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第七章　直线和圆的方程
课时作业35　直线方程

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若直线ax＋by＋c＝0在一、二、三象限，则有 (　　)
A．ab>0，bc>0　　　　　 B．ab>0，bc<0
C．ab<0，bc>0 D．ab<0，bc<0
解析：由题意知即选D.
答案：D
2．设直线ax＋by＋c＝0的倾斜角为α，且sinα＋cosα＝0，则a、b满足 (　　)
A．a＋b＝1 B．a－b＝1
C．a＋b＝0 D．a－b＝0
解析：0°≤α<180°，又sinα＋cosα＝0，α＝135°，∴a－b＝0.
答案：D
3．直线x－2y＋2k＝0与两坐标轴所围成的三角形面积不大于1，那么k的范围是(　　)
A．k≥－1 B．k≤1
C．－1≤k≤1且k≠0 D．k≤－1或k≥1
解析：令x＝0，得y＝k；令y＝0，得x＝－2k.
∴三角形面积S＝|xy|＝k2.
又S≤1，即k2≤1，∴－1≤k≤1.
又∵k＝0时不合题意，故选C.
答案：C
4．(2010·湖北荆州质检)过点P(1,2)，且方向向量为v＝
(－1,1)的直线的方程为 (　　)
A．x－y－3＝0 B．x＋y＋3＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
解析：方向向量为v＝(－1,1)，则直线的斜率为－1，直线方程为y－2＝－(x－1)即x＋y－3＝0，故选C.
答案：C
5．(2010·唐山一模)设ab>0，当＋取最小值时，直线ax＋by＝0的倾斜角为(　　)
A．30° B．60°
C．120° D．150°
解析：＋≥2，当且仅当＝，即a2＝3b2时等号成立，此时＝，∴直线的斜率为－＝－，其倾斜角为120°，故选C.
答案：C
6．过直线y＝x上的一点作圆(x－5)2＋(y－1)2＝2的两条切线l1、l2.当直线l1、l2关于y＝x对称时，它们之间的夹角为 (　　)
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：设过直线y＝x上一点P作圆的切线，圆心为
Q(5,1)，
∵直线l1、l2关于y＝x对称，
∴直线PQ与l：y＝x垂直，
点Q到直线l的距离d＝＝2，
又圆的半径为，∴l1、l2与直线PQ的夹角均是30°.
∴l1与l2的夹角为2×30°＝60°，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．过点(1,0)且倾斜角是直线x－2y－1＝0的倾斜角的两倍的直线方程是__________．
解析：设倾斜角为θ，则tanθ＝＝.
∴直线方程为y＝(x－1)，即4x－3y－4＝0.
答案：4x－3y－4＝0
8．已知A(2m,5)、B(1,3)、C(－1，－m)三点共线，则m的值为__________．
解析：由kAB＝kBC，即＝，得m＝1或m＝－.
答案：1或－
9．实数x、y满足3x－2y－5＝0(1≤x≤3)，则的最大值、最小值分别为__________．
图1
解：设k＝，则表示线段AB：3x－2y－5＝0(1≤x≤3)上的点与原点的连线的斜率．由图1，易知max＝kOB＝，min＝kOA＝－1.
答案：，－1
10．(2009·广州惠州一模)已知曲线y＝x2－1在x＝x0点处的切线与曲线y＝1－x3在x＝x0点处的切线互相平行，则x0的值为__________．
解析：y′＝2x得k1＝2x0，y′＝0－3x2得k2＝－3x，∴2x0＝－3x得x0＝0或x0＝－.
答案：x0＝0或x0＝－
三、解答题(共50分)
11．(15分)在△ABC中，已知点A(5，－2)、B(7,3)，且边AC的中点M在y轴上，边BC的中点N在x轴上．
(1)求点C的坐标；
(2)求直线MN的方程．
解：(1)设点C(x，y)，由题意得＝0，＝0，得x＝－5，y＝－3.故所求点C的坐标是(－5，－3)．
(2)点M的坐标是(0，－)，点N的坐标是(1,0)，直线MN的方程是＝，即5x－2y－5＝0.
