的坐标可得，根据直线平行判定定理可得A1C1∥x轴，则C1的纵坐标为，即∠A2A1C1=∠A1OB1=30°，同理可得，，根据边之间的关系可得OA2，根据直线平行判定定理可得同理可得A2C2∥x轴，则C2的纵坐标为，根据边之间的关系可得OA3，总结规律，即可求出答案.
17．
（1）计算：；
（2）分解因式：
【答案】（1）解：原式：
＝-6
（2）解：原式：
＝xy（x+1）（x-1）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，0指数幂化简，再计算加减即可求出答案.
（2）提公因式，结合平方差公式进行因式分解即可求出答案.
18．求不等式组的所有整数解.
【答案】解：解不等式①，得x＞
解不等式②，得x≤3.
∴原不等式组的解集为＜x≤3
∴满足不等式组的所有整数解是1，2，3
【知识点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可.
19．解方程：
【答案】解：
（x-6）（x+1）＝0
x-6＝0或x+1＝0
x1＝6，x2＝-1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】根据因式分解法解方程即可求出答案.
20． 2026年是长征胜利90周年.某校开展了以“赓续血脉，永恒记忆”为主题的长征知识竞赛，满分为100分，学生的成绩均高于60分且为整数.现随机抽取了部分学生的成绩作为样本，将抽取的学生成绩x（分）按A，B，C，D四个等级（B：80≤x＜90，C：70≤x＜80，D：60≤x＜70）进行了整理，并绘制成如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题：
（1）本次调查抽取了　 　名学生的成绩：
（2）扇形统计图中，“B等级”对应的扇形圆心角为　 　度；
（3）请直接补全条形统计图；
（4）若参加本次竞赛的学生有2700人，请估计本次竞赛中获得“A等级”的学生约有多少人.
【答案】（1）50
（2）144
（3）解：C组人数为：50-15-20-3=12
补全图形如下：
（4）解：
答：估计本次竞赛中获得“A等级”的学生约有810人
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由题意可得：
总人数为：3÷6%=50人
故答案为：50
（2）B等级对应的扇形圆心角为
故答案为：144
【分析】（1）根据D组的人数与占比即可求出答案.
（2）根据360°×B组的占比即可求出答案.
（3）求出C组人数，再补全图形即可.
（4）根据2700乘以A组的占比即可求出答案.
21．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点E在AC的延长线上，且∠CDE+∠ABD＝90°，
（1）求证：DE是⊙O的切线：
（2）若求阴影部分的面积.
【答案】（1）证明：连接OD，
∵OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD.
∵∠ABD＝∠OCD.
∴∠ODC＝∠ABD.
∵∠CDE+∠ABD＝90°，
∴∠CDE+∠ODC＝90°，即∠ODE＝90°.
∴OD⊥DE
∵OD为⊙O的半径。
∴DE是⊙O的切线
（2）解：连接OB，
设⊙O的半径为x，则OD＝OC＝x，OE＝OC+CE＝x+8.
在Rt△ODE中，OD2+DE2＝OE2，
解得x＝5
∴AC＝2x＝10.
∴∠BOC＝2∠BAC＝60°.
∴∠AOB＝180°-∠BOC＝120°
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC＝90°.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；扇形面积的计算；圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接OD，根据等边对等角可得∠ODC＝∠OCD，根据角之间的关系可得∠CDE+∠ODC＝90°，即∠ODE＝90°，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）连接OB，设⊙O的半径为x，则OD＝OC＝x，OE＝OC+CE＝x+8，根据勾股定理建立方程，解方程可得x＝5，根据特殊角的三角函数值可得∠BAC，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可得∠BOC，根据补角可得∠AOB，根据圆周角的推论可得∠ABC，根据含30°角的直角三角形性质可得BC，根据勾股定理可得AB，再根据，结合扇形，三角形面积即可求出答案.