12．(15分)一条直线经过点P(3,2)，并且分别满足下列条件，求直线方程．
(1)倾斜角是直线x－4y＋3＝0的倾斜角的2倍；
(2)与x、y轴的正半轴分别交于A、B两点，且△AOB的面积最小(O为坐标原点)．
解：(1)设所求直线倾斜角为θ，已知直线的倾斜角为α，则θ＝2α，且tanα＝，tanθ＝tan2α＝，从而方程为8x－15y＋6＝0.
(2)设直线方程为＋＝1，代入P(3,2)，得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，此时＝.
∴k＝－＝－.
∴所求方程为2x＋3y－12＝0.
13．(20分)(2008·北京高考)已知菱形ABCD的顶点A、C在椭圆x2＋3y2＝4上，对角线BD所在直线的斜率为1.
(1)当直线BD过点(0,1)时，求直线AC的方程；
(2)当∠ABC＝60°时，求菱形ABCD面积的最大值．
解：(1)由题意得直线BD的方程为y＝x＋1.
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.
于是可设直线AC的方程为y＝－x＋n.
由得4x2－6nx＋3n2－4＝0.
因为A、C在椭圆上，所以Δ＝－12n2＋64>0，
解得－设A，C两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n.所以y1＋y2＝.
所以AC的中点坐标为.
由四边形ABCD为菱形可知，
点在直线y＝x＋1上，
所以＝＋1，解得n＝－2.
所以直线AC的方程为y＝－x－2，
即x＋y＋2＝0.
(2)因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC＝60°，
所以|AB|＝|BC|＝|CA|.
所以菱形ABCD的面积S＝|AC|2.
由(1)可得|AC|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝，
所以S＝(－3n2＋16).
所以当n＝0时，菱形ABCD的面积取得最大值4.
课时作业36　两条直线的位置关系

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．m＝－1是直线mx＋y－3＝0与直线2x＋m(m－1)y＋2＝0垂直的 (　　)
A．充分不必要条件　　　　 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：两直线垂直的充要条件是2m＋m(m－1)＝0，解得m＝0或m＝－1，∴m＝－1仅是两直线垂直的充分不必要条件．
答案：A
2．若直线l：y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是 (　　)
A．[，) B．(，)
C．(，) D．[，]
解析：解法1：求出交点坐标，再由交点在第一象限求得倾斜角的范围?
∵交点在第一象限，∴，
∴，∴k∈(，＋∞)．
图1
∴倾斜角范围为(，)．
解法2：如图1所示，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l必过点C(0，－)，当直线过A点时，两直线的交点在x轴，当直线l绕C点逆时针旋转时，交点进入第一象限，从而得出结果．
答案：B
3．直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是 (　　)
A．x＋2y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x＋y－3＝0 D．x＋2y－3＝0
解析：在直线x－2y＋1＝0上任取两点(1,1)，(0，)，这两点关于直线x＝1的对称点分别为(1,1)，(2，)，
过这两点的直线方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.所以应选D.
答案：D
4．(2009·上海高考)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是 (　　)
A．1或3 B．1或5
C．3或5 D．1或2
解析：当k＝4时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为1，两直线不平行；当k≠4时，两直线平行的一个必要条件是＝k－3，解得k＝3或k＝5，但必须同时满足≠(截距不相等)才是充要条件，检验知k＝3、k＝5均满足这个条件．故选C.
答案：C
5．光线入射在直线l1：2x－y－3＝0上，经过x轴反射到直线l2上，再经过y轴反射到直线l3上，则l3的直线方程为 (　　)
A．x－2y＋3＝0 B．2x－y＋3＝0
C．2x＋y－3＝0 D．2x－y＋6＝0
解析：2x－y－3＝0与x轴交点为(，0)
所以2x－y－3＝0关于x轴的对称直线为2x＋y－3＝0,2x＋y－3＝0关于y轴对称的直线为2x－y＋3＝0，所以l3的方程为2x－y＋3＝0.选B.
答案：B
6．设两条平行直线的方程分别为x＋y＋a＝0、x＋y＋b＝0，已知a、b是关于x的方程x2＋x＋c＝0的两个实数根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为 (　　)
A.， B.，
C.， D.，
解析：由题意得，|a－b|＝＝，∵0≤c≤，∴|a－b|∈[，1]，∴两直线间的距离d＝∈[，]，∴两条直线之间的距离的最大值和最小值分别为，.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．与直线3x＋4y＋12＝0平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24的直线l的方程是__________．
解析：由题意可设直线l：3x＋4y＋c＝0，令x＝0，y＝－，令y＝0，x＝－，∴··＝24?c＝±24，
∴直线l：3x＋4y±24＝0.
答案：3x＋4y±24＝0
8．点P(4cosθ，3sinθ)到直线x＋y－6＝0的距离的最小值等于__________．
解析：由点到直线的距离公式可得
d＝＝
∵－5≤5sin(θ＋φ)≤5，
∴－11≤5sin(θ＋φ)－6≤－1.∴dmin＝.
答案：
9．直线l1：a1x＋b1y＋1＝0和直线l2：a2x＋b2y＋1＝0的交点为(2,3)，则过两点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)的直线方程为__________．
解析：∵(2,3)为两直线l1，l2的交点，
∴2a1＋3b1＋1＝0,2a2＋3b2＋1＝0，由此可知，
点Q1(a1，b1)，Q2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋1＝0上，
又∵l1与l2是两条不同的直线，
∴a1与a2，b1与b2不可能全相同，
因此Q1，Q2为不同的两点，
∴过两点Q1，Q2的直线方程为2x＋3y＋1＝0.
答案：2x＋3y＋1＝0
10．(2009·全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是①15°　②30°　③45°　④60°　⑤75°
其中正确答案的序号是________．(写出所有正确答案的序号)
图2
解析：两平行线间的距离为d＝＝，如图2所示，可知直线m与l1、l2的夹角为30°，l1、l2的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°＋45°＝75°或45°－30°＝15°.故填①⑤.
答案：①⑤
三、解答题(共50分)
11．(15分)等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线方程是3x－y＋2＝0，C(，)，求直线AC和直线BC的方程和△ABC的面积．
解：kAB＝3，设与直线AB夹角为45°的直线斜率为k，则＝tan45°＝1.
∴k＝或－2.∴直线AC、BC的方程为
y－＝(x－)和y－＝－2(x－)，
即x－2y－2＝0和2x＋y－6＝0，
又C到直线AB的距离d＝，
∴S△ABC＝|AB|·d＝×2×＝10.
12．(15分)△ABC中，A(1,4)，∠ABC的平分线所在直线方程为x－2y＝0，∠ACB的平分线所在直线的方程为x＋y－1＝0(如图3)，求BC边所在直线的方程．
图3
解：设A点关于直线x－2y＝0的对称点为A1(x1，y1)，则有
，可解得即A1(，－)，
设点A关于x＋y－1＝0的对称点为A2(x2，y2)，
则有
解得.即A2(－3,0)．
则直线A1A2即直线BC的方程为
y＝[x－(－3)]
即4x＋17y＋12＝0.
13．(20分)两条互相平行的直线分别过点A(6,2)和B(－3，－1)，并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d，求：
(1)d的变化范围；
(2)当d取最大值时，两条直线的方程．
解：(1)方法1：①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x＝6和x＝－3，则它们之间的距离为9.
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为
l1：y－2＝k(x－6)，
l2：y＋1＝k(x＋3)，
即l1：kx－y－6k＋2＝0，l2：kx－y＋3k－1＝0.