22． 2026年中国人形机器人打破了人类半马纪录，实现了从“踃豜学步”到“风驰电掣”的迭代升级，某公司对人形机器人甲、乙进行奔鉋测试，在一条笔直的测试路上有A，B两地，机器人甲、乙分别从A，B两地同时出发，机器人甲以360米/分的速度沿测试路匀速跑向B地，到达B地后，立即以n米/分的速度原路匀速返回；机器人乙以240米/分的速度沿测试路匀速跑向A地，到达A地后停止运动，机器人乙到达A地一段时间后，机器人甲也到达A地并停止运动.机器人甲、乙之间的距离y（米）与机器人甲行进的时间x（分）之间的函数关系如图所示.请结合图象信息解答下列问题：
（1）A，B两地之间的距离为　 　米，图中m的值为　 　：
（2）求线段FG所在直线的函数解析式：
（3）机器人甲行进的时间为多少分时，机器人甲、乙相距600米 （直接写出答案即可）
【答案】（1）3600；6
（2）解：机器人甲到达B地的时间为（分），此时两机器人之间的距离为240×10＝2400（米），
∴G（10，2400）
设线段FG所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0）
将F（6，0），G（10，2400）代入得
解得
∴线段FG所在直线的函数解析式为y＝600x-3600
（3）5分或7分或20分
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：（1）由图象可得，A，B两地之间的距离为3600米
∴m的值为3600÷(360+240)=6
故答案为：3600；6
（3） 机器人乙到达A地的时间为3600=240=15（分钟）
∴点H的坐标为(15，2100)
∴机器人甲返回A地的速度为240+(2400-2100)÷(15-10)=300（米/分）
∴机器人甲返回A地的时间为15+ 2100÷300 =22（分钟）
设线段EF所在直线的函数解析式为y=ax+c(a≠0)
将E(0，3600)，F(6，0)代入y=ax+c
可得：，解得：
∴线段EF所在直线的函数解析式为y=-600x+3600
同理：线段HK所在直线的函数解析式为y=-300x+6600
当y=600时，600=-600x+3600
解得：x=5
当y=600时，600x-3600=600
解得：x=7；
当y=600时，-300x+6600=600
解得：x=20
答：机器人甲行进的时间5分或7分或20分时，机器人甲、乙相距600米
【分析】（1）根据图象信息即可求出答案.
（2）根据题意求出点G的坐标，设线段FG所在直线的函数解析式为y＝kx+b（k≠0），根据待定系数法将点F，G坐标代入解析式即可求出答案.
（3）设线段EF所在直线的函数解析式为y=ax+c(a≠0)，根据待定系数法将点E，F坐标代入解析式可得线段EF所在直线的函数解析式为y=-600x+3600，同理：线段HK所在直线的函数解析式为y=-300x+6600，分情况讨论，将y=600代入解析式，解方程即可求出答案.
23．综合与实践
综合实践课上，同学们以矩形的旋转为主题开展探究活动.
已知有公共顶点的矩形ABCD和矩形EBFG，BA=2，BE=1，先将矩形EBFG.的边BE，BF分别落在矩形ABCD的边BA，BC上，再将矩形EBFG绕点B顺时针旋转，旋转角为a，连接AE、CF.
（1）【问题初探】
如图1，当k＝1，0°＜a＜90°时，∠AEB与∠CFB的数量关系是　 　，AE与CF的数量关系是　 　：
（2）【类比推理】
如图2，当时，试探究AE与CF的数量关系，请写出结论，并说明理由；
（3）【深入探究】
如图3，当时，点M为边BC的中点，直线EG交线段BC于点N.若EN＝MN，则CF的长为　 　；
（4）【拓展延伸】
如图4，当时，过点E作EQ⊥BC.垂足为Q，在线段BE上取点P，使连接AP.若△ABP的面积为S，则S的取值范围是　 　.
【答案】（1）∠AEB＝∠CFB；AE＝CF
（2）解：
证明：由旋转的性质知∠ABE＝∠CBF.
∴△CBF∽△ABE
（3）3或
（4）
【知识点】勾股定理；矩形的性质；解直角三角形；旋转的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）∵k=1
∴，即BC=BA，BF=BE
由旋转性质可得，∠ABE=∠CBF
∴△ABE≌△CBF(SAS)
∴∠AEB=∠CFB，AE=CF
故答案为：∠AEB＝∠CFB；AE＝CF
（3）∵，BA=2，BE=1
∴
∵M是BC的中点
∴
∵EN=MN，∠BEN=90°
在Rt△BEN中，BE2+EN2=BN2
即
解得：
∴
∴
∴∠EBN=30°
当点E在BC上方时，过点E作EH⊥AB，垂足为H
∵∠EBN=30°
∴∠ABE=60°
∴
∴
∴
∴
当点E在BC下方时，过点F作FI⊥BC交CB的延长线于点I
∵∠EBN=30°，∠EBF=90°
∴∠FBI=60°
∴
∴
∴
故答案为：3或
（4）由题意可得，∠ABP=∠BEQ=，BA=2，BE=1
∴，
由题意可额，△ABP中AB边上的高为
∴
∵
∴当=45°时，即时，此时最大
∴
∴，即
故答案为：
【分析】（1）由题意可得，即BC=BA，BF=BE，根据旋转性质可得∠ABE=∠CBF，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）由旋转的性质知∠ABE＝∠CBF，由题意可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（3）由题意可得，根据线段中点可得，根据勾股定理建立方程，解方程可得，根据边之间的关系可得BN，根据特殊角的三角函数值可得∠EBN=30°，分情况讨论：当点E在BC上方时，过点E作EH⊥AB，垂足为H，解直角三角形可得HE，BH，根据边之间的关系可AH，再根据勾股定理即可求出答案；当点E在BC下方时，过点F作FI⊥BC交CB的延长线于点I，解直角三角形可得FI，BI，根据边之间的关系可得CI，再根据勾股定理即可求出答案；
（4）由题意可得，∠ABP=∠BEQ=，BA=2，BE=1，解直角三角形可得EQ，BP，由题意可额，△ABP中AB边上的高为，再根据三角形面积可得，当=45°时，即时，此时最大，即，即，即可求出答案.