∴d＝＝，
即(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0.
∵k∈R，且d≠9，d>0，
∴Δ＝542－4(81－d2)(9－d2)≥0，
即0综合①②可知，所求的d的变化范围为(0,3]．
图4
方法2：如图4所示，
显然有0而|AB|＝
＝3.
故所求的d的变化范围为(0,3]．
(2)由图4可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB.
而kAB＝＝，
∴所求的直线的斜率为－3.
故所求的直线方程分别为y－2＝－3(x－6)和y＋1＝
－3(x＋3)，即3x＋y－20＝0和3x＋y＋10＝0.
课时作业37　简单的线性规划

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若实数x、y满足则的取值范围是 (　　)
A．(0,1)　　　　　　　　 B．(0,1]
C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
图1
解析：先作出可行域如图1，而＝，可作为点(x，y)与原点连线的斜率，故选C.
答案：C
2．(2009·天津高考)设变量x、y满足约束条件则目标函数z＝2x＋3y的最小值为 (　　)
A．6 B．7
C．8 D．23
解析：约束条件表示的平面区域如图2
图2
易知过C(2,1)时，目标函数z＝2x＋3y取得最小值．
∴zmin＝2×2＋3×1＝7.故选B.
答案：B
3．(2009·陕西高考)若x，y满足约束条件目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是 (　　)
图3
A．(－1,2)　　 B．(－4,2)
C．(－4,0] D．(－2,4)
解析：可行域为△ABC，如图3
当a＝0时，显然成立．当a>0时，直线ax＋2y－z＝0的斜率k＝－>kAC＝－1，a<2.
当a<0时，k＝－－4.
综合得－4答案：B
4．(2009·安徽高考)若不等式组 所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部分，则k的值是 (　　)
A.　　　　　　　　　　 B.
C. D.
图4
解析：由图4可知，线性规划区域为△ABC边界及内部，y＝kx＋恰过A，y＝kx＋将区域平均分成面积相等两部分，故过BC的中点D，＝k×＋，k＝，故选A.
答案：A
5．(2009·山东高考)设x，y满足约束条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为 (　　)
A. B.
C. D．4
图5
解析：作可行域如图5可知，目标函数在(4,6)处取得最大值12，
∴2a＋3b＝6，从而有＋
＝(2a＋3b)
＝
＝＋
＝＋≥＋2＝.故选A.
答案：A
6．(2009·湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 (　　)
A．2000元 B．2200元
C．2400元 D．2800元
解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意得线性约束条件求线性目标函数z＝400x＋300y的最小值．
解得当时，zmin＝2200，故选B.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．已知点P(x1，y1)不在直线l：Ax＋By＋C＝0(B≠0)上，则P在直线l上方的充要条件是__________，P在直线l下方的充要条件是__________．
解析：直线l：Ax＋By＋C＝0(B≠0)上点M，其横坐标x＝x1时，纵坐标y＝－，点P在直线l的上方等价于点P在点M的上方，即y1>－，∴>0，亦即B(Ax1＋By1＋C)>0.所以P在直线l上方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)>0，同理P在直线l下方的充要条件是B(Ax1＋By1＋C)<0.
答案：B(Ax1＋By1＋C)>0　B(Ax1＋By1＋C)<0
8．(2009·浙江高考)若实数x、y满足不等式组则2x＋3y的最小值是________．
图6
解析：依题意作出可行性区域如图6，目标函数z＝2x＋3y在边界点(2,0)处取到最小值z＝2×2＋3×0＝4.
答案：4
9．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，则以a、b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积等于__________．
解析：令z＝ax＋by，
∵ax＋by≤1恒成立，
即函数z＝ax＋by在可行域要求的条件下，zmax＝1恒成立．
当直线ax＋by－z＝0过点(1,0)或点(0,1)时，0≤a≤1,0≤b≤1.点P(a，b)形成的图形是边长为1的正方形．
∴所求的面积S＝12＝1.
答案：1
10．若A为不等式组表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线x＋y＝a扫过A中的那部分区域的面积为__________．
图7
解析：根据题意作图如图7：
图中阴影部分为所求的区域，设其面积为S，S＝S△AOD－S△ABC＝·2·2－·1·＝.
答案：
三、解答题(共50分)
11．(15分)求不等式|x|＋|y|≤2表示的平面区域的面积．
解：|x|＋|y|≤2可化为：
图8
或
或或
其平面区域如图8所示．
∴面积S＝×4×4＝8.
12．(15分)某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品都需要在A、B两种设备上加工，在每台A、B上加工一件甲所需工时分别为1工时、2工时，加工一件乙所需工时分别为2工时、1工时，A、B两种设备每月有效使用台时数为a(400≤a≤500)．求生产收入最大值的范围．
解：设甲、乙两种产品月产量分别为x、y件，约束条件是目标函数是z＝3x＋2y，
由约束条件画出可行域，如图9.
图9
将z＝3x＋2y变形为y＝－x＋，
这是斜率为－，随z变化的一簇直线．
是直线在y轴上的截距，当最大时z最大，当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数取得最大值．
由解得
在这个问题中，使z＝3x＋2y取得最大值的(x，y)是两直线2x＋y＝a与x＋2y＝a的交点(，)．
∴z＝3·＋2·＝a.
又∵400≤a≤500，∴≤z≤.
故月生产收入最大值的范围是[，]．
13．(20分)(2009·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋3bx2＋3cx有两个极值点x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]．
(1)求b、c满足的约束条件，并在下面的坐标平面内，画出满足这些条件的点(b，c)的区域；
图10
(2)证明：－10≤f(x2)≤－.
解：(1)f′(x)＝3x2＋6bx＋3c，依题意知，方程f′(x)＝0有两个根x1、x2，且x1∈[－1,0]，x2∈[1,2]等价于f′(－1)≥0，f′(0)≤0，f′(1)≤0，f′(2)≥0.
由此得b、c满足的约束条件为
满足这些条件的点(b，c)的区域为图11中阴影部分．
图11
(2)由题设知f′(x2)＝3x＋6bx2＋3c＝0，故bx2＝－x－c，于是f(x2)＝x＋3bx＋3cx2＝－x＋x2.
由于x2∈[1,2]，而由(1)知c≤0，
故－4＋3c≤f(x2)≤－＋c.
又由(1)知－2≤c≤0，所以－10≤f(x2)≤－.
课时作业38　圆的方程

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圆，则λ的取值范围是 (　　)
A．(0，＋∞)　　　　　　　　B．[，1]
C．(1，＋∞)∪(－∞，) D．R
解析：D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ>0，解不等式得λ<或λ>1，故选C.
答案：C
2．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲线关于x＋y＝0成轴对称图形，则 (　　)
A．D＋E＝0 B．D＋F＝0
C．E＋F＝0 D．D＋E＋F＝0
解析：曲线关于x＋y＝0成轴对称图形，即圆心在x＋y＝0上．
答案：A
3．(2009·辽宁高考)已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在直线x＋y＝0上，则圆C的方程为 (　　)
A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
解析：∵直线x－y＝0与x－y－4＝0平行，∴它们之间的距离即为圆的直径．∴2R＝.∴R＝.设圆心坐标为C(a，－a)，则满足点C到两条切线的距离都等于半径，
∴＝，＝，解得a＝1，故圆心为(1，－1)，
∴圆C的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
答案：B
4．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是
(　　)
A．4 B．5
C．3－1 D．2
解析：圆C的圆心C的坐标为(2,3)，半径r＝1.点A(－1,1)关于x轴的对称点A′的坐标为(－1，－1)．
因A′在反射线上，所以最短距离为|A′C|－r，
即－1＝4.