24．综合与探究
如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A（-2，0），B（4，0），与y轴交于点C，作直线AC，BC，点P为第一象限内抛物线上的动点，过点P作PD⊥x轴，垂足为D，PD交直线BC于点E.
（1）求抛物线的解析式：
（2）求PE的最大值及PE最大时点P的坐标：
（3）如图2，若将抛物线沿射线AC方向平移，个单位长度，得到新抛物线，点Q为新抛物线上一点，且.则点Q的坐标为　 　：
（4）当PE最大时，作直线OE，若点M为直线BC上的一个动点，连接OM，将线段OM绕点O顺时针旋转90°得到OM'，取OM'的中点N，过点N作垂足为F，连接AN，PF，则AN+PF的最小值为　 　.
【答案】（1）解：将A（-2，0），B（4，0）代入抛物线的解析式得
，解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：设点
当x＝0时，
∴C（0，4）.
∵B（4，0），
∴直线BC的解析式为y＝-x+4
∵PD⊥x轴，
∴E（m，-m+4）.
∴当m＝2时，PE的值最大，最大值为2，此时点P的坐标为（2，4）
（3）（5，2）或
（4）
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；轴对称的应用-最短距离问题；坐标系中的两点距离公式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】解：（3）中，当x=0时，y=4，即C(0，4)
∵A(-2，0)，
∴将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线
∴新抛物线的解析式为
当点Q在x轴上方时，设直线AC的解析式为y=px+4
将A(-2，0)代入可得，0=-2p+4，解得：p=2
∴直线AC的解析式为y=2x+4
∵∠CBQ=∠ACB
∴BQ∥AC
∴设直线BQ的解析式为y=2x+t
将B(4，0)代入，可得0=8+t，解得：t=-8
∴直线BQ的解析式为y=2x-8
联立方程组
解得：或(舍去)
∴Q（5，2）
当点Q在x轴下方时，设
∵OB=OC=4，OA=2
∴∠OCB=∠OBC
∵∠CBQ=∠ACB
∴∠ABQ=∠ACO
∴
∴
解得：或(舍去)
∴
综上所述，点Q的坐标为（5，2）或
（4）如图
由（2）知，P(2，4)，E(2，2)，直线BC的解析式为y=-x+4
设M(m，-m+4)，则M'(-m+4，-m)
∴
∵E(2，2)，O(0，0)
∴直线OE的解析式为y=x，则OE与x轴正方向成45°
∵NF⊥OE于点F
∴设F(t，t)，且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N，点F作x轴，y轴的平行线，设交点为k，则△NKF为等腰直角三角形
∴，即0
∴m=2-2t，则N(t+1，t-1)
∴，设G(-3，1)
∴AN=FG
∴，问题转换为直线OE上的点F到点G(-3，1)和点P(2，4)的距离和的最小值
设点G关于直线y=x的对称点G'，则G'(1，-3)，则AN+PF的最小值为G'P的长度
∵
∴AN+PF的最小值为
故答案为：
【分析】（1）根据待定系数法将点A，B坐标代入抛物线解析式即可求出答案.
（2）设点，根据y轴上点的坐标特征可得C（0，4），求出直线BC的解析式为y＝-x+4，根据垂直于x轴的直线上的点的坐标特征可得E（m，-m+4），根据两点间距离，结合二次函数的性质即可求出答案.
（3）由题意可得将抛物线沿射线AC方向平移个单位长度，相当于将抛物线先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则新抛物线的解析式为，分情况讨论：当点Q在x轴上方时，设直线AC的解析式为y=px+4，根据待定系数法将点A坐标代入解析式可得直线AC的解析式为y=2x+4，根据直线平行判定定理可得BQ∥AC，则设直线BQ的解析式为y=2x+t，根据待定系数法将点B坐标代入解析式可得直线BQ的解析式为y=2x-8，联立抛物线解析式，解方程组即可求出答案；当点Q在x轴下方时，设，根据等边对等角可得∠OCB=∠OBC，则∠ABQ=∠ACO，根据正切定义，建立方程，解方程即可求出答案.
（4）由（2）知，P(2，4)，E(2，2)，直线BC的解析式为y=-x+4，设M(m，-m+4)，则M'(-m+4，-m)，则，求出直线OE的解析式为y=x，则OE与x轴正方向成45°，设F(t，t)，且NF与x轴所形成的锐角为45°，分别过点N，点F作x轴，y轴的平行线，设交点为k，则△NKF为等腰直角三角形，建立方程，解方程可得则N(t+1，t-1)，根据两点间距离公式，结合边之间的关系可得，问题转换为直线OE上的点F到点G(-3，1)和点P(2，4)的距离和的最小值，设点G关于直线y=x的对称点G'，则G'(1，-3)，则AN+PF的最小值为G'P的长度，再根据两点间距离即可求出答案.
1 / 1

展开更多......

收起↑