答案：A
5．如果直线l将圆x2＋y2－2x－4y＝0平分，且不通过第四象限，那么l的斜率取值范围是 (　　)
A．[0,2] B．[0,1]
C．[0，] D．[0，)
图1
解析：化圆方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5，l平分该圆，即直线l过圆心(1,2)．设l的方程为y－2＝k(x－1)，即y＝kx＋(2－k)．
由于点(1,2)在第一象限，如图1，故l不通过第四象限的充要条件是l在y轴上的截距(2－k)∈[0,2]，即0≤2－k≤2，得0≤k≤2.
答案：A
6．已知两点A(－1,0)、B(0,2)，点P是圆(x－1)2＋y2＝1上任意一点，则△PAB面积的最大值与最小值是 (　　)
A．2，(4－)
B.(4＋)，(4－)
C.，4－
D.(＋2)，(－2)
图2
解析：如图2，圆心(1,0)到直线AB：2x－y＋2＝0的距离d＝，
故圆上的点P到AB距离的最大值是＋1，最小值是－1.
又|AB|＝，
∴△PAB面积的最大值和最小值分别是2＋和2－.
答案：B
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．圆心为(1,1)且与直线x＋y＝4相切的圆的方程为__________．
解析：半径R＝＝，所以圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
答案：(x－1)2＋(y－1)2＝2
8．圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0上两点P、Q关于直线kx－y＋4＝0对称，则k＝__________.
解析：圆心(－，3)在直线上，代入kx－y＋4＝0，得k＝2.
答案：2
9．已知圆O：x2＋y2＝4，过点P(2，－1)作圆O的切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为__________．
解析：设切点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则过A，B的切线方程分别为：
x1·x＋y1·y＝4，x2·x＋y2·y＝4，
又因为均过点P(2，－1)，∴2x1－y1＝4,2x2－y2＝4，
说明点A(x1、y1)，B(x2，y2)均在直线2x－y＝4上．
∴直线AB的方程为2x－y－4＝0.
答案：2x－y－4＝0
10．在平面直角坐标系xOy中，若曲线x＝与直线x＝m有且只有一个公共点，则实数m＝__________.
图3
解析：如图3所示，作出曲线x＝与直线x＝m，可得当且仅当m＝2时，直线x＝2与半圆仅有一个交点．∴m＝2.
答案：2
三、解答题(共50分)
11．(15分)求经过点A(－2，－4)，且与直线l：x＋3y－26＝0相切于点B(8,6)的圆的方程．
解：根据本题的条件，既可以设圆的一般方程，也可以设圆的标准方程进行求解．
设圆心为C，则CB⊥l，
∴CB的方程为y－6＝3(x－8)，即3x－y－18＝0.
又AB的垂直平分线的方程为x＋y－4＝0，
联立，得圆心C(，－)．
∴半径r＝＝.
∴所求圆的方程为(x－)2＋(y＋)2＝.
12．(15分)已知⊙C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(－1,0)、B(1,0)，点P是圆上动点，求d＝|PA|2＋|PB|2的最大、最小值及对应的P点坐标．
解：设点P为(x0，y0)，则d＝(x0＋1)2＋y＋(x0－1)2＋y＝2(x＋y)＋2，欲求d的最大、最小值，只需求u＝x＋y的最大、最小值，此即求⊙C上点到原点距离之平方的最大、最小值．
设直线OC交⊙C于P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，
则umin＝(|OC|－1)2＝16＝|OP1|2，
此时OP1?P1C＝4，
∴dmin＝34，对应P1坐标为，
同理可得dmax＝74，对应P2坐标为.
13．(20分)已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.
(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程；
(2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值的点P的坐标．
解：(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等，
∴当截距不为零时，设切线方程为x＋y＝a，
又∵圆C：(x＋1)2＋(y－2)2＝2，
∴圆心C(－1,2)到切线的距离等于圆半径，
即＝，∴a＝－1或a＝3；
当截距为零时，设y＝kx，同理可得k＝2＋或k＝2－，
则所求切线的方程为x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0或y＝(2＋)x或y＝(2－)x.
(2)∵切线PM与半径CM垂直，
∴|PC|2－|CM|2＝|PM|2＝|PO|2，
∴(x1＋1)2＋(y1－2)2－2＝x＋y，
∴2x1－4y1＋3＝0，
∴动点P的轨迹是直线2x－4y＋3＝0.
∵|PM|的最小值就是|PO|的最小值，
而|PO|的最小值为点O到直线2x－4y＋3＝0的距离d＝，
∴由，可得，
则所求点P坐标为(－ ，)．
课时作业39　直线与圆的位置关系

时间：45分钟　　　　分值：100分
一、选择题(每小题5分，共30分)
1．(2009·重庆高考)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是 (　　)
A．相切 B．相交但直线不过圆心
C．直线过圆心 D．相离
解析：圆心(0,0)到直线y＝x＋1的距离为d＝＝，圆的半径r＝1，∴0∴直线与圆相交但不过圆心．
答案：B
2．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－2＝0相切，则实数m等于 (　　)
A.或－ B．－或3
C．－3或 D．－3或3
解析：把圆的方程化成标准方程(x－1)2＋y2＝3，
由已知得＝，
即|m＋|＝2，
∴m＝－3或m＝.故选C.
答案：C
3．过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A、B两点，如果|AB|＝8，则l的方程为 (　　)
A．5x＋12y＋20＝0
B．5x＋12y＋20＝0或x＋4＝0
C．5x－12y＋20＝0
D．5x－12y＋20＝0或x＋4＝0
解析：圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝25，若|AB|＝8，只需保证圆心(－1,2)到直线l的距离等于3，过点(－4,0)的直线方程为y＝k(x＋4)和x＝－4，显然x＝－4与(－1,2)的距离为3满足题意；
而＝3，得k＝－，
从而直线方程为5x＋12y＋20＝0.
答案：B
4．若直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)始终平分圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的周长，则ab的取值范围是 (　　)
A．(－∞，] B．(－∞，)
C．(，＋∞) D．[，＋∞)
解析：圆心(－1,2)，∵直线平分圆的周长，∴直线必过圆心，将(－1,2)代入直线方程得a＋b＝1，ab≤()2＝.
答案：A
5．能够使得圆x2＋y2－2x＋4y＋1＝0上恰有两个点到直线2x＋y＋c＝0距离等于1的c的一个值为 (　　)
A．2 B.
C．3 D．3
解析：圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝4，圆心为
(1，－2)，半径为2.根据圆的性质可知，当圆心到直线的距离大于1且小于3时，圆上有两点到直线的距离为1，经验证，c＝3时，圆心到直线2x＋y＋3＝0的距离为，满足1<<3.因此c＝3满足题意．
答案：C
6．若直线＋＝1通过点M(cosα，sinα)，则 (　　)
A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1
C.＋≤1 D.＋≥1
解析：∵点M(cosα，sinα)的轨迹方程为x2＋y2＝1，由题意知直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，得圆心到直线的距离≤1，∴＋≥1.故选D.
答案：D
二、填空题(每小题5分，共20分)
7．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于两点A、B，弦AB的中点为(0,1)，则直线l的方程为__________．
解析：圆心P(－1,2)，AB中点Q(0,1)，kPQ＝＝－1，∴直线l的斜率k＝1，
故y－1＝1(x－0)，即x－y＋1＝0.
答案：x－y＋1＝0
8．已知圆C的圆心与抛物线y2＝4x的焦点关于直线y＝x对称．直线4x－3y－2＝0与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为__________．
解析：y2＝4x，焦点F(1,0)，
∴圆心O(0,1)．
O到4x－3y－2＝0的距离d＝＝1，则圆半径r满足r2＝12＋32＝10，∴圆方程为x2＋(y－1)2＝10.
答案：x2＋(y－1)2＝10
图1
9．如图1，A、B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A，B点，C是这两个圆的公共点，则圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是__________．
解析：如图2，当圆O1与圆O2外切于点C时，S最大，此时，
图2
两圆半径为1，S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积，
∴Smax＝2×1－2×(×π×12)＝2－.
随着圆半径的变化，C可以向直线l靠近，
当C到直线l的距离d→0时，S→0，∴S∈(0,2－]．
答案：(0,2－]
10．已知圆C1：x2＋y2＝9，圆C2：(x－4)2＋(y－6)2＝1，两圆的外公切线交于P2点，内公切线交于P1点，若＝λ，则λ等于__________．
解析：如图3：设||＝y，||＝x，||＝l，
又圆C1的半径R＝3，圆C2的半径r＝1，
由平面几何性质可得＝＝?x＝l，
＝＝?y＝l.
λ＝－＝－＝－.
图3
答案：－
三、解答题(共50分)
11．(15分)已知圆C同时满足下列三个条件．
①与y轴相切；
②在直线y＝x上截得弦长为2；
③圆心在直线x－3y＝0上，求圆C的方程．
解：设所求的圆C与直线y＝x交于A、B，
∵圆心C在直线x－3y＝0上，∴设圆心为C(3a，a)，
∵圆与y轴相切，∴R＝3|a|.
而圆心C到直线x－y＝0的距离
|CD|＝＝|a|.
又∵|AB|＝2，|BD|＝，
在Rt△CBD中，R2－|CD|2＝()2，
∴9a2－2a2＝7，a2＝1，a＝±1,3a＝±3，
∴圆心的坐标C为(3,1)或(－3，－1)，故所求圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
12．(15分)已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于P、Q两点，若OP⊥OQ(O是原点)，求m的值．
解：设点P、Q的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．由OP⊥OQ得kOP·kOQ＝－1，
即·＝－1，x1x2＋y1y2＝0 ①
又(x1，y1)，(x2，y2)是方程组
的实数解，
即x1、x2是方程5x2＋10x＋4m－27＝0的两个根②
∴x1＋x2＝－2，x1x2＝ ③
∵P、Q在直线x＋2y－3＝0上，
∴y1y2＝(3－x1)·(3－x2)
＝[9－3(x1＋x2)＋x1x2]．
将③代入，得y1y2＝ ④
将③④代入①，解得m＝3，代入方程②，检验Δ>0成立，∴m＝3.
图4
13．(20分)(2009·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，如图4，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4.
(1)若直线l过点A(4,0)，且被圆C1截得的弦长为2，求直线l的方程；
(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等．试求所有满足条件的点P的坐标．
解：(1)由于直线x＝4与圆C1不相交，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为y＝k(x－4)，圆C1的圆心到直线l的距离为d，因为直线l被圆C1截得的弦长为2，
所以d＝＝1.
由点到直线的距离公式得d＝，从而k(24k＋7)＝0，即k＝0或k＝－，
所以直线l的方程为y＝0或7x＋24y－28＝0.
(2)设点P(a，b)满足条件，不妨设直线l1的方程为y－b＝k(x－a)，k≠0，则直线l2的方程为y－b＝－(x－a)．
因为圆C1和C2的半径相等，及直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等，所以圆C1的圆心到直线l1的距离和圆C2的圆心到直线l2的距离相等，即
＝，
整理得|1＋3k＋ak－b|＝|5k＋4－a－bk|，
从而1＋3k＋ak－b＝5k＋4－a－bk或1＋3k＋ak－b＝－5k－4＋a＋bk，
即(a＋b－2)k＝b－a＋3或(a－b＋8)k＝a＋b－5，
因为k的取值有无穷多个，
所以或
解得或
这样点P只可能是点P1(，－)或点P2(－ ，)．
经检验点P1和P2满足题目条件．

